Kapitola 8
Kvarkový model

V interakcích kosmického záření a později i v experimentech na urychlovačích bylo pozorováno mnoho různých hadronů. Vznikla tedy otázka, zda jsou tyto částice skutečně elementární, či zda by pozorované spektrum částic šlo vysvětlit pomocí nějakého jednoduchého modelu. Bylo navrženo několik modelů, jako správný se ukázal tzv. kvarkový model, kde jsou baryony složeny ze tří kvarků a mezony z páru kvark–antikvark. Kvarkový model je dobře popsán v mnoha učebnicích (např. [3]), proto se zde soustředíme jen na jeho nejdůležitější vlastnosti.

Až do sedmdesátých let dvacátého století vystačil kvarkový model se třemi kvarky (u,d,s), jejichž kvantová čísla jsou shrnuta v tabulce 8.1. Kvarky jsou tedy fermiony se spinem 12.

|---------------------|-----------------|
|       Veličina       |----Hodnota|-----|
|---------------------|-u--|--d---|--s--|
|       Spin J        | 1/2 | 1∕2  | 1∕2  |
|------Izospin-I-------|-1/2-|-1∕2--|--0--|
|  Baryonov é číslo ℬ  | 1/3 | 1∕3  | 1∕3  |
|Elektrický náboj Q [e]| 2/3 |− 1∕3  |−1∕3 |
| Projekce izospinu I  | 1/2 |− 1∕2  |  0  |
|                  3  |    |      |     |
------Podivnost S-------0-----0-----− 1--
Tabulka 8.1:Kvantová čísla základních kvarků. Odpovídající antikvarky mají opačná aditivní kvantová čísla (spodní část tabulky).

Za zmínku také stojí, že kvarkový model byl původně koncipován pouze jako matematický aparát dobře popisující pozorované vlastnosti hadronů. Objevem vnitřní struktury hadronů (anomální magnetický moment baryonů a zejména výsledky hlubokého nepružného rozptylu elektron–nukleon) však dostal nový rozměr. Potvrdilo se totiž, že kvarky jsou reálné objekty, přestože se v přírodě nevyskytují jako volné částice (více viz kapitolka 8.4).

8.1 Baryony

Baryony jsou částice složené ze tří kvarků, a mají proto poločíselný spin – jde tedy o fermiony. Základními baryony jsou proton a neutron, ze kterých jsou složena atomová jádra, a proto jim říkáme nukleony. Baryony s nenulovou podivností pak obvykle označujeme jako hyperony.

Skládáme-li baryony ze tří typů („vůní“) kvarků (u,d,s), vyjdeme ze základního kvarkového tripletu (obr. 8.1a). Poté dvakrát provedeme direktní součin, výsledky jsou postupně zobrazeny na obr. 8.1b, 8.1c. Dostaneme tak různé kombinace kvarkového složení, z nichž některé se vyskytují vícenásobně (mají různou váhu neboli multiplicitu). Celkový součet vah všech kvarkových kombinací musí přirozeně být 3 × 3 × 3 = 27.

Tyto kombinace lze rozložit do několika skupin (tzv. multipletů), v nichž mají částice některé vlastnosti stejné (např. spin, parita). Rozdělení zmíněných 27 kvarkových kombinací (s příslušnými váhami) do multipletů lze odvodit buď přímo z teorie grup nebo použitím metody Youngových tabulek [1]. Dostáváme tak

3 ⊗ 3⊗ 3 = 10 ⊕ 8⊕ 8 ⊕ 1
(8.1)

Základní baryony obsazují dekuplet (10) a jeden oktet (8), což souvisí s aplikací zobecněného Pauliho principu [3].

PICT PICT
PICT

Obrázek 8.1:Váhové diagramy vzniklé skládáním baryonů pomocí základního tripletu kvarků u(), d(), s(): a) základní triplet kvarků, b) direktní součin 3 3, c) direktní součin 3 3 3. Čísla v závorce označují váhu (multiplicitu) dané kvarkové kombinace.

8.1.1 Oktet baryonů

Vlastnosti baryonů ze základního oktetu jsou uvedeny v tabulce 8.2. Podle kvantových čísel je můžeme jednoznačně přiřadit do váhového diagramu oktetu zobrazeném na obr. 8.2a.1 Všimněme si, že bod uprostřed váhového diagramu má multiplicitu 2, odpovídá tedy dvěma částicím se stejným kvarkovým obsahem (Λ0, Σ0). Jedna z těchto částic patří do izospinového tripletu (I = 1), druhá do singletu (I = 0). V tomto případě lze jednoduše rozhodnout podle hmot – jak uvidíme dále, mají částice uvnitř izospinových multipletů velmi podobnou hmotu, proto Σ0 patří do tripletu, zatímco Λ0 do singletu.

Kromě protonu jsou všechny částice nestabilní a rozpadají se působením slabé interakce. Jedná se buď o β-rozpady

pict

nebo o rozpady se změnou podivnosti na lehčí baryon (kvůli zachování baryonového čísla ) a pion

pict

kde N značí nukleon (proton nebo neutron). Zákon zachování energie však neumožňuje rozpady2

pict

Výjimku ze slabých rozpadů představuje elektromagnetický rozpad

  0    0
Σ  →  Λ  + γ
(8.2g)

Všechny částice byly postupně objeveny v kosmickém záření, samozřejmě kromě protonu a neutronu.

PICT       PICT

Obrázek 8.2:Oktet baryonů včetně kvarkového složení: u(), d(), s(). a) standardní váhový diagram popsaný kvantovými čísly |Y,I,I3, b) váhový diagram popsaný kvantovými čísly |Q,U,U3. Vybrané vlastnosti baryonů jsou uvedeny v tabulce 8.2.

|--------|------|----|-----|---|------|---------|
|Č-ástice-|Q-[e]-|-S--|-Y---|-I-|--I3--|m--[MeV--]|
|   p    | +1   | 0  |+1   |1∕2|  1∕2  |  938,3  |
|   n    |  0   | 0  |+1   |1∕2| −1∕2  |  939,6  |
|  Λ0    |  0   |− 1 |  0  | 0 |   0  | 1115,7  |
|  Σ−    | − 1  |− 1 |  0  | 1 | − 1  | 1197,4  |
|  Σ0    |  0   |− 1 |  0  | 1 |   0  | 1192,6  |
|  Σ+    | +1   |− 1 |  0  | 1 | +1   | 1189,4  |
|   −    |      |    |     |1  | −1   |         |
|  Ξ 0   | − 1  |− 2 |− 1  | ∕2|   ∕2  | 1321,3  |
---Ξ--------0----− 2--−-1---1∕2---1∕2----1314,9---
Tabulka 8.2:Vybrané vlastnosti částic baryonového oktetu [1]: elektrický náboj Q, podivnost S, hypernáboj Y , izospin I, jeho třetí komponenta I3 a hmota m. Všechny částice mají spin 1/2 a paritu P = +1.

Kvarkový model dává jasnou předpověď ohledně kvantových čísel jednotlivých částic. Jak je to ale s jejich hmotami? V ideálním případě by všechny částice oktetu měly stejnou hmotu m8. Tak tomu zcela zřejmě není, symetrie je něčím narušena. Z tabulky 8.2 vidíme, že rozdíly mezi hmotami částic se škálují s hypernábojem, zatímco rozdíly hmot částic uvnitř izospinových multipletů (konstantní Y ) jsou mnohem menší. Toto zjištění nás vede k úvaze, že narušení symetrie souvisí s přítomností podivného kvarku s, který je těžší než kvarky u,d. Další korekce jsou pak dané rozdílným elektrickým nábojem uvnitř jednotlivých izospinových multipletů. Celkový hamiltonián tedy rozdělme na tři části

 ˆ   ˆ     ˆ      ˆ     ˆ    ˆ
H  = HSI + HEM  = H0 + HY  + HEM,
(8.3)

kde jsme hamiltonián silné interakce ĤSI rozdělili na část odpovídající přesné SU(3) symetrii3 (Ĥ0) a část odpovídající za narušení této symetrie (ĤY ). ĤEM odpovídá elektromagnetické interakci, která také narušuje přesnou SU(3) symetrii.

Odpovídá-li hamiltonián Ĥ0 přesné SU(3) symetrii, musí komutovat se všemi generátory této grupy a pro všechny částice i z oktetu baryonů platí

ˆH0|i⟩ = m8 |i⟩
(8.4)

Hamiltonián ĤY je zodpovědný za rozštěpení hmot částic mezi různými izospinovými multiplety, proto komutuje s operátorem hypernáboje, jak již bylo naznačeno výše.

Dosud jsme všechny stavy v oktetu popisovali pomocí veličin hypernáboje a izospinu, tedy trojicí kvantových čísel Y,I,I3. Stejně dobře však můžeme popsat oktet pomocí elektrického náboje Q a tzv. U-spinu (U,U3) – viz obr. 8.2b. Snadno se můžeme přesvědčit, že analogií relace (6.27) je v této soustavě vztah

         1-
Y = U3 + 2 Q
(8.5)

Neutron a Ξ0 zřejmě patří k U-spinovému tripletu. Která z částic Σ0, Λ0 doplňuje tento triplet? Zatímco v případě izospinu byla odpověď nasnadě díky rozdílným hmotám jednotlivých částic, v případě U-spinu musíme předpokládat, že součástí tripletu je obecná kombinace obou zmíněných částic. Označme člen U-spinového tripletu Σ0U a člen singletu Λ0U:

pict

Oba stavy jsou normované (α2 + β2 = 1) a musí být pochopitelně vzájemně kolmé.

U-spin má stejné matematické vlastnosti jako izospin a spin, takže existují posunovací operátory Û+, resp. Î+ s obvyklými vlastnostmi známými z kvantové mechaniky. Platí tedy:

pict

Vynásobením levých a pravých stran v rovnicích (8.7a), (8.7b) dostáváme

2⟨Σ0 |Σ0 ⟩ = ⟨Σ+|ˆI†Uˆ |n⟩ = ⟨Σ+ |ˆU Iˆ |n⟩ = ⟨p|p⟩ = 1
      U         −  −           − +
(8.8)

Při odvození jsme využili skutečnost, že operátory α± vzájemně komutují.4 Odsud již snadno určíme koeficienty α = 12= √3--2.

Vraťme se nyní k našemu modelu hamiltoniánů, popisujících rozštěpení hmot v oktetu částic (viz relace (8.3)). ĤY se transformuje jako hypernáboj, díky relaci (8.5) ho rozdělme na skalární (ĤY s) a vektorovou (ĤY v) část. Nyní pro členy U-spinového tripletu určíme hmotové korekce δ(m) plynoucí z hamiltoniánu ĤY :

pict

Korekce hmot částic dané elektromagnetickou interakcí považujeme u všech částic za stejné, neboť všechny částice z U-spinového tripletu mají stejný náboj. Použitím vztahů (8.3), (8.4) a vhodné lineární kombinace rovnic (8.9a)–(8.9c) dostáváme tzv. Gell-Mannovu-Okubovu hmotovou formuli

mn-+-m-Ξ0-= 1-m Σ0 + 3m Λ0
    2       4        4
(8.10)

Tento vztah musí platit pro každý oktet, neboť byl odvozen pouze na základě předpokladu o rozdělení hamiltoniánu (8.3). Ve skutečnosti však platí

mn + m Ξ0
----2-----= 0,13 m Σ0 + 0,87m Λ0,
(8.11)

tj. Gell-Mannova-Okubova formule (8.10) neplatí příliš přesně.

8.1.2 Baryonové rezonance

Baryonové rezonance jsou obsaženy ve výše zmíněném baryonovém dekupletu. Tyto částice mají spin 32 a paritu P = +1. Na rozdíl od baryonů z oktetu se tyto částice, s výjimkou Ω (důvod bude objasněn později), rozpadají vlivem silné interakce, mají tedy relativně velkou rozpadovou šířku Γ. Poprvé je pozoroval E. Fermi v roce 1952 jako píky ve spektru účinného průřezu interakcí pionu s nukleony, v závislosti na energii nalétávajících pionů. Jako příklad uveďme interakci

  +         ++        +
π  + p →  Δ    → p + π
(8.12)

K vytvoření částice Δ++ musíme urychlit pion na energii přibližně Tπ+ = 190 MeV, proto se tyto objevy uskutečnily až v éře urychlovačů. Celkem bylo objeveno 10 částic, které obsadily baryonový dekuplet, viz obr. 8.3.

Soustřeďme se nejprve na částice Δ,Δ++,Ω. Každá je složena z trojice stejných kvarků (ddd, uuu, sss). Jedná se o nejlehčí baryonové rezonance, proto jsou vzájemné orbitální momenty kvarků rovny nule. Spin baryonů je tak dán pouze spiny kvarků. Baryonové rezonance mají spin 3/2, proto všechny tři kvarky mají stejně orientovaný spin. Celková vlnová funkce baryonů je dána součinem spinové a kvarkové (u, d, s) části, a pro všechny tři zmíněné částice vychází tedy plně symetrická. To ale odporuje Pauliho principu. Musí tedy existovat nějaké další kvantové číslo nabývající tří různých hodnot, kterými se jednotlivé kvarky liší. Zmíněné číslo bylo nazvána barva a bylo postulováno, že hadrony se v přírodě vyskytují „bezbarvé“, tzn. kombinace barev jednotlivých kvarků tvoří barevný singlet. Zavedení barvy také vysvětluje, proč se v přírodě realizuje jen dekuplet a jeden oktet – více viz kapitolka 8.3.

PICT

Obrázek 8.3:Baryonový dekuplet, obsazený baryonovými rezonancemi. V závorkách je uvedena přibližná hmota v jednotkách MeV, kvarkové složení je zobrazeno pomocí těchto značek: u(), d(), s().

Pro hmoty částic v dekupletu platí podobné relace, jako tomu bylo v oktetu. Hmoty částic uvnitř izospinových multipletů se liší jen málo, velké rozdíly jsou naopak mezi jednotlivými multiplety. Nejlehčí jsou částice Δ, hmoty ostatních rostou s klesajícím hypernábojem, čili s rostoucím zastoupením kvarku s.

Položme si nyní otázku, zda i v dekupletu platí nějaká obdoba Gell-Mannovy-Okubovy formule? Zaveďme U-spin stejně jako u oktetu a podívejme se na čtveřici částic s nábojem Q = 1. Oproti oktetu je zde situace podstatně jednodušší, neboť všechny váhy jsou rovny jedné. Analogickou úvahou jako v případě oktetu (viz vztahy (8.3), (8.4)) dostaneme tzv. pravidlo intervalu

pict

Porovnání s experimentálními hodnotami vychází velmi dobře, typický rozdíl ve hmotách sousedních částic v U-spinovém kvartetu činí b≈−145 MeV.

Velmi zajímavá je také historie objevů baryonových rezonancí: do roku 1962 byly objeveny všechny zmíněné baryonové rezonance s výjimkou Ω. Na konferenci ICHEP (International Conference on High Energy Physics) v létě roku 1962 v Ženevě, kde byl oznámen objev Ξ, předpověděli současně a nezávisle Gell-Mann a Ne’eman existenci další částice s hmotou přibližně 1675 MeV, a to právě na základě pravidla intervalu. Kvůli své podivnosti S = 3 se tato částice musí rozpadat slabou interakcí, neboť silný rozpad na Λ0 + K0 + K není energeticky možný. Nejde tedy o rezonanci. Nový baryon byl posléze skutečně objeven na urychlovači AGS v Brookhavenu, kde byl v bublinové komoře plněné vodíkem pozorován případ interakce [28]

K − + p → Ω − + K+ + K0
(8.14)

s postupnými rozpady

pict

Snadno nahlédneme, že z energetického hlediska jde o nejvýhodnější možnou variantu produkce Ω, právě kvůli její podivnosti S = 3. Úspěšná předpověď tehdy neznámé částice tak znamenala další triumf kvarkového modelu.

Nakonec dodejme, že postupně byly pozorovány desítky dalších baryonových rezonancí. Byl proto zaveden jednotný označovací systém, který je uveden v tabulce 8.3.

|----------|-----|----|----|
|-Symbol---|-Y---|-I--|-S--|
|N (hmota ) | +1  |1∕2 | 0  |
|Δ (hmota) | +1  |3/2 | 0  |
|Λ (hmota ) |  0  | 0  |− 1 |
|Σ (hmota ) |  0  | 1  |− 1 |
|Ξ (hmota ) | − 1 |1/2 |− 2 |
|Ω (hmota ) | − 2 | 0  |− 3 |
----------------------------
Tabulka 8.3:Obecný systém značení baryonových rezonancí podle hypernáboje Y , izospinu I a podivnosti S. Hmota se udává v celých číslech v jednotkách MeV.

8.2 Mezony

Mezony jsou částice složené z páru kvark–antikvark, jejich baryonové číslo je tedy rovné nule. Protože jsou složeny ze dvou fermionů, mají celočíselný spin, jde tedy o bosony. Stejně jako baryony jsou „bezbarvé“, tzn. pár kvark–antikvark je v barevné kombinaci barva–antibarva.

Základní mezony existují jak se spinem 0, tak se spinem 1. V obou případech je vzájemný orbitální moment L kvarku a antikvarku roven nule, což odpovídá stavům s nejnižší energií. Tím je také dána parita mezonů – pro vázaný stav páru kvark–antikvark platí podle vztahu (6.33)

P =  (− 1)L+1 = − 1
(8.16)

Mezony s J = L = S = 0 (S je spinový stav páru kvark–antikvark) nazýváme pseudoskalární (viz oddíl 8.2.1), neboť mají podle vztahu (8.16) zápornou paritu. Mezony s celkovým spinem J = 1 (L = 0,S = 1) pak nazýváme vektorové, viz oddíl 8.2.2.

Podívejme se nejprve na kvarkové složení. Direktní součin tripletů kvarků a antikvarků lze rozložit na oktet a singlet

3⊗  ¯3 = 8 ⊕ 1
(8.17)

Stavy z oktetu budeme označovat |Y,I,I38, singlet obsahuje pouze jeden stav |Y = 0,I = 0,I3 = 01.

Se základním kvarkovým tripletem jsme se již seznámili na obr. 8.1a. Triplet antikvarků dostaneme jednoduše „zrcadlením“ podle obou os Y , I3, protože antikvarky mají všechna aditivní kvantová čísla (a tedy i Y,I3) opačného znaménka vzhledem ke kvarkům. Aplikací direktního součinu (8.17) dostaneme tedy 9 stavů, jejichž rozložení do oktetu a singletu je znázorněno na obr. 8.4.

PICT       PICT

Obrázek 8.4:Oktet (a) a singlet (b) vzniklý direktním součinem (8.17). Označení kvarkového obsahu: u(), d(), s(); antikvarky jsou značeny příslušnými plnými symboly. Zatímco kvarkové složení stavů na obvodu oktetu je jednoznačné, stavy |Y = 0,I = 1,I3 = 08, |Y = 0,I = 0,I3 = 08 a |Y = 0,I = 0,I3 = 01 jsou obecně lineární kombinací |uu, |dd, |ss.

Stavy s I30 mají jednoznačné kvarkové složení, podívejme se proto blíže na stavy s Y = I3 = 0. Ty jsou obecně lineární kombinací párů |uu, |dd, |ss. Odvoďme nejprve kvarkový obsah pro člen izospinového tripletu |Y = 0, I = 1, I3 = 08. Vyjdeme ze stavu |Y = 0,I = 1,I3 = 18 a aplikujeme posunovací operátor izospinu:

pict

Stav na levé straně má jednoznačné kvarkové složení, přičemž posunovací operátor izospinu musíme aplikovat zvlášť na kvark i antikvark:

pict

Pozornému čtenáři zajisté neuniklo záporné znaménko na pravé straně posledního výrazu. Chceme-li totiž, aby pro dublet kvarků i antikvarků platily stejné transformační vztahy, musí jeden z dvojice antikvarků u,d změnit znaménko, viz příklad 8.3. Srovnáním vztahů (8.18) a (8.19) dostaneme hledaný kvarkový obsah prostředního členu tripletu

|Y = 0,I = 1,I3 = 0⟩8 = 1√--(|u¯u⟩−  |d ¯d⟩)
                         2
(8.20)

Poznamenejme ještě, že znaménko „+“ na pravé straně výrazu by odpovídalo singletnímu stavu, který musí být na tripletní stav samozřejmě kolmý. Právě takový je člen mezonového singletu |Y = 0,I = 0,I3 = 01, který musí být zcela symetrický vůči kvarkům u,d,s:

                        -1-(         ¯       )
|Y = 0,I = 0,I3 = 0⟩1 = √3- |u¯u⟩+  |d d⟩+ |s¯s⟩
(8.21)

Izospinový singlet |Y = 0,I = 0,I3 = 08 v mezonovém oktetu pak musí být kolmý k oběma výše uvedeným stavům. Dostáváme tedy

                        1 (                  )
|Y  = 0,I = 0,I3 = 0⟩8 = √--2 |s¯s⟩ − |u ¯u⟩− |d¯d⟩
                         6
(8.22)

Všechny stavy jsou určeny jednoznačně až na celkovou fázi, na té ale nezáleží.

Nakonec zmiňme ještě jednu odlišnost od baryonů. Ke každému baryonu existuje odpovídající antibaryon; tyto antibaryony by rovněž tvořily oktet. U mezonů však žádný oktet antičástic neexistuje, neboť částice a antičástice jsou obsaženy přímo v základním multipletu. Stav |Y = 0,I = 1,I3 = 18 představuje zjevně antičástici ke stavu |Y = 0,I = 1,I3 = 18, stejně tak jsou spolu spojené stavy |Y = 1,I = 12,I3 = 128, |Y = 1,I = 12,I3 = 128, resp. stavy |Y = 1,I = 12,I3 = 128, |Y = 1,I = 12,I3 = 128. Zbývající tři stavy mají všechna aditivní kvantová čísla rovna nule. Tyto tzv. plně neutrální částice jsou samy sobě antičásticí, stejně jako například foton.

8.2.1 Pseudoskalární mezony

Pseudoskalární mezony jsou částice se spinem 0 a paritou P = 1. Dosud jsme se seznámili s piony, kaony a η0, které obsazují oktet. Devátým mezonem je rezonance η0 , která je stejně jako η0 plně neutrální, má však výrazně vyšší hmotu než ostatní zmíněné mezony.

Přiřazení částic k jednotlivým stavům oktetu a singletu snadno určíme podle jejich kvantových čísel. Pochybnosti by mohly vzniknout u plně neutrálních částic (π0, η0, η0 ), zde nám však pomohou jejich hmoty. Částice π0 má prakticky stejnou hmotu jako π a π+, tyto částice tedy tvoří izospinový triplet. O přiřazení zbývajících dvou částic η0, η0 rozhodneme pomocí Gell-Mannovy-Okubovy formule.

Gell-Mannova-Okubova formule musí být v principu stejná jako pro oktet baryonů, viz relace (8.10). Jediný rozdíl spočívá v tom, že mezony jsou bosony. Dá se totiž ukázat, že příslušné chirální lagrangiány obsahují ve svých proudech kvadráty hmot, nikoli jen jejich první mocniny.5 Proto do Gell-Mannovy-Okubovy formule pro mezony vstupují kvadráty hmot

m2   + m2
--K0-----¯K0 = m2K0 = 1m2π0 + 3m288
     2               4       4
(8.23)

kde m88 je hmota stavu |Y = 0,I = 0,I3 = 08. Zde jsme využili skutečnost, že částice K0, K0 tvoří pár částice–antičástice, a mají proto stejnou hmotu. Dosazením naměřených hmot do formule (8.23) dostaneme pro člen oktetu ve stavu Y = I = 0 předpověď hmoty m88 = 569,3 MeV. Porovnáním se skutečnými hmotami částic η0, η0 vidíme, že členem oktetu je prvně jmenovaný mezon, druhý tedy musí být členem singletu. Výsledné přiřazení částic do multipletů a kvarkové složení je shrnuto v tabulce 8.4.

|--------|---------|---------------------------|-------------------------|
|Č ástice | Hmota   |----------|Stav|----|------|        Kvarkové         |
|--------|m--[MeV--]|multiplet-|-Y--|-I--|--I3---|---------složení----------|
|  π−    |  139,6   |  oktet   | 0  | 1  | − 1  |          |d ¯u⟩           |
|  π0    |  135,0   |  oktet   | 0  | 1  |  0   |    (|u ¯u⟩− |d¯d⟩)∕√2--    |
|  π+    |  139,6   |  oktet   | 0  | 1  | +1   |          |u ¯d⟩           |
|    0   |         |          |    | 1  |− 1   |                         |
|  K+    |  497,6   |  oktet   | 1  | /2 |  ∕2  |          |d¯s⟩           |
|  K     |  493,7   |  oktet   | 1  | 1/2 | 1∕2  |          |u¯s⟩           |
|  K−    |  493,7   |  oktet   |− 1 | 1/2 |− 1∕2  |          |s¯u⟩           |
|  ¯K0    |  497,6   |  oktet   |− 1 | 1/2 | 1∕2  |(         |s¯d⟩     ) √ --|
|  η0    |  547,5   |  oktet   | 0  | 0  |  0   | 2|s¯s⟩− |u¯u⟩ − |d ¯d⟩ ∕  6 |
|--η0′---|--957,8---|--singlet--|-0--|-0--|--0---|-(|u-¯u⟩+-|d¯d⟩-+-|s¯s⟩)∕√3---|
--------------------------------------------------------------------------
Tabulka 8.4:Přiřazení pseudoskalárních mezonů k SU(3) stavům oktetu a singletu, včetně kvarkového složení a hmot. Všechny uvedené mezony mají spin nula a zápornou paritu.

8.2.2 Vektorové mezony

Podobně jako existují baryonové rezonance (viz oddíl 8.1.2), existují i rezonance v sektoru mezonů. Jde o mezony se spinem 1 a zápornou paritou, říkáme jim proto vektorové mezony.

Mezonové rezonance se rozpadají silnou interakcí na lehčí pseudoskalární mezony. Jako všechny mezony jsou i tyto rezonance složeny z páru kvark–antikvark, kvarky mají ovšem paralelně orientované spiny. Existuje devět základních6 mezonových rezonancí, rozdělených opět do SU(3) oktetu (viz obr. 8.5) a singletu. Vlastnosti jednotlivých mezonů jsou shrnuty v tabulce 8.5. Postup přiřazení pozorovaných částic do váhových diagramů je velmi podobný jako v případě pseudoskalárních mezonů. Stavy v oktetu s jednotkovou vahou jsou jasně definovány, přiřazení částice ρ0 do izospinového tripletu vyplývá z její hmoty, která je velmi blízká hmotám ostatních částic (ρ, ρ+) tohoto tripletu.

PICT

Obrázek 8.5:Oktet vektorových mezonů spolu s kvarkovým obsahem: u(), d(), s(); antikvarky jsou značeny příslušnými plnými symboly. Znázorněny jsou všechny částice kromě izospinového singletu |Y = 0,I = 0,I3 = 08. Čísla v závorkách udávají přibližnou hmotu v jednotkách MeV.

Zbývá tedy rozhodnout o přiřazení dvou zbývajících vektorových mezonů – ω0 a ϕ0. Stejně jako v oddíle 8.2.1 použijeme Gell-Mannovu-Okubovu formuli, která předpovídá hmotu částice v oktetu m88 = 932,7 MeV. Protože ani jedna ze dvou zmíněných částic nemá podobnou hmotu, musíme předpokládat, že narušení SU(3) symetrie popsané hamiltoniánem ĤY (viz rovnice (8.3)) způsobuje mísení izospinových singletů mezi SU(3) oktetem a SU(3) singletem. Jinými slovy

m81 ≡ 8⟨Y = 0,I = 0,I3 = 0|Hˆ0 + HˆY |Y = 0,I = 0,I3 = 0⟩1 ⁄= 0
(8.24)

Mísení stavů formálně popíšeme pomocí jednoho směšovacího úhlu 𝜃V

(   0  )   (                 ) (                       )
  |ϕ0⟩   =     cos 𝜃V   sin 𝜃V      |Y =  0,I = 0,I3 = 0⟩8
  |ω ⟩        − sin 𝜃V  cos𝜃V      |Y =  0,I = 0,I3 = 0⟩1
(8.25)

Touto standardní volbou jsme zajistili, že stavy |ϕ0,|ω0jsou na sebe kolmé a zároveň jsou oba normované. Fyzikální stavy |ϕ0, |ω0a jejich hmoty (resp. kvadráty hmot) budou vlastními vektory a čísly hmotové směšovací matice

      (   2    2  )
M2 =    m 121 m 821   ,
        m 18 m 88
(8.26)

kde se vyskytují kvadráty hmot stejně jako v Gell-Mannově-Okubově formuli pro mezony. Jednotlivé hmoty jsou definovány vztahem (8.24), resp. jeho variacemi. Vlastní čísla a vektory získáme diagonalizací matice M2, dostaneme celkem tři nezávislé rovnice. Při vhodné volbě fáze platí m18 = ±m81, takže máme celkem tři neznámé (𝜃V,m11,m18), hmotu m88 jsme určili z Gell-Mannovy-Okubovy formule. Řešením dostáváme

        m2  − m2
tg2𝜃V = --ϕ0----88
        m288 − m2ω0
(8.27)

Dosazením hmot částic z tabulky 8.5 dostaneme 𝜃V = 39,1.7

Kvarkový obsah vektorových mezonů je stejný jako u mezonů se spinem 0, liší se jen pro částice ω0, ϕ0 díky výše uvedenému mísení izospinových singletů z SU(3) oktetu a singletu. Výsledné kvarkové složení je uvedeno v tabulce 8.5 spolu s vybranými vlastnostmi částic. Díky experimentální hodnotě směšovacího úhlu 𝜃V vychází kvarkové složení mezonu ϕ0 téměř jako čistý stav |ss (tzv. ideální mísení by nastalo pro tg 𝜃V = 1√--
 2, tj. 𝜃V = 35,3). Podívejme se blíže na rozpadové kanály tohoto mezonu, viz též tabulka 8.6. Téměř 85% rozpadů připadá na dvojici kaonů, zatímco jen 15% na rozpady s nepodivnými mezony v koncovém stavu. Přitom druhý zmíněný typ rozpadu je preferován z hlediska fázových objemů (viz příklad 8.6). Musí tedy existovat mechanismus, který tento typ rozpadu zakazuje. Toto zjištění vedlo k formulaci Zweigova pravidla, viz kapitolka 8.5.

|----------|---------|-------------------------------|----------------------|
| Č ástice  | Hmota   |-------------Stav---|---|------|      Kvarkov é       |
|----------|m--[MeV--]|---multiplet---|-Y---|I--|--I3--|--------složení--------|
| ρ− (770) |  775,4   |    oktet     | 0   |1  | − 1  |         |d ¯u⟩         |
| ρ0(770)  |  775,5   |    oktet     | 0   |1  |  0   |  (|u¯u⟩ − |d ¯d⟩)∕√2--  |
| ρ+(770)  |  775,4   |    oktet     | 0   |1  | +1   |         |u ¯d⟩         |
|  0∗      |         |              |     |1  |− 1   |                      |
|K +∗(892) |  896,0   |    oktet     | 1   |/2 |  ∕2  |         |d ¯s⟩         |
|K  ∗(892) |  891,7   |    oktet     | 1   |1/2 | 1∕2  |         |u ¯s⟩         |
|K − (892) |  891,7   |    oktet     |− 1  |1/2 |− 1∕2  |         |su¯⟩         |
|K¯0-∗(892)-|--896,0---|----oktet-----|−-1--|1/2-|-1∕2--|-------(-|sd¯⟩-----)---|
|  0       |         |  30% oktet,  |     |   |      |  0,707  |u ¯u⟩+ |d ¯d⟩   |
| ω (782)  |  782,7   | 70%  singlet  | 0   |0  |  0   |      +0,033|s¯s⟩      |
|----------|---------|--70%-oktet,--|-----|---|------|------0,999|s¯s⟩-------|
|ϕ0 (1020 ) | 1019,5  |              | 0   |0  |  0   |        (        ¯ )  |
-----------------------30%--singlet---------------------−-0,023--|u-¯u⟩+-|dd⟩----
Tabulka 8.5:Přiřazení vektorových mezonů k SU(3) stavům oktetu a singletu, včetně kvarkového složení a hmot [1]. V tabulce jsme použili stručné označení izospinových singletních stavů: |8⟩≡|Y = 0,I = 0,I3 = 08, |1⟩≡|Y = 0,I = 0,I3 = 01. Všechny uvedené mezony mají spin jedna a zápornou paritu.

|--------------------|--------------|
|-Rozpado+v-ý-k−anál---|-----BR-------|
|     K  + K         |(49,2 ± 0,6) %  |
|     K0S + K0L      |(34,0 ± 0,5) %  |
-ρ-+-π,π+-+-π0-+-π−---(15,3-±-0,4)-%---
Tabulka 8.6:Hlavní rozpady mezonu ϕ0 a odpovídající větvicí poměry BR. Poslední řádka zahrnuje dva experimentálně obtížně rozlišitelné rozpady, dominantní je ovšem varianta ρ + π [1].

8.3 Vlnové funkce hadronů

8.3.1 Barevná část vlnové funkce

Jak jsme již zmínili v oddíle 8.1.2, vyskytují se hadrony v přírodě jako barevné singlety. Protože existují tři barvy, nejjednodušší kombinace obsahující barevný singlet jsou pár kvark–antikvark (mezony) a tři kvarky (baryony):

Mezony:
složením barvy a antibarvy vzniknou analogicky podle vztahu (8.17) oktet a singlet. Tento singlet je plně symetrickou kombinací barvy a antibarvy, barevnou část vlnové funkce mezonu lze proto napsat jako:
     -1- (  ¯      ¯      ¯ )
ψc = √3-- |R R⟩+  |B B⟩+ |G G⟩ ,
(8.28)

kde R, G, B označují jednotlivé barevné stavy (red, green, blue).

Baryony:
složením tří barevných stavů tří kvarků vzniknou analogicky podle vztahu (8.1) dekuplet, dva oktety a jeden singlet. Tento singlet je plně antisymetrickou kombinací trojice barev, barevnou část vlnové funkce je proto možné zapsat pomocí totálně antisymetrického tenzoru 𝜖ABC
ψc = √1-𝜖ABC |ABC  ⟩,
       6
(8.29)

kde A,B,C nabývají hodnot jednotlivých barev R, G, B.

Experimentální potvrzení existence barvy a tří barevných stavů přinesly experimenty měřící poměr účinných průřezů anihilace párů elektron–pozitron s různými koncovými stavy, podrobnosti nalezne čtenář v kapitolce 9.3.

Dalšími kombinacemi kvarků a antikvarků, které obsahují barevný singlet jsou |qqqqa tzv. pentakvarky |qqqqq.8 Kromě mezonů a baryonů se však zatím žádné jiné vázané stavy kvarků a antikvarků prokazatelně nepozorovaly.

8.3.2 Vlnová funkce baryonů

Celková vlnová funkce baryonů je složena z barevné (ψc), prostorové (ψl), spinové (ψs) a kvarkové (ψq) části, přičemž jako celek musí být plně antisymetrická. Zmíněné části mají následující vlastnosti:

Barevná část
vlnové funkce je podle vztahu (8.29) plně antisymetrická, označme ji proto ψc,A.
Prostorová část
vlnové funkce je pro nejlehčí baryony symetrická (ψl,S), neboť v nejlehčích baryonech mají kvarky vzájemné orbitální momenty rovny nule.
Spinová část
vlnové funkce: Složením spinů tří kvarků vznikne kvartet se spinem 3/2 a dva dublety se spinem 1/2. Kvartet je plně symetrický vůči záměně kvarků, dva dublety nemají definovanou symetrii a jeden z nich je symetrický při záměně prvního a druhého kvarku, zatímco druhý je při této záměně antisymetrický. Značíme je 12MS a 12MA:
ψs = 1∕2⊗ 1∕2⊗ 1∕2 = (1S ⊕ 0A)⊗ 1∕2 = (1S ⊗ 1∕2)⊕ (0A ⊗ 1∕2) = 3∕2S ⊕ 1∕2MS ⊕ 1∕2MA
(8.30)

Kvarková část
vlnové funkce: Složením tří nejlehčích kvarků u, d a s vzniknou následující multiplety: totálně symetrický dekuplet 10S, dva oktety se smíšenou symetrií 8MS a 8MA a antisymetrický singlet 1A.

Z uvedených skutečností vyplývá:

Nyní lze vypočítat magnetický moment protonu. Z tvaru vlnové funkce (8.33) vyplývá, že s pravděpodobností 2/3 mají kvarky u shodně orientovaný spin a v 1/3 případů opačně. Označíme-li magnetické momenty u a d-kvarků μu a μd a předpokládáme-li, že jejich velikosti jsou úměrné nábojům kvarků (μu = +2μ0 a μd = 1μ0), můžeme vypočítat magnetický moment protonu:

      (        )           (               )
μp = 2-2μu − μd  + 1μd =  2-2⋅2 μ0 − (− 1)μ0 + 1-(− 1)μ0 = 3μ0
     3             3      3                   3
(8.34a)

Pro neutron platí obdobný výraz se záměnou u d:

     2(        )   1      2(              )   1
μn = 3-2μd − μu  + 3μu =  3-2⋅(− 1)μ0 − 2μ0 + 32 μ0 = − 2μ0
(8.34b)

Vidíme, že tyto jednoduché odhady předpovídají existenci anomálních magnetických momentů protonu a neutronu a jejich poměr μn∕μp = 23 velmi dobře souhlasí s experimentálním pozorováním μn∕μp = 1,913μN2,793μN = 0,685 [1].

8.4 Silná interakce, kvarky a gluony

Hadrony jsou složeny z kvarků, vzniká tedy otázka, jaké síly působí mezi nimi a navíc jim nedovolí se z hadronů uvolnit. Silnou interakci mezi kvarky zprostředkovávají výměnné částice, které nazýváme gluony. Ty nesou kvantové číslo barva a antibarva a při interakci mění barvu kvarků. Existuje celkem 9 kombinací barva–antibarva. Osm z nich je barevných

                                      1 (           )   1  (                   )
|R ¯B⟩, |RG¯⟩, |BR¯⟩, |BG¯⟩, |G ¯R⟩, |G ¯B⟩, √ |R¯R ⟩− |B¯B ⟩ ,√ 2|G ¯G ⟩− |R¯R ⟩− |B¯B⟩  ,
                                      2                  6

zatímco poslední kombinace

   (                   )
√1--|RR¯⟩+ |BB¯⟩+ |GG¯⟩
  3

je úplně symetrická a tudíž bezbarvá. Jedná se o analogii s klasifikací mezonů jakožto vázaných stavů kvark–antikvark, viz oddíl 8.2.1. Symetrická barevná kombinace nemůže tedy měnit barvu kvarků, silných interakcí se neúčastní, a proto tedy existuje celkem 8 gluonů.

Protože gluony mají barvu, interagují také mezi sebou. Jejich vzájemná interakce se projevuje jako tzv. asymptotická svoboda, tj. kvarky se na velmi malých vzdálenostech chovají jako volné, interakce mezi nimi se blíží k nule. Potenciál mezi kvarky je přitažlivý, se vzdáleností roste a není shora omezen, což neumožňuje kvarkům, aby se uvolnily z hadronů. Mluvíme o tzv. uvěznění kvarků.

Ač mají gluony nulovou hmotu, dosah silných sil mezi hadrony je omezen tím, že hadrony jsou bezbarvé objekty. Hadrony tudíž nemohou mezi sebou interagovat výměnou jednoho gluonu. Na obrázku 8.6 je naznačeno, jak je možné popsat interakci mezi nukleony v jádře pomocí výměny dvojice kvark–antikvark, což právě odpovídá výměně mezonu (π). Vidíme tedy, že jaderné síly jsou „zbytkovým“ projevem barevných sil vně hadronů.

PICT

Obrázek 8.6:Feynmanův diagram interakce mezi dvěma nukleony. Interakce je zprostředkována výměnou dvojice kvark–antikvark, která odpovídá barevně neutrálnímu pionu π+ = (ud).

8.5 Zweigovo pravidlo

Vraťme se nyní k rozpadům mezonu ϕ0 a nakresleme pro každý rozpad tzv. planární diagram,který zobrazuje kvarkové linky v počátečním a koncovém stavu. Linky se přitom nesmí křížit. Příklady planárních diagramů pro dva typy rozpadů částice ϕ0 jsou zobrazeny na obr. 8.7. Souvislým diagramem nazýváme takový, jehož linky z počátečního stavu pokračují bez přerušení do stavu koncového (např. obr. 8.7a). Není-li tato podmínka splněna, nazýváme diagram nesouvislým (obr. 8.7b); takový diagram typicky odpovídá anihilaci kvarků v počátečním stavu.

Zweigovo pravidlo říká, že dovolené rozpady mají souvislý planární diagram, zatímco zakázané (a tedy silně potlačené) rozpady se vyznačují nesouvislým planárním diagramem. Toto pravidlo tedy kvalitativně vysvětluje větvicí poměry rozpadů mezonu ϕ0, který je téměř čistým stavem |ss. Další aplikace Zweigova pravidla uvidíme v oddíle 9.1.2.

PICT    PICT

Obrázek 8.7:Planární diagramy dvou typů rozpadu částice ϕ0(1020): a) souvislý diagram Zweig-dovoleného rozpadu ϕ0 K+ + K, b) nesouvislý diagram Zweig-zakázaného rozpadu ϕ0 ρ+ + π.

Zweigovo pravidlo lze kvalitativně vysvětlit v rámci kvantové chromodynamiky. Mezon je bezbarvý objekt, pár kvark–antikvark se tedy nachází ve stavu barva–antibarva. Gluon, který je nositelem silné interakce, je barevný objekt, proto k anihilaci takového páru kvark–antikvark potřebujeme výměnu alespoň dvou gluonů. V případě mezonu ϕ0 musí při anihilaci dojít dokonce k výměně tří gluonů, neboť C(g) = 1 a JPC(ϕ0) = 1−−.9 K vytvoření dvou mezonů ve finálním stavu rozpadu potřebujeme ještě další gluon vytvářející pár kvark–antikvark, to je ale stejné při Zweig-dovoleném i při Zweig-zakázaném rozpadu. Příslušné Feynmanovy diagramy10 rozpadu ϕ0 jsou znázorněny na obr. 8.8. Zweig-zakázaný rozpad je tedy procesem mnohem vyššího řádu, proto je silně potlačen oproti Zweig-dovolenému rozpadu.

PICT PICT

Obrázek 8.8:Feynmanovy diagramy Zweig-dovoleného (vlevo) a Zweig-zakázaného (vpravo) rozpadu mezonu ϕ0. Zweig-zakázaný rozpad je procesem o tři řády vyšším než Zweig-dovolený rozpad, a proto je výrazně potlačen. V diagramech jsou také znázorněny barvy kvarků a gluonů. Gluon nese barevný náboj, proto může měnit barvu kvarků. Hadrony jsou ovšem „bezbarvé“ objekty, proto jsou v mezonech páry kvark–antikvark vždy ve stavu barva–antibarva.

Příklady

Příklad 8.1. Pomocí izospinu určete větvicí poměry rozpadu částice Λ0

pict

Výsledek porovnejte s experimentálními hodnotami [1].

Příklad 8.2. Pomocí zákonu zachování izospinu určete poměr účinných průřezů reakcí

pict

Všechny reakce probíhají při stejné celkové energii v těžišti.

Příklad 8.3. Ukažte, že transformační vlastnosti izospinového dubletu (u,d) jsou stejné jako u dubletu (d,u).

Příklad 8.4. Ukažte platnost (přibližné) Gell-Mannovy-Okubovy formule pro pseudoskalární mezony na kvarkové úrovni, znáte-li kvarkový obsah jednotlivých mezonů (viz tabulka 8.4). Předpokládejte, že hmota kvarků u,d je stejná, liší se jen hmota kvarku s. Stejně tak uvažujte stejnou vazbovou energii mezi kvarky ve všech mezonech.

Příklad 8.5. Určete hodnotu směšovacího úhlu 𝜃P u pseudoskalárních mezonů mezi singletními izospinovými stavy v SU(3) oktetu a SU(3) singletu. Jak se změní kvarkové složení těchto mezonů, uvedené v tabulce 8.4?

Příklad 8.6. Určete fázové objemy rozpadů

pict

Který z rozpadů bude pravděpodobnější?

Příklad 8.7. Určete C a G-paritu mezonů ρ00 a zdůvodněte jejich hlavní rozpadové kanály.

Příklad 8.8. Odvoďte tvar vlnové funkce ψq ψc pro baryonovou rezonanci Δ.

Příklad 8.9. Odvoďte tvar spinové a kvarkové funkce (8.33) protonu s projekcí spinu +12.

Příklad 8.10. Vypočítejte poměr magnetických momentů neutronu a protonu za (mylného) předpokladu, že spinová a kvarková část vlnové funkce je ψs ψq = 12MS 8MS.

1Tento diagram je podmnožinou obr. 8.1c, jak vyplývá z relace (8.1).

2Pokud by existoval rozpad (8.2e), jednalo by se o rozpad vlivem silné interakce a jeho pravděpodobnost by byla prakticky 100 %.

3V přesné SU(3) symetrii by všechny kvarky u, d, s měly mít stejnou hmotu.

4Důkaz lze provést např. v maticové reprezentaci grupy SU(3).

5Detailní objasnění tohoto tvrzení je daleko za rámcem tohoto textu, případné zájemce odkazujeme např. na literaturu [29].

6Stejně jako v sektoru baryonů existují i zde vyšší mezonové rezonance.

7Zmíněný postup vede pouze k předpovědi absolutní hodnoty směšovacího úhlu 𝜃V. Detailnější rozbor kvarkového modelu pak vede ke kladné hodnotě tohoto úhlu [30].

8Pentakvarky se hledají jako např. baryony s vysokou podivností (S < 3, např. stav |ssssd), přičemž neobvyklá podivnost by byla zaznamenána v produktech jejich silných rozpadů.

9Situace je zde obdobná jako u pozitronia ve stavu 3S 1, které se rozpadá na tři fotony.

10Podrobnosti o Feynmanových diagramech nalezne čtenář v libovolné učebnici kvantové teorie pole, viz např. [31].