Kapitola 9
Objevy těžkých kvarků c, b

9.1 Objev čtvrtého kvarku

Vlastnosti dosud objevených hadronů se daly vysvětlit pomocí kvarkového modelu, s použitím tří kvarků u, d, s. Existují i další kvarky? Začátkem 70. let dvacátého století již bylo známo, že zavedením čtvrtého kvarku lze přirozeně vysvětlit absenci neutrálních proudů měnících „vůni“ kvarků1 ve slabých interakcích, viz oddíl 9.1.1. Experimentální potvrzení této hypotézy na sebe nedalo dlouho čekat, viz oddíl 9.1.2.

9.1.1 GIM mechanismus

Uvažujeme-li teorii elektroslabých interakcí pouze se třemi kvarky (u, d, s), zůstanou v interakčním lagrangiánu členy odpovídající neutrálním proudům2 se změnou vůně (Flavour Changing Neutral Currents, FCNC; zvídavý čtenář nalezne detailní zdůvodnění např. v publikaci [32]). V roce 1970 však S. Glashow, J. Iliopoulos a L. Maiani ukázali, že zavedeme-li do teorie čtvrtý kvark (c), v nejnižším řádu poruchového rozvoje interakčního lagrangiánu elektroslabých interakcí FCNC členy vypadnou. Tuto skutečnost nazýváme na počest autorů GIM mechanismem. Navíc pak v teorii získáme symetrii mezi základními leptony (νe,eμ) a kvarky (u, d, c, s). Dodejme pro úplnost, že v kvarkové části lagrangiánu nabitých proudů3 CC pak vystupuje směšovací matice 2 × 2, jejímž jediným parametrem je Cabibbův úhel 𝜃C zmíněný v kapitolce 6.3:

                          (                 ) (    )
ℒCC =  -g√--(¯u,¯c)γμ (1− γ5)    cos𝜃C   sin 𝜃C      d   W+  + h.c.
       2  2                  − sin 𝜃C  cos𝜃C      s     μ
(9.1)

Detailní odvození naleznou čtenáři např. v publikaci [32].

Uvedené poznatky ilustrujme na rozpadu

  0    −    +
K  →  μ  + μ
(9.2)

Tento rozpad není možný na stromové úrovni (tj. v nejnižším řádu poruchové teorie), v teorii se čtyřmi kvarky (u, d, s, c) tomuto procesu odpovídají ve vyšším řádu dva Feynmanovy diagramy, viz obr. 9.1. Oba diagramy mají stejnou strukturu, liší se jen vazbovými konstantami (prvky směšovací matice, viz relace (9.1)) v interakčních vrcholech. Budou-li mít všechny kvarky stejnou hmotu, pak se oba diagramy právě odečtou. Uvážíme-li různé hodnoty hmot kvarků, pak součtem diagramů dostaneme malý, nenulový příspěvek. Experimentálně určený větvicí poměr rozpadu (9.2) je velmi malý – pro K0S činí méně než 3 × 107, pro K0L přibližně 7 × 109 [1]. To odpovídá teoretické předpovědi.

PICT PICT

Obrázek 9.1:Feynmanovy diagramy rozpadu (9.2) v teorii se čtyřmi kvarky. Budou-li mít všechny kvarky stejnou hmotu, diagramy se přesně odečtou.

9.1.2 Objev J∕ψ

Objev čtvrtého kvarku (c neboli charm – půvab) představuje významný mezník v částicové fyzice, proto se následující události často označují jako „listopadová revoluce“.

J∕ψ byl současně objeven ve dvou poměrně rozdílných experimentech v roce 1974. V Brookhavenské národní laboratoři (BNL) vedl S. Ting experiment, který měřil invariantní hmotu tzv. Drellova-Yanova páru ee+ v interakci protonu s beryliovým terčem:

p + Be →  e− + e+ + X
(9.3)

Experiment byl motivován kvarkovým modelem – vznik Drellova-Yanova páru v interakci hadronů je projevem anihilace kvarku a antikvarku z prvního, resp. druhého hadronu. V anihilaci vzniká virtuální foton, který pak vytvoří pár nabitých leptonů, v tomto případě e+ e+. V laboratoři SLAC byl měřen celkový účinný průřez anihilace elektronů a pozitronů

e− + e+ → X
(9.4)

pod vedením B. Richtera. Původním cílem bylo proměřit závislost poměru účinných průřezů R (viz oddíl 9.3) na celkové těžišťové energii.

Oba experimenty došly k překvapujícím výsledkům. V případě experimentu ve SLAC se očekávala závislost účinného průřezu reakce (9.4) na těžišťové energii jako 1∕s (viz např. příklad 2.14). Detailní měření v okolí √s 3,1 GeV však odhalila vysoký, velmi úzký pík odpovídající dosud neznámé rezonanci [33]. Podobný pík byl pozorován i v interakci (9.3). Došlo tak k objevu nové částice pojmenované J∕ψ.4 Ještě v témže roce byl objev potvrzen na urychlovači ve Frascati, kde pod vedením G. Bellettiniho zvýšili maximální energii ee+ urychlovače nad 3 GeV a mohli tak zmíněný pík také pozorovat.

Klíčovou vlastností nové částice J∕ψ je její velmi malá rozpadová šířka Γ. Tu lze určit z pozorované závislosti účinného průřezu reakce (9.4) na celkové těžišťové energii E

  ( −   +      )        2J + 1       4π      Γ inΓ out
σ  e + e  →  X  =  (2S-+-1)-(2S--+-1)-E2---------2----2--
                      1        2        (E − m ) + Γ  ∕4
(9.5)

Podívejme se nyní na jednotlivé členy vztahu (9.5):

Pozorovaná šířka rezonance Γexp byla dána především experimentálním rozlišením aparatury (Γexp Γ), šířka Γ byla proto určena z plochy pod píkem rezonance. Taková plocha je dána integrálem účinného průřezu (9.5) v okolí píku rezonance a musí odpovídat experimentálně určené ploše pod píkem („zákon zachování počtu případů“). Ze srovnání pak dostaneme skutečnou šířku rezonance Γ, viz příklad 9.2.

Spin a parita J∕ψ jsou stejné jako u fotonu, neboť byla pozorována interference s virtuálním fotonem v reakci

e− + e+ → μ − + μ+
(9.6)

Shrňme nyní vlastnosti částice J∕ψ (údaje z [1]):

Přestože se J∕ψ rozpadá převážně na hadrony, má neuvěřitelně malou rozpadovou šířku vzhledem ke své velké hmotě. Rozpady jsou tedy něčím silně potlačeny. Uvedené skutečnosti lze vysvětlit tak, že nová částice je vázaným stavem nového kvarku c, tedy J∕ψ = (cc):

Krátce po objevu J∕ψ byla naměřena další úzká rezonance, ψ, s hmotou přibližně 3,7 GeV a šířkou Γ = 317 keV. I tato částice se rozpadá Zweig-zakázaně. Zweig-dovolený rozpadový kanál na D+D je energeticky dovolen až u rezonance ψ(3770) (číslo v závorce udává hmotu v MeV), proto má tato rezonance podstatně větší rozpadovou šířku (Γ = 27,3 MeV). Planární diagramy rozpadů částic J∕ψ a ψ(3770) jsou pro srovnání znázorněny na obr. 9.2.

                                 u                                          c
                                                             ----------
  c                                ρ+        c      ----------                D+
                                 ¯d                                          ¯d
J∕ψ                                       ψ (3770)
                                 d                                          d
                                     −              -----------                −
  ¯c                                π         ¯c                ---------       D
                                 ¯u                                          ¯c
Obrázek 9.2:Planární diagramy rozpadů J∕ψ (vlevo) a ψ(3770) (vpravo). První je Zweig-zakázaný, druhý Zweig-dovolený.

9.2 Objev třetí rodiny

Po objevu částice J∕ψ byly známy čtyři kvarky a čtyři leptony, které jsou uspořádány do dvou tzv. rodin. První, nejlehčí, rodinu tvoří kvarky u, d a leptony νe, e. Z těchto elementárních stavebních kamenů je poskládána veškerá známá stabilní hmota ve vesmíru. Druhou rodinu pak představují těžší kvarky c, s a leptony μ, νμ (o jeho objevu se podrobněji zmíníme v kapitolce 10.2). Částice tvořené kvarky c, s jsou nestabilní a rozpadají se na částice tvořené kvarky první generace.

Existují snad další rodiny? Odpověď na tuto otázku přinesly experimenty z konce 70. let minulého století, kdy došlo postupně k objevu třetího leptonu (viz kapitolka 10.3) a pátého kvarku, patřících do tzv. třetí rodiny.

9.2.1 Objev pátého kvarku

Jak již bylo zmíněno v oddíle 9.1.1, objev čtvrtého kvarku doplnil množinu kvarků tak, že byla zcela analogická množině leptonů. Objevem dalšího leptonu τ (viz kapitolka 10.3) se tato rovnováha opět porušila, což naznačilo existenci dalších, dosud nepozorovaných, kvarků.5

Hledání píků v rozdělení invariantní hmoty Drellových-Yanových párů pokračovalo i po objevu J∕ψ. Leon Lederman vedl ve Fermilabu experiment, který měřil produkci párů μ+μ ve srážkách protonů s různými jádry. Hlavní část detektoru představoval dvouramenný mionový spektrometr s přesností 2% pro mμμ > 5 GeV [34]. V roce 1977 byl pozorován statisticky významný pík, odpovídající hmotě rezonance přibližně 9,5 GeV. Detailnější analýza odhalila ve spektru Drellových-Yanových párů dva úzké píky (9,44 GeV a 10,17 GeV). Nové částice dostaly jméno ϒ(1S), resp. ϒ(2S).

Brzy se ukázalo, že historie s J∕ψ a ψ se opakuje. I tyto nové rezonance byly velmi úzké a byly proto interpretovány jako vázaný systém dalšího těžkého kvarku b (bottom nebo beauty – krása) a jeho antikvarku. Rezonance se rozpadají Zweig-zakázaně stejně jako zmínění předchůdci J∕ψ, ψ. O rok později byla měření zpřesněna v laboratoři DESY, v roce 1980 pak byly objeveny další rezonance ϒ(3S), ϒ(4S). Až poslední zmíněná rezonance se rozpadá Zweig-dovoleně na pár mezonů B, které obsahují (anti)kvark b a lehký (anti)kvark u nebo d. Takovým mezonům říkáme „open-bottom“ mezony, viz kapitolka 9.4.

9.3 Poměr R

Ve srážkách elektronů s pozitrony se měří veličina R, která vyjadřuje podíl účinných průřezů vzniku hadronů a páru nabitých mionů

     σ(e−-+-e+-→-hadrony-)-
R ≡  σ(e− + e+ → μ− + μ+ )
(9.7)

V případě produkce hadronů vzniká pár kvark–antikvark, který dále hadronizuje. V obou případech tak dochází k výměně virtuálního fotonu (případně jiné plně neutrální částice) v tzv. s-kanále, příslušný Feynmanův diagram je zobrazen na obr. 9.3.

Zanedbáme-li hmoty interagujících částic, liší se oba procesy pouze nábojem kvarků a mionů. Z kvantové elektrodynamiky pak dostáváme pro poměr R vztah

           N∑(E)
R(E ) = 3 ×    Q2i,
            i=1
(9.8)

kde Qi je elektrický náboj i-tého kvarku v jednotkách náboje pozitronu a N(E) je celkový počet kvarků dostupných při dané celkové těžišťové energii E. Faktor 3 ve vztahu (9.8) vyjadřuje počet možných barevných kombinací páru kvark–antikvark – protože foton je bezbarvý objekt, musí se i pár kvark–antikvark produkovat v kombinaci barva–antibarva. Tímto způsobem lze experimentálně určit počet barev. Připomeňme, že kvantové číslo barva bylo zavedeno v kvarkovém modelu kvůli zachování Pauliho vylučovacího principu pro baryonové rezonance se spinem 3/2 (viz oddíl 8.1.2).

PICT

Obrázek 9.3:Feynmanův diagram interakce e+ e+ γ f + f, kde f značí elementární fermion (kvark či mion).

Jaké hodnoty očekáváme od poměru R? Až do objevu J∕ψ byly známy pouze tři kvarky (u, d, s), dosazením nábojů (viz též tabulka 8.1) do vztahu (9.8) dostaneme R = 2. Vzroste-li těžišťová energie nad práh produkce c + c, musíme ve vztahu (9.8) započítat i příspěvek čtvrtého kvarku, Qc = 23. Další zvýšení poměru R dostaneme nad prahem produkce kvarku b. Zvýšení je tentokrát mnohem menší, neboť Qb = 13. Změření poměru R tedy dovoluje mj. určit náboje kvarků. Závislost poměru R na celkové těžišťové energii je zobrazena na obr. 9.4.

PIC

Obrázek 9.4:Závislost poměru R (9.7) na celkové těžišťové energii. Experimentální data jsou vynesena jako plné kroužky, čárkovaná čára odpovídá předpovědi kvarkového modelu, plnou čarou je vynesena předpověď QCD (zahrnuty jsou i korekce až 3-smyčkových diagramů) [1]. Píky ve spektru odpovídají jednotlivým rezonancím.

9.4 Rozšíření kvarkového modelu

V kapitole 8 jsme se seznámili s kvarkovým modelem sestávajícím ze tří kvarků. Tento model byl založen na grupě SU(3).

Po objevu čtvrtého kvarku je třeba původní kvarkový model rozšířit, neboť máme nyní čtyři stavební kameny – kvarky u, d, s, c. Příslušná grupa bude přirozeně SU(4). S kvarkem c se pojí nové aditivní kvantové číslo C (tzv. charm, půvab), C(c) = +1.6 Vzhledem k této skutečnosti je potřeba revidovat definici hypernáboje (6.26), nyní bude platit

Y ≡ ℬ + S + C
(9.9)

Základní kvartet kvarků má tvar jehlanu v prostoru definovaném osami I3,Y,C.

Pro baryony, jež jsou tvořené třemi kvarky, dostaneme z obvyklého direktního součinu

4 ⊗ 4⊗ 4 = 20S ⊕ 20MS ⊕ 20MA ⊕ 4A
(9.10)

Podobně jako v případě tří vůní kvarků (viz oddíl 8.3.2) je první 20-plet plně symetrický a odpovídá baryonovým rezonancím (JP = 32+), z dalších dvou 20-pletů s tzv. smíšenou symetrií se v přírodě realizuje jedna jejich plně symetrická kombinace odpovídající základním baryonům (JP = 12+).7 Oba váhové diagramy jsou zobrazeny na obr. 9.5. Ve spodních rovinách (C = 0) poznáváme baryony známé z oddílů 8.1.1 a 8.1.2.

Mezony jsou tvořeny párem kvark–antikvark, pseudoskalárních mezonů tedy bude celkem 16, neboť

4 ⊗ ¯4 = 15⊕ 1
(9.11)

Odpovídající váhový diagram je znázorněn v pravé části obr. 9.5. Prostřední rovina (C = 0) odpovídá již známým pseudoskalárním mezonům z oddílu 8.2.1, navíc zde přibyl plně neutrální mezon ηc. Horní rovina (C = 1) obsahuje nové, tzv. „open-charm“ mezony D, spodní rovina (C = 1) pak jejich antičástice. Podobně jako u K-mezonů tvoří nejlehčí D-mezony izospinový dublet:

  0              +
|D ⟩ = |c¯u⟩,    |D  ⟩ = |c¯d⟩

Kromě toho existuje ještě těžší mezon

|D+s ⟩ = |c¯s⟩,

který má nejen nenulový půvab, ale i podivnost.

PICPICPIC

Obrázek 9.5:Základní baryony JP = 12+ (vlevo), baryonové rezonance JP = 32+ (uprostřed) a pseudoskalární mezony JP = 0 (vpravo) v kvarkovém modelu se čtyřmi kvarky [1]. Souřadné osy jsou definovány veličinami I3,Y ≡ ℬ + S C∕3,C. Poněkud nezvyklá definice druhé osy Y je použita jen kvůli „lepšímu vzhledu“ váhových diagramů. Ty by samozřejmě bylo možné nakreslit v obvyklých souřadnicích, obrázky by však nevypadaly příliš esteticky.

Podobně můžeme kvarkový model rozšířit o pátý kvark b, ke kterému se váže nové aditivní kvantové číslo B (tzv. bottomness nebo beauty, krása), B(b) = 1. Takový model bude popsán grupou SU(5), ke grafickému znázornění bychom ovšem potřebovali čtyři vzájemně kolmé osy. Oproti modelu se čtyřmi kvarky přibudou ještě „open-bottom“ mezony B (B(B)0), nejlehčí z nich opět tvoří izospinový dublet

|B0⟩ = |d¯b⟩,    |B+ ⟩ = |u¯b⟩

Protože má b-kvark stejný náboj jako s-kvark, je kvarkový obsah těchto B-mezonů zcela analogický složení mezonů K.

Jak vidíme, všechny kvarky mají buď náboj Q = 23 (tzv. horní kvarky) nebo Q = 13 (dolní kvarky). Kvantová čísla popisující vůni kvarků – podivnost S, půvab C a krása B – nabývají hodnot 0,±1, přičemž vůně kvarku/antikvarku má stejné znaménko jako jeho elektrický náboj, tj. S(s) = 1, C(c) = +1, B(b) = 1. Tato konvence souvisí s výběrovými pravidly pro slabé semileptonové rozpady hadronů. Podobně jako pro rozpady podivných částic platí výběrové pravidlo (6.23), semileptonové rozpady D a B-mezonů splňují relace:

pict

Proto se pozorují následující rozpady

pict

kde + značí pozitron nebo μ. V kapitole 12 uvidíme, že pravidla (9.12a), (9.12b) souvisejí s existencí intermediálních bosonů W+, W.

Příklady

Příklad 9.1. Nestabilní částice s hmotou m a rozpadovou šířkou Γ má v nerelativistickém přiblížení energetické spektrum vlnové funkce

          1         Γ
|ψ (E)|2 = ----------2--------
          2π (E  − m)  + Γ 2∕4
(9.14)

Ukažte, že tento tvar je důsledkem rozpadového zákona.

Příklad 9.2. Ukažte, jak lze určit rozpadovou šířku rezonance J∕ψ ve srážkách elektronů s pozitrony, proměříme-li její hmotové píky v rozpadech na hadrony a páry ee+, μμ+. Předpokládejte, že rezonance je velmi úzká a její celková rozpadová šířka je dána součtem výše zmíněných příspěvků

Γ = Γ e + Γ μ + Γ h,
(9.15)

tj. jsou změřeny všechny přispívající procesy.

Příklad 9.3. Odhadněte následující dva poměry parciálních rozpadových šířek D-mezonů:

pict

Výsledek srovnejte s tabulkovými údaji [1].

Příklad 9.4. Mezon B+ se může rozpadat na nabité D-mezony:

pict

Zdůvodněte, proč je druhý rozpad potlačen oproti prvnímu.

1Příkladem neutrálního proudu se změnu vůně je přechod s d.

2Neutrálním proudem nazýváme interakce s výměnou neutrálního bosonu, viz též kapitola 12.

3Interakce s výměnou nabitých intermediálních bosonů W+, W, viz kapitola 12.

4S. Ting ji původně pojmenoval J, B. Richter jako ψ.

5V té době již navíc bylo známo, že existence tří rodin kvarků by umožnila jednoduše vysvětlit původ narušení kombinované CP symetrie, viz kapitolka 11.3.

6Pozornému čtenáři jistě neunikla skutečnost, že znaménková konvence je zde obrácená v porovnání s kvarkem s, kde je S(s) = 1. Volba této konvence bude objasněna na konci této kapitolky.

7Antisymetrie celkové vlnové funkce je opět zajištěna barevnou částí, viz oddíl 8.3.1.