Kapitola 7
Magnetický moment

Každá částice je charakterizována různými veličinami (hmota, náboj, spin, další kvantová čísla), mezi základní vlastnosti patří i magnetický moment.

Podívejme se nejprve na orbitální magnetický moment v klasickém případě. Z elektrodynamiky víme, že magnetický moment proudové smyčky je dán vztahem

⃗μ = IS⃗n,
(7.1)

kde I je proud tekoucí uzavřenou smyčkou o ploše S, n je jednotkový vektor kolmý k ploše smyčky. Uvažme nyní elektron obíhající kolem jádra po kružnici o poloměru r. Nabitý elektron vytváří svým orbitálním pohybem (rychlost v) kolem jádra proudovou smyčku s magnetickým momentem

           dQ-  2     − ev  2    −-e
⃗μ = IS ⃗n =  dt πr ⃗n = 2πrπr  ⃗n =  2 vr⃗n,
(7.2)

kde e je elementární náboj (e > 0). Takový elektron vytváří svým pohybem současně moment hybnosti

 ⃗
J = ⃗r × ⃗p = mevr⃗n
(7.3)

Kombinací vztahů (7.2) a (7.3) dostáváme pro orbitální magnetický moment elektronu vztah

     − e     − eℏ J⃗      J⃗
⃗μ = 2m--J⃗=  2m---ℏ ≡ − μB ℏ
       e        e
(7.4)

Veličina μB se nazývá Bohrův magneton. Výše uvedené odvození je klasické, v případě orbitálního magnetického momentu však dostaneme stejný výsledek i v kvantové mechanice.

Magnetický moment částice souvisí s jejím vnitřním momentem hybnosti, tedy se spinem. Zde klasické představy již nefungují, z kvantové mechaniky bychom pro bodový elektron se spinem s dostali vztah

⃗μe = − e⃗s = − 2μB ⃗s-= − geμB ⃗s
     me          ℏ         ℏ
(7.5)

Číselný faktor je zde dvojnásobný oproti orbitálnímu magnetickému momentu. Místo faktoru 2 se obecně používá tzv. gyromagnetický poměr g, někdy též nazývaný Landého faktor. Ze vztahu (7.5) vidíme, že pro bodovou Diracovu částici (fermion se spinem 1/2) je g = 2. V relativistické kvantové teorii pole ale vystoupí dodatečné kvantové korekce, takže výsledný gyromagnetický poměr elektronu je

         (    α-)
ge = 2 ×  1+  2π
(7.6)

V experimentech zaměřených na tzv. anomální magnetický moment se pak měří faktor g 2 a výsledek se srovnává s teorií, viz např. [26].

Analogicky se vztahem (7.5) vyjádříme nyní magnetický moment protonu:

⃗μp = gp-eℏ- ⃗s-= gp -eℏ- ⃗s--= gpμN -⃗s-
       2mp  ℏ    2 2mp  |⃗s|    2   |⃗s|
(7.7)

Veličina μN e(2mp) se nazývá jaderný magneton (analogie Bohrova magnetonu pro elektron).1 Ve stejných jednotkách se udávají magnetické momenty i všech ostatních hadronů.

Magnetické momenty protonu a neutronu byly naměřeny μp 2,793μN, resp. μn ≃−1,913μN [1]. Tyto hodnoty jsou odrazem vnitřní struktury hadronů (viz též oddíl 8.3.2), podle vztahu (7.7) bychom pro bodový proton a neutron totiž očekávali μp = 1μN, resp. μn = 0μN.

7.1 Magnetický moment Λ0

U nestabilních částic se měří jejich magnetický moment pomocí precese v silném magnetickém poli. Je-li zkoumaná částice polarizovaná, má charakteristické úhlové rozdělení dceřiných částic. Projde-li navíc před rozpadem magnetickým polem, bude se její spin díky precesi magnetického momentu stáčet a tím pádem bude stočena i rovina rozpadu. Úhlové rozdělení dceřiných částic tak bude jistým způsobem posunuté, velikost posunutí bude odpovídat úhlu precese.

Podívejme se nyní na precesi magnetického momentu z hlediska klasické mechaniky. Označme J moment hybnosti naší částice, který se otáčí kolem osy rovnoběžné s vektorem magnetické indukce B vnějšího magnetického pole (viz obr. 7.1).

PICT

Obrázek 7.1:Schéma precese momentu hybnosti J kolem osy rovnoběžné s vektorem magnetické indukce B.

Při precesi opisuje vektor J plášť kužele, jeho velikost zůstává tedy zachována. Změnu momentu hybnosti můžeme proto vyjádřit

d⃗J = |J⃗|sin 𝜃ωpdt,
(7.8)

kde ωp je úhlová rychlost precese. Z Newtonových pohybových zákonů plyne vztah mezi změnou momentu hybnosti a momentem síly M

dJ⃗
-dt = ⃗M
(7.9)

V našem případě je moment síly dán magnetickým momentem a vnějším magnetickým polem

⃗        ⃗
M  = ⃗μ×  B
(7.10)

Použitím vztahů (7.8)–(7.10) dostaneme pro velikost úhlové rychlosti precese

ωp = μB-
     |⃗J|
(7.11)

Úhel precese 𝜖 je pak dán vztahem

𝜖 = ω t,
     p
(7.12)

kde t je doba průchodu rozpadající se částice magnetickým polem. Musíme si však uvědomit, že chceme určit magnetický moment μ v klidovém systému částice. Bude-li se částice pohybovat, musíme vzít v úvahu:

Zatímco první korekce je triviální, transformace vektoru B záleží na jeho směru vzhledem ke směru letu částice.

Podívejme se nyní na precesi magnetického momentu z hlediska kvantové mechaniky. Potenciální energie Em magnetického momentu ve vnějším magnetickém poli o indukci B je

           ⃗       ⃗s-⋅ ⃗B-
Em  = − ⃗μ⋅B  = − μΛ |⃗s|
(7.13)

V poslední úpravě jsme použili relaci (7.7), μΛ je hledaný magnetický moment Λ0. Hyperon Λ0 má spin 1/2, jeho vektor lze proto popsat pomocí Pauliho matic σ

⃗s = ℏ⃗σ
    2
(7.14)

Vlnovou funkci Λ0 rozpadající se na proton a pion jsme odvodili v příkladu 6.1, připomeňme zde výslednou hustotu pravděpodobnosti

             1 {                    [(          )                                ]}
|Ψ Λ(𝜃,ϕ)|2 = ---1 − 2|S||P |cos(s − p)  |U |2 − |D |2 )cos𝜃 + 2|U ||D |sin 𝜃cos(ϕ + u− d)  ,
             4π
(7.15)

kde U = |U|eiu,D = |D|eid jsou amplitudy výskytu Λ0 ve stavech projekcí spinu 12, resp. 12 a S = |S|eis,P = |P|eip jsou amplitudy S a P-vlny.2 Časový vývoj amplitud U a D popisuje Schrödingerova rovnice

    (       )        (                     ) (      )
iℏ∂    U(t)   = − μ       Bz     Bx −  iBy      U (t)
   t   D(t)        Λ   Bx + iBy     − Bz       D (t)
(7.16)

Zaveďme úhly 𝜃,ϕ, které svírají vektor magnetické indukce a zvolená kvantovací osa. Soustava diferenciálních rovnic (7.16) má potom tvar

    (      )          (                   ) (       )
      U (t)                cos𝜃    sin 𝜃e−iϕ      U (t)
iℏ∂t   D (t)   = − μΛB    sin 𝜃e+iϕ   − cos 𝜃      D (t)   ,
(7.17)

kde B = ∘ -------------
  B2 + B2 + B2
   x    y     z. Vybereme-li směr kvantovací osy ve směru B (tj. 𝜃 = 0), má řešení této soustavy jednoduchý tvar

pict

S časem se tedy mění pouze fáze U,D a tato změna fáze přispěje do úhlového rozdělení (7.15), konkrétně v azimutálním úhlu. Po integraci přes polární úhel tedy dostaneme

              {                                   (                  )}
       2   -1-                                                2-μΛB-
|ΨΛ (ϕ )|  = 2π  1 − π|S||P ||U (0)||D(0)|cos(s− p)cos  ϕ + u − d+    ℏ  t
(7.19)

Snadno nahlédneme, že úhlová rychlost precese činí

      2μΛB--
ωp =    ℏ  ,
(7.20)

což je stejné jako u klasického odvození, viz relace (7.11).

Z výsledného vztahu (7.19) vyplývá, že precesi spinu v magnetickém poli můžeme měřit pouze tehdy, narušuje-li se v rozpadu Λ0 parita. V takovém případě přispívají S i P-vlna a navíc spolu interferují, tj. |S + P|2|S|2 + |P|2. Dále je nutné, aby obě amplitudy U(0),D(0) byly nenulové, tedy vznikající hyperony nesmějí být zcela polarizovány ve směru magnetického pole.

7.1.1 Experimentální uspořádání

Podívejme se na měření magnetického momentu částice Λ0 z roku 1971 [27]. Hyperony Λ0 byly produkovány v reakci3

  +        0    +
π  + n →  Λ  + K
(7.21)

Svazek π+ s hybností p = 1,02 GeV dopadal na beryliový terč, kde interagoval s neutrony, viz obr 7.2. Nalétávající π+ jsou identifikovány svazkovým čítačem B v anti-koincidenci s čítačem G, čímž je definován příčný profil svazku. Terč je uložen uvnitř magnetu, takže produkty reakce (7.21) procházejí silným pulsním magnetickým polem. Částice Λ0 vybíráme tak, aby se rozpadly až za magnetem, tj. požadujeme, aby v čítači Λ nebyl signál a současně byl signál v triggerovém čítači T.

Hyperon Λ0 se rozpadá vlivem slabé interakce. V experimentu se využívá rozpadový kanál s nabitými částicemi v koncovém stavu

Λ0 →  p+ π −
(7.22)

Produkty rozpadu Λ0 jsou pak měřeny v doletové komoře (range chamber). Částice K+ jsou identifikovány změřením ionizace (scintilátory S1, S2, S3) a rychlosti nabitých produktů rozpadu K+ (Čerenkovský detektor C), doplněném o veto rychlých π+ (Čerenkovský detektor π). Směr magnetické indukce B míří ve směru letu Λ0 a tento směr definuje osu z. Další podrobnosti najdeme v původním článku [27].

PIC

Obrázek 7.2:Schéma experimentálního uspořádání pro měření magnetického momentu Λ0 [27].

Kombinací vztahů (7.20) a (7.12) dostáváme pro precesi magnetického momentu částice po průchodu dráhy l v magnetickém poli o indukci B výraz:

              ⃗B ⋅⃗l   2μ       ⃗B ⋅⃗l
𝜖 = ωpt = 2μΛ ----=  --Λm Λc2 ----
              ℏβγ    ℏc       pΛc
(7.23)

Čas musíme počítat ve vlastním systému částice Λ0, proto jsme provedli příslušnou Lorentzovu transformaci. Dále je ve vztahu (7.23) důležité, že zmíněná Lorentzova transformace nemění velikost magnetické indukce B. Díky speciálnímu směru B podél osy z má příslušný čtyřpotenciál jednoduchý tvar

A  = (φ0,Ax,Ay, 0)
(7.24)

V našem případě je φ0 = 0, neboť nemáme žádné elektrostatické pole, a při Lorentzově transformaci ve směru osy z se Ax,Ay nemění. Proto se nemění ani velikost magnetické indukce B.

V experimentu byla změřena precese pro 3 konfigurace magnetického pole: s magnetickým polem, s magnetickým polem opačného směru a bez magnetického pole. Ze změření těchto tří závislostí byla určena hledaná velikost precesního úhlu.

Velikost magnetického momentu Λ0 získáme přímo ze vztahu (7.23) dosazením naměřených hodnot [27]

pict

což znamená μΛ = (− 0,73± 0,18) μN. Záporné znaménko pak plyne z porovnání závislostí úhlového rozdělení (7.19) při třech zmíněných konfiguracích magnetického pole.

Příklady

Příklad 7.1. Určete časovou závislost středních hodnot jednotlivých projekcí spinů Λ0, je-li vlnová funkce zmíněného hyperonu dána vztahem (A.100) a amplitudy U,D splňují relace (7.18a) a (7.18b).

1Pozorný čtenář si jistě povšiml, že při úpravě vztahu (7.7) jsme pro velikost spinu protonu použili |s|= 2. To je v pořádku, musíme si uvědomit, že i v případě magnetického momentu měříme pouze jeho projekci do vybrané kvantovací osy, která je opravdu ±2.

2Amplitudy slabého rozpadu Λ0 do stavů s orbitálním momentem nula a jedna.

3Pro zajímavost uveďme, že starší měření byla provedena v reakci π+ p Λ0 + K0.