Kapitola 6
Kvantová čísla a zákony zachování

Některé vlastnosti částic se dají popsat tzv. kvantovými čísly, které nabývají pouze určitých diskrétních hodnot. Mezi dobře známá kvantová čísla patří:

Částice mají i další vlastnosti (spin, parita, …), o kterých pojednáme v následujících kapitolkách, včetně příkladů jak se dané vlastnosti experimentálně měří. Zvláštní kapitola 7 je pak věnována problematice magnetického momentu.

6.1 Spin

Částice jsou charakterizovány také svým vnitřním momentem hybnosti s, tzv. spinem:

  2    2
|⃗s| = ℏ S(S + 1)
(6.1)

Spinovým kvantovým číslem pak rozumíme hodnotu S, která nabývá pouze určitých hodnot, buď celočíselných (takové částice nazýváme bosony) nebo poločíselných (u fermionů). Skládání spinů, obecně momentů hybnosti, podléhá pravidlům známým z kvantové mechaniky.

Připomeňme také, že v soustavě identických fermionů platí Pauliho vylučovací princip. Celková vlnová funkce takové soustavy musí být antisymetrická při záměně libovolné dvojice fermionů. Naopak soustava identických bosonů musí být popsaná funkcí, která je plně symetrická vůči záměně libovolných dvou částic.

Spiny stabilních částic a jader se měří nejčastěji jadernou magnetickou rezonancí.2 Víme tedy, že spiny protonu a neutronu jsou 1/2. U nestabilních částic se spin určuje nejčastěji z úhlového rozdělení produktů rozpadu. V některých případech lze využít i poměr účinných průřezů reakcí, kde spin vystupuje jako faktor úměrný hustotě počátečních či koncových stavů. V následujících oddílech si ilustrujme jednotlivé metody.

6.1.1 Rozpad na dvě částice

Pokud je rozpadající se částice nepolarizovaná, je úhlové rozdělení produktů rozpadu izotropní. Vybereme-li však částice alespoň částečně polarizované, dostaneme neizotropní úhlové rozdělení, z něhož pak můžeme určit spin původní mateřské částice.

V roce 1955 publikoval R. K. Adair článek [19], ve kterém navrhl metodu měření spinu hyperonu Λ0. Metoda spočívá v měření úhlového rozdělení rozpadu zmíněného hyperonu, který vzniká v reakci

π − + p → Λ0 + K0
(6.2)

Důležité je, že nalétávající pion má spin nula a terčíkový proton spin 1/2. V koncovém stavu máme jeden fermion (Λ0) a jeden boson (K0), jejichž spiny neznáme. Obě částice se dále rozpadají, pro další analýzu vybíráme pouze rozpady na dvě nabité částice:

pict

Zvolme třetí kvantovací osu ve směru letu primárního pionu a vybírejme jen ty případy, kdy se částice Λ0, K0 pohybují podél osy svazku, tj. pod úhlem 𝜃 = 0,180. V takovém případě mají totiž nulovou projekci vzájemného orbitálního momentu do kvantovací osy, neboť orbitální část příslušné vlnové funkce je popsána kulovou funkcí a platí

Y m ∝ (sin 𝜃)|m|(cos𝜃)l− |m |
 l
(6.4)

Pro m≠0 je tedy Y lm(0) = Y lm(π) = 0. Maticový element reakce (6.2) bude tedy úměrný

           ∑
ℳ  fi(6.2) ∝     aπjLS ⋅(L,0,S,mS |j,mj )⋅Y 0L ⋅(S Λ,m Λ,SK,mK |S,mS )⋅
          π,j,mj,L,
         S,mΛ,mK     ⋅Ψ(SK, mK )⋅ψ (S Λ,m Λ),
(6.5)

kde j je celkový moment hybnosti v reakci (6.2). L,S značí celkový orbitální moment a spin koncového stavu reakce (6.2), SΛ,SK jsou spiny příslušných částic a Ψjsou spinové vlnové funkce popisující neutrální kaon a hyperon Λ0. Proměnné mX označují příslušné projekce spinu do třetí kvantovací osy, výraz typu (S Λ,m Λ,SK,mK  |S,mS ) značí odpovídající Clebschův-Gordanův koeficient. Amplituda silné interakce aπjLS obecně závisí na paritě π, momentech hybnosti j,L a celkovém spinu S.

Neznáme-li spin K0, omezíme se dále jen na případy, kdy rozpad (6.3b) probíhá také v ose svazku. V tomto případě bude opět třetí komponenta vzájemného orbitálního momentu obou pionů rovna nule, a protože tyto částice mají spin nula, bude nulová i třetí komponenta spinu K0, tedy mK = 0. Tím se výrazně zjednoduší výraz pro maticový element reakce (6.2):

           ∑
ℳ  fi(6.2) ∝    aπjLS ⋅(L,0,S,mj |j,mj )⋅Y 0⋅(SΛ, mj,SK, 0|S, mj)⋅
          π,j,m ,                        L
           L,Sj      ⋅Ψ (SK, 0)⋅ψ (S Λ,m Λ)
(6.6)

Projekce celkového momentu hybnosti přitom může nabývat pouze hodnot mj = ±12, jak plyne z počátečního stavu reakce (6.2). Všimněme si, že za výše zmíněných předpokladů je projekce spinu hyperonu Λ0 rovna projekci celkového momentu hybnosti reakce (6.2), a tedy i projekci spinu protonu v počátečním stavu.

Vlastní rozpad (6.3a) snadno popíšeme maticovým elementem

           ∑                             ml
ℳ fi(6.3a) ∝    Al ⋅(l,ml,1∕2,mp |SΛ,m Λ)⋅Y l ⋅χ(1∕2,mp ),
           l,ml
(6.7)

kde l je orbitální moment mezi produkty rozpadu (6.3a), ml jeho projekce a χ je spinová vlnová funkce protonu s projekcí mp do třetí kvantovací osy. Al představuje amplitudu slabého rozpadu do stavu s uvedeným orbitálním momentem l.

Maticový element celé interakce (tj. reakce (6.2) s následnými rozpady (6.3a), (6.3b)) dostaneme obecně složením výrazů (6.5), (6.7). Za výše uvedených předpokladů se výsledný výraz rozdělí na součin dvou nezávislých členů:

pict

Pro danou projekci celkového momentu hybnosti mj je tedy úhlové rozdělení produktů rozpadu hyperonu Λ0 vzniklého v reakci (6.2) dáno pouze druhou částí výrazu, tedy vztahem (6.7). Jak uvidíme v příkladu 6.1, je spin Λ0 jednoznačně určen nejvyšší mocninou cos𝜃 v celkovém úhlovém rozdělení (6.8). Měření prokázala SΛ = 12.

Požadavek, aby rozpad kaonu (6.3b) probíhal podél třetí kvantovací osy, je experimentálně velmi omezující. Známe-li však spin neutrálního kaonu, můžeme tento požadavek opustit. Díky SK = 0 bude automaticky mK = 0, navíc se výrazně zjednoduší druhá suma ve vztahu (6.8).

6.1.2 Rozpad na tři částice

Zatímco kinematický stav dceřiných částic ve dvoučásticovém rozpadu je určen jednoznačně, v případě tříčásticového rozpadu tomu tak není. Zde zůstávají dva parametry volné, např. energie první a třetí částice (viz kapitolka 2.3). Úhlové rozdělení závisí na spinech částic. Známe-li spiny dceřiných částic, lze z četnosti naměřených případů v různých částech fázového prostoru určit spin mateřské částice.

Pro rozpadovou šířku platí obecný vztah (2.22). V případě tříčásticového rozpadu lze snadno ukázat (viz též příklad 6.2)

       1   |ℳ  fi|2
dΓ = ----3 -----dE1dE3,
     (2π)   8M
(6.9)

kde M je hmota mateřské částice a E1,E3 jsou energie první, resp. třetí dceřiné částice. Vidíme tedy, že rovinný diagram s osami E1,E3 bude osídlen úměrně čtverci maticového elementu příslušného rozpadu.

Tuto ideu poprvé použil R. H. Dalitz k analýze rozpadu

K+  →  π+ + π+ + π−
(6.10)

Původní tvar Dalitzova diagramu využíval triviální goniometrické poučky o tom, že pro každý bod uvnitř rovnostranného trojúhelníku je součet vzdáleností od jeho stran konstantní a roven výšce trojúhelníka. Tak lze každý rozpad kaonu reprezentovat bodem uvnitř trojúhelníku3, viz levá část obr. 6.1. Vzdálenosti takového bodu od jednotlivých stran představují kinetické energie jednotlivých pionů v klidové soustavě kaonu, zmíněná poučka o rovnostranném trojúhelníku zajišťuje splnění zákona zachování energie. Zákon zachování hybnosti dále vymezí ze zmíněného trojúhelníku určitou oblast. Výsledný tvar kinematicky povolené oblasti je obecně poměrně složitý a pohybuje se mezi dvěma extrémy (příklad 6.3):

Bude-li mateřská částice skalár (spin roven nule), bude maticový element rozpadu nezávislý na výsledné kinematické konfiguraci a hustota osídlení Dalitzova diagramu bude podle vztahu (6.9) rovnoměrná.

PIC PIC

Obrázek 6.1:Dalitzovy diagramy rozpadu (6.10). Vlevo: původní Dalitzův diagram, kde Ti jsou kinetické energie i-té dceřiné částice. Body uvnitř rovnostranného trojúhelníku splňují zákon zachování energie. Tuto oblast dále zúží zákon zachování hybnosti. Vpravo: reprezentace Dalitzova diagramu v osách invariantních hmot m12,m23 částic 1,2, resp. 2,3. V obou případech je výsledná kinematicky povolená oblast zobrazena barevně.

Výsledky měření rozpadu (6.10) ukázaly, že jednotlivé případy jsou v Dalitzově diagramu rozmístěny rovnoměrně. Z toho vyplývá SK+ = 0.

Poznamenejme na závěr, že Dalitzův diagram se dnes obvykle zobrazuje v osách invariantních hmot m12 částic 1,2 a m23 částic 2,3, viz pravá část obr. 6.1. Dá se totiž ukázat, že platí relace

               2
dΓ = --1-- |ℳ--fi|-dm2 dm2
     (2π )3 32M 3    12   23
(6.11)

6.1.3 Princip polo-detailní rovnováhy

Princip polo-detailní rovnováhy říká, že maticové elementy silných reakcí typu

pict

jsou stejné, vysčítáme-li přes všechny spinové konfigurace a probíhají-li obě reakce při stejné těžišťové energii √-
 s. Podrobnosti budou vysvětleny v kapitolce 6.7.

Připomeňme vztah pro účinný průřez reakce typu (6.12a):

            ------ ′
dσ-=  --1---|ℳ  fi|2 pcms,
dΩ    64π2s       pcms
(6.13)

kde pcms, pcms představují těžišťové hybnosti částic v počátečním, resp. koncovém stavu a |ℳfi|2 značí kvadrát maticového elementu zprůměrovaný přes spiny počátečních částic a vysčítaný přes spinové konfigurace částic v koncovém stavu. Předpokládáme, že částice v reakcích (6.12a), (6.12b) nejsou polarizované a všechny počáteční spinové stavy jsou tedy stejně pravděpodobné. Platí proto

-----2   --------1--------∑       2
|ℳ fi| =  (2Sa + 1)(2Sb + 1)    |ℳ  fi|,
                           i,f
(6.14)

kde Sa,Sb jsou spiny částic a,b a sčítáme přes všechny spinové konfigurace v počátečním (i) a koncovém (f) stavu.

Jsou-li maticové elementy fi reakcí (6.12a), (6.12b) stejné, plyne pro poměr jejich účinných průřezů při stejné těžišťové energii obecný vztah

dσ-(a + b → c + d)                     (        )2
dΩ---------------=  (2Sc +-1)-(2Sd-+-1)  pcms(c)   ,
ddσΩ-(c + d → a + b)   (2Sa + 1 )(2Sb + 1)  pcms(a)
(6.15)

neboť při stejné těžišťové energii jsou stejné i hybnosti pcms(c) (těžišťová hybnost částic v koncovém stavu reakce (6.12a)) a pcms(c) (těžišťová hybnost částic v počátečním stavu reakce (6.12b)). Ze vztahu (6.15) lze pak určit spin jedné částice, známe-li spiny ostatních částic vystupujících v reakci (6.12a).

Pomocí zmíněné metody lze určit např. spin nabitého pionu v reakcích

pict

neboť spiny protonu (Sp = 12) a deuteronu 2H1 (Sd = 1) jsou známé. Spin π+ pak určíme buď ze vztahu (6.15), nebo z poměru celkových účinných průřezů

σ(6.16a)    p2 (p)       (2S  + 1)2
--------=  -2cms--+----------p------------
σ(6.16b)   pcms(π ) 2(2S π+ + 1) (2Sd + 1)
(6.17)

Dodatečný faktor 1/2 v posledním vztahu je kvůli identickým částicím v koncovém stavu reakce (6.16a), díky čemuž se efektivně změní meze v integrálu (dσ∕dΩ)dΩ, konkrétně v integrálu přes polární úhel.

Naměřené účinné průřezy reakcí (6.16a), (6.16b) ukázaly, že spin π+ je roven nule [20, 21].

6.2 Parita

Další vlastností částic je jejich (vnitřní) parita, která vyjadřuje chování vlnové funkce částic při prostorové inverzi souřadnic. Parita P nabývá pouze dvou hodnot: ±1. Parita je multiplikativní kvantové číslo, celková parita systému dvou částic je vyjádřena vztahem

P = P1 × P2 × (− 1)L,
(6.18)

kde P1,P2 jsou parity jednotlivých částic a L je jejich vzájemný orbitální moment. Odsud snadno odvodíme výraz pro paritu tříčásticového systému:

                  L12           L3
P = P1 × P2 × (− 1)   × P3 × (− 1)
(6.19)

První část výrazu odpovídá podle vztahu (6.18) paritě systému prvních dvou částic se vzájemným orbitálním momentem L12, celkovou paritu pak získáme opět podle vztahu (6.18) jako paritu systému částic 1,2 a třetí částice (L3 je vzájemný orbitální moment soustavy částic 1,2 a třetí částice). Parita se zachovává pouze v silných a elektromagnetických interakcích, ve slabých rozpadech tomu tak není. Proto při určení parity nestabilní částice nemůžeme využít slabých rozpadů.

Parita částic je částečně věcí konvence. U základních částic musíme paritu definovat, u ostatních ji pak můžeme měřit relativně k částicím, jejichž paritu známe. Pro proton, neutron a hyperon Λ0 se definuje kladná parita, tj. P +1. Podle Diracovy rovnice mají fermiony a antifermiony vzájemně opačnou paritu; experimentální důkaz spočíval v měření polarizací fotonů v rozpadech základního stavu pozitronia. Změřená kolmá orientace vektorů polarizace svědčila o záporné paritě základního stavu pozitronia. Naopak z Kleinovy-Gordonovy rovnice zjistíme, že bosony mají stejnou paritu jako jejich antičástice.

Podívejme se nyní na měření parity mezonu π. V roce 1951 zkoumal W. Panofsky se svými kolegy interakce záporně nabitých pionů s jádry vodíku a deuteria [10]. Pozorovali mj. i proces

π− + 2H1 → n + n
(6.20)

Záporně nabitý pion se v terči 2H1 zpomalí a nakonec se zachytí na K-orbitě deuteria místo elektronu. Klasický poloměr takového atomu je ovšem menší faktorem mπ∕me, takže takový pion prochází jádrem s nenulovou pravděpodobností a interaguje tedy s deuteronem s nulovou vzájemnou kinetickou energií. Protože je pion na K-orbitě, je vzájemný orbitální moment roven nule. Spin deuteronu S(2H1) = 1 tak představuje zároveň i celkový moment hybnosti v počátečním stavu. V koncovém stavu tedy musí platit

⃗    ⃗  ⃗
L + S =  1
(6.21)

V koncovém stavu reakce (6.20) jsou dva identické fermiony, proto jsou orbitální moment L a celkový spin S omezeny Pauliho vylučovacím principem. Je-li S = 0, musí být L = 0,2,…, v případě S = 1 musí platit L = 1,3,…. Podmínku (6.21) splňuje jen kombinace L = S = 1. Parita deuteronu je kladná, paritu pionu pak určíme přímo ze vztahu (6.18) a dostáváme P(π) = 1, viz též příklad 6.5.

Parita π0 byla poprvé změřena ve vzácných rozpadech

 0   ( −    + )   ( −    +)
π  →  e  + e   1 + e  + e  2
(6.22)

kde (e+ e+) označuje tzv. Dalitzův pár. Podobně jako při měření parity pozitronia bylo třeba určit vzájemnou polarizaci fotonů z jeho rozpadu, v tomto případě se měřil vzájemný úhel mezi rovinami obou Dalitzových párů. Měření ukázala, že roviny jsou navzájem kolmé, a tedy že π0 je pseudoskalární částice.

Jak jsme již zmínili, parita se ve slabých interakcích nezachovává. Možnost nezachování parity ve slabých interakcích teoreticky předpověděli T. D. Lee a C. N. Yang. Tato skutečnost byla poprvé prokázána v experimentech měřících β-rozpad polarizovaných jader 60Co [22] a v postupném rozpadu π+ μ+ e+ [23, 24]. Díky nezachování parity vznikají v rozpadu pionu polarizované miony, které si svou polarizaci zachovávají i při postupném zastavení ve hmotném prostředí. Úhlové rozdělení pozitronů z rozpadu mionů pak vykazuje charakteristickou závislost typu 1 + acos𝜃, kde 𝜃 je úhel výletu pozitronu vůči směru letu mionu. Při záměně souřadnic r →−r se tato závislost mění na 1 acos𝜃 a zachování parity tudíž vyžaduje a = 0. Změření nenulového koeficientu a proto svědčí o nezachování parity.

6.3 Podivnost

S podivností S jsme se stručně seznámili v kapitole 5. Viděli jsme, že se jedná o aditivní kvantové číslo nabývající celočíselných hodnot. Podivnost se zachovává pouze v silných a elektromagnetických interakcích, ve slabých interakcích se obecně nezachovává.

Slabé rozpady se změnou podivnosti jsou potlačeny oproti rozpadům, které podivnost zachovávají. Vazbová konstanta slabé interakce GF (tzv. Fermiho konstanta) je v případě hadronových rozpadů bez změny podivnosti efektivně zmenšena faktorem cos𝜃C, kde 𝜃C 13 je tzv. Cabibbův úhel. Mění-li se však v rozpadu podivnost, je vazbová konstanta potlačena faktorem sin𝜃C. Zmíněná fakta jsou shrnuta v tabulce 6.1. Připomeňme, že vazbové konstanty vstupují do maticového elementu, tedy pravděpodobnost rozpadu je úměrná kvadrátu vazbové konstanty.

|------------------|----|-------------------|
|-−---Ro−zpad-------|ΔS--|-Vazbová-ko√nstanta-|
|μ  → e  + νμ + ¯νe | 0  |      GF ∕ 2 √--   |
| n → p + e− + ¯νe  | 0  |   GF cos𝜃C∕√ 2-   |
-Λ0-→-p-+-π−--------−-1-----GF-sin𝜃C∕--2-----
Tabulka 6.1:Příklady slabých rozpadů částic, změna podivnosti ΔS a odpovídající vazbová konstanta. Slabé rozpady se změnou podivnosti jsou jasně potlačeny.

Dále ve slabých semileptonových rozpadech hadronů4 platí výběrové pravidlo

ΔQ  = ΔS,
(6.23)

kde změny náboje a podivnosti se týkají jen hadronové části. Později uvidíme, že toto pravidlo souvisí s existencí intermediálních bosonů W+,W, které slabou interakci zprostředkovávají.5 Pro ilustraci uveďme dva rozpadové kanály K+ spolu s experimentálně změřenými větvicími poměry BR [1]:

pict

Zatímco rozpad (6.24a) splňuje pravidlo (6.23) (ΔS = ΔQ = 1), rozpad (6.24b) zmíněné pravidlo porušuje (ΔS = 1,ΔQ = 0), a proto se v přírodě téměř nevyskytuje.6

6.4 Izospin a hypernáboj

Jádro je složené z nukleonů, tj. protonů a neutronů, které mají téměř stejnou hmotu. Jaderné síly jsou nábojově nezávislé, proto W. Heisenberg v roce 1932 navrhl popsat jádra z hlediska těchto sil jako systém identických nukleonů, přičemž proton se od neutronu odlišuje dalším kvantovým číslem – izospinem, resp. projekcí izospinu. Vlnová funkce jádra pak musí splňovat tzv. zobecněný Pauliho princip (rozšířený o izospin), což klade jistá omezení na její tvar.

Izotopický spin neboli izospin tedy musí nějakým způsobem souviset s nábojem. Jeho hodnota vyjadřuje, kolik různých stavů nukleonu existuje. Izospin I má proto stejné matematické vlastnosti jako moment hybnosti,7 počet možných stavů je vyjádřen jako 2I + 1. Pro nepodivné částice souvisí třetí komponenta izospinu I3 s nábojem vztahem

Q =  I3 + 1ℬ
         2
(6.25)

Vidíme tedy, že proton a neutron tvoří izospinový dublet I = 12, přičemž I3(n) = 12, I3(p) = 12.

Izospin využijeme také u bosonů. Yukawovy částice π0+ můžeme považovat za identické částice (mají skoro stejnou hmotu), jestliže jejich různé elektrické náboje popíšeme pomocí izospinu. Ze vztahu (6.25) snadno nahlédneme, že I3(π±) = ±1, I3(π0) = 0. Piony tedy tvoří izotopický triplet, I = 1.

Stejnou úvahu aplikujeme také na kaony (K0,K+), které také mají prakticky stejnou hmotu. Tyto dvě částice by měly být členy izotopického dubletu (podobně jako proton a neutron), tj. I = 12, I3(K0) = 12, I3(K+) = 12. Vztah (6.25) je ovšem potřeba rozšířit tak, aby platil i pro podivné částice. Řešením je zavedení dalšího kvantového čísla, hypernáboje Y , který je součtem aditivních kvantových čísel

Y ≡  ℬ + S
(6.26)

Třetí komponenta izospinu pak obecně souvisí s nábojem a hypernábojem vztahem

Q = I3 + 1Y
         2
(6.27)

Snadno nahlédneme, že taková definice vyhovuje pro nukleony i dosud zmíněné mezony π, K, stejně jako pro ostatní hadrony, viz kapitola 8.

Pomocí relace (6.27) lze také určit izospin částic, tj. počet členů izospinového multipletu, v závislosti na jejich hypernáboji. Uvažme opět kaony K0, K+ s podivností S = +1. Tyto částice nemohou tvořit izospinový triplet (I = 1) spolu s mezonem K, protože podle vztahu (6.27) by pak tyto částice neměly celočíselný náboj Q. Mezon K tedy patří do jiného multipletu a K0, K+ musí tvořit dublet (I = 12). Obdobnou úvahu lze provést i pro baryony, viz kapitola 8.

V jakých interakcích se zachovávají izospin a hypernáboj? Z definice (6.26) vidíme, že hypernáboj se bude zachovávat ve stejných interakcích jako podivnost, tj. v silných a elektromagnetických interakcích. Izospin se zachovává pouze v silných interakcích. Pro slabé, čistě hadronové (tj. bez leptonů v koncovém stavu) rozpady hadronů platí výběrové pravidlo

      1
ΔI  = --
      2
(6.28)

Rozpady vyhovující tomuto vztahu jsou silně preferovány oproti těm, které tento vztah nesplňují. Jako ilustraci uveďme např. rozpad částice Λ0. Větvicí poměry jejích rozpadů lze určit právě na základě pravidla (6.28), viz příklad 6.6.

Zákon zachování izospinu v silných interakcích lze využít k určení poměru účinných průřezů v interakcích, které mají stejnou energetickou bilanci a liší se jen koncovým stavem.

6.5 Nábojová parita

Operátor nábojového sdružení Ĉ převádí částici na antičástici a naopak. Protože musí platit ĈĈ|i= |i, dostáváme

       ic            −ic
ˆC|i⟩ = e |¯i⟩, ˆC|¯i⟩ = e  |i⟩,
(6.29)

kde c je libovolná fáze. Vlastními stavy operátoru Ĉ jsou pouze tzv. plně neutrální částice, které jsou samy sobě antičásticí (|i= |ī). Pro tyto částice platí:

 ˆ( ˆ  )    ic ˆ     2ic
C  C |i⟩  = e  C|i⟩ = e  |i⟩ = + |i⟩
(6.30)

Vidíme tedy, že vlastní čísla nabývají pouze dvou možných hodnot C eic = ±1. Tomuto číslu říkáme nábojová parita, zkráceně C-parita. Z experimentu vyplývá, že se nábojová parita zachovává v silných a elektromagnetických interakcích, zatímco ve slabých interakcích se nezachovává.

Podívejme se nyní na C-paritu vybraných částic. Jednou z plně neutrálních částic je foton. Lagrangián elektromagnetické interakce elektronu a fotonu vypadá

ℒ   = −  1(∂ A  − ∂ A  )(∂μA ν − ∂ νAμ) + ¯ψ(x)γμ (i∂ + eA ) ψ(x)−
 EM      4  μ  ν   ν  μ                           μ     μ
                                       − meψ¯(x)ψ(x),
(6.31)

přičemž ψ(x) je vlnová funkce elektronu s hmotou me a čtyřpotenciál Aμ popisuje foton. Tento lagrangián musí být invariantní vůči operaci nábojového sdružení, neboť elektromagnetická interakce zachovává C-paritu. Dále víme, že v kvantové teorii odpovídá antičásticím hermitovsky sdružená vlnová funkce částice. Aplikujeme-li tedy operaci nábojového sdružení na lagrangián (6.31), musí znaménko změnit i pole Aμ. Proto má foton zápornou C-paritu, C(γ) = 1.

Dalšími nám známými plně neutrálními částicemi jsou neutrální pion π0 a mezonová rezonance η0. Obě částice se rozpadají elektromagnetickou interakcí na pár fotonů:

pict

Protože je C-parita multiplikativní kvantové číslo (viz příklad 6.7), platí C(π0) = +1,C(η0) = +1.

Nábojovou paritu má smysl definovat nejen pro plně neutrální částice, ale i pro soustavu částic, která je celkově plně neutrální. Uvažme soustavu fermion–antifermion, každý se spinem 1/2, a vzájemným orbitálním momentem L. Takový stav lze popsat součinem prostorové a spinové části vlnové funkce. Působením operátoru nábojového sdružení dojde k vzájemné záměně obou částic, což pro prostorovou část vlnové funkce odpovídá operátoru prostorového zrcadlení, parity P. Pro příslušné vlastní číslo tedy ze vztahu (6.18) vyplývá

P = (− 1)L × Pf × Pf¯= (− 1)L × (− 1)× Pf2= (− 1)L+1,
(6.33)

kde první faktor pochází z kulových funkcí. Pf,Pf jsou parity fermionu a antifermionu, které jsou vzájemně opačné.

Podívejme se nyní na působení operátoru nábojového sdružení na spinové části vlnových funkcí. Celkový spin dostaneme standardním složením spinů obou částic s použitím Clebschových-Gordanových koeficientů. Je-li celkový spin soustavy S = 0, je odpovídající část vlnové funkce antisymetrická vzhledem k záměně obou částic:

                  1
|S = 0,S3 = 0⟩ = √--(|1∕2,1∕2⟩− |1∕2,− 1∕2⟩)
                  2
(6.34)

Podobně pro celkový spin S = 1 snadno zjistíme, že příslušná část vlnové funkce bude naopak symetrická vzhledem k záměně obou částic. Spinová část vlnové funkce tedy při výměně částic dává faktor (1)S+1. Dá se ukázat, že to platí pro libovolné fermiony, tj. nejen se spinem 1/2.

Složením příspěvků od prostorové (viz relace (6.33)) a spinové části vlnové funkce dostaneme hodnotu nábojové parity soustavy fermion–antifermion

        L+1       S+1        L+S
C = (− 1)   × (− 1)   = (− 1)
(6.35)

Analogickou úvahu lze provést také pro bosony. Pro paritu soustavy boson–antiboson platí

P = (− 1)L × P b × P ¯b = (− 1)L × P2b = (− 1)L,
(6.36)

neboť podle Kleinovy-Gordonovy rovnice mají boson a antiboson stejnou paritu. Dva bosony se spinem 1 mohou mít výsledný spin roven 0, 1 nebo 2, přičemž spinová část vlnové funkce je v případě sudého výsledného spinu symetrická, zatímco pro lichý celkový spin je antisymetrická. Ze spinové části vlnové funkce dostaneme tedy faktor (1)S, proto pro nábojovou paritu soustavy boson–antiboson platí stejný vztah (6.35).

Vraťme se ještě k rozpadu (6.32a). Nábojovou paritu neutrálního pionu můžeme určit také podle vztahu (6.35). Spin fotonu je S(γ) = 1, takže celkový spin koncového stavu může nabývat jen hodnot S = 0,2.8 Abychom zachovali celkový moment hybnosti daný spinem pionu (S(π) = 0), musí pro koncový stav dvou fotonů platit L = S = 0 nebo L = S = 2 a podle vztahu (6.35) tak opět dostáváme C(π0) = +1.

6.6 G-parita

V předchozí kapitolce jsme viděli, že C-parita je definována pouze pro plně neutrální částice, resp. pro plně neutrální soustavu částic. Počet takových stavů je touto podmínkou značně omezen. Pro silně interagující částice lze kombinovat izospinovou a nábojovou invarianci, proto T. D. Lee a C. N. Yang přišli s konceptem G-parity definované vztahem

Gˆ≡  ˆCe− iπˆI2
(6.37)

Operátor Î2 odpovídá druhé komponentě izospinu. G-parita tedy představuje otočení v izospinovém prostoru kolem osy I2 o úhel π kombinované s nábojovým sdružením. Díky této kombinaci můžeme G-paritu definovat nejen pro plně neutrální částice, ale i pro stavy s Q≠0 v rámci izospinových multipletů.

Uvažme izospinový triplet π+0. Zmíněná rotace v izospinovém prostoru zřejmě převádí π+ π, zatímco operace nábojového sdružení provede obrácenou transformaci. Vidíme tedy, že vlastními stavy operátoru G-parity jsou všechny piony, nejen neutrální jako tomu bylo v případě nábojového sdružení. Jaká budou vlastní čísla G-parity? Z předchozí kapitolky víme

pict

Fázi pro nabité piony zatím neznáme. Podívejme se nyní na rotaci v izospinovém prostoru. Z kvantové mechaniky vyplývá důležitý vztah (viz příklad 6.8)

 −iπˆI             I− I
e   2|I,I3⟩ = (− 1) 3|I,− I3⟩
(6.39)

G-parita je tedy jasně definována pro neutrální pion (I = 1,I3 = 0), G(π0) = 1. Protože silná interakce zachovává izospin a je invariantní vůči operaci nábojového sdružení, měly by mít všechny členy pionového tripletu stejnou G-paritu.9 Fáze ve vztazích (6.38a), (6.38c) tedy bude záporná a použitím vztahů (6.38a)–(6.38c), (6.39) dostáváme G(π+0) = 1. Obecně platí, že G-parita izospinového multipletu s celočíselnou hodnotou I je

G = C × (− 1)I,
(6.40)

kde C je nábojová parita neutrálního členu multipletu (I3 = 0). Je to důsledek relace (6.39).

Stejně jako C-parita je i G-parita multiplikativní kvantové číslo. Protože je G-parita kombinací nábojového sdružení a izospinu, zachovává se pouze v silných interakcích, které jsou invariantní vůči oběma operátorům Ĉ,Î. Tuto skutečnost opět využijeme při předpovědích rozpadových kanálů částic, které jsou vlastními stavy operátoru G-parity.

6.7 Časová symetrie

Zaveďme operátor časového sdružení T, který obrací směr času. Takový operátor převrací počáteční stav nějaké interakce na stav koncový a naopak, tj. |i⟩↔|f. Zároveň však mění veličiny obsahující časovou derivaci, tj. zejména směry hybností (pi,pf), momentů hybností a také spinů (si,sf) částic. Je-li hamiltonián interakce T-symetrický, platí:

       ˆ                  ˆ
⟨⃗pf,⃗sf|H |⃗pi,⃗si⟩ = ⟨− ⃗pi,− ⃗si|H|− ⃗pf,− ⃗sf⟩
(6.41)

Vysčítáme-li přes všechny spinové stavy, dostaneme pro T-symetrické interakce [25]

pict

Je-li interakce současně invariantní i vůči operátoru parity (P-symetrická), plyne ze vztahu (6.42)

∑  |              |2   ∑  |              |2
   ||⟨⃗pf,⃗sf|H ˆ|⃗pi,⃗si⟩|| =    ||⟨⃗pi,⃗si| ˆH|⃗pf,⃗sf⟩||
si,sf                   si,sf
(6.43)

Vidíme, že u interakcí invariantních vůči prostorové i časové inverzi je kvadrát maticového elementu přechodu i f vysčítaný přes spinové konfigurace shodný s maticovým elementem obráceného procesu, samozřejmě při stejné těžišťové energii. Relaci (6.43) nazýváme principem polo-detailní rovnováhy10 a použili jsme ji při měření spinu π+, viz oddíl 6.1.3. Silné interakce jsou totiž P i T-symetrické stejně jako elektromagnetické interakce, slabé interakce nikoli.

6.8 Kombinované symetrie

V předcházejících kapitolkách jsme viděli, že silná interakce zachovává všechny zmíněné symetrie dané příslušnými kvantovými čísly, zatímco elektromagnetická interakce obecně nezachovává izospin a G-paritu. Speciálně parita i nábojová parita se zachovává v obou zmíněných typech interakcí, ve slabých interakcích však nikoli.

Vzniká tedy otázka, zda slabé interakce nejsou alespoň invariantní vůči kombinaci parity a nábojového sdružení, tzv. CP-paritě? I v tomto případě je odpověď záporná, jak uvidíme v kapitole 11.

Všechny typy interakcí včetně slabé jsou ale invariantní vůči kombinaci symetrií CPT. Důsledky zachování CPT jsou např. identická hmota a celková rozpadová šířka částic a jejich antičástic.

Příklady

Příklad 6.1. Určete tvar úhlového rozdělení protonu z rozpadu (6.3a), kdy hyperon Λ0 vzniká v reakci (6.2). Úhlové rozdělení určete pro dvě varianty spinu Λ0: SΛ = 12 a SΛ = 32. Předpokládejte, že protony v počátečním stavu reakce (6.2) jsou nepolarizované a že spin kaonu je již známý (SK = 0).

Příklad 6.2. Dokažte platnost vztahu (6.9) pro tříčásticový rozpad.

Příklad 6.3. Ukažte, že v nerelativistickém přiblížení tvoří kinematicky povolenou oblast původního Dalitzova diagramu (osy T (T1 T3)√3--, T3) kružnice vepsaná tomuto trojúhelníku. Naopak v ultrarelativistické limitě je povolenou oblastí trojúhelník s vrcholy ve středech stran Dalitzova diagramu, viz obr. 6.2.

PIC PIC

Obrázek 6.2:Původní typ Dalitzova diagramu, kde Ti jsou kinetické energie i-té dceřiné částice. V nerelativistickém přiblížení tvoří kinematicky povolenou oblast kružnice vepsaná hlavnímu trojúhelníku (vlevo), naopak v ultrarelativistickém je takovou oblastí trojúhelník s vrcholy ve středech stran hlavního trojúhelníku (vpravo).

Příklad 6.4. Dokažte platnost vztahu (6.11) pro tříčásticový rozpad.

Příklad 6.5. Určete paritu záporně nabitého pionu, víte-li, že probíhá reakce (6.20).

Příklad 6.6. Na základě výběrového pravidla (6.28) odhadněte větvicí poměry rozpadů:

pict

Výsledek srovnejte s experimentálními údaji [1].

Příklad 6.7. Ukažte, že C-parita je multiplikativní kvantové číslo, tj. že celková C-parita systému plně neutrálních částic C je dána součinem

    ∏n
C =    Ci,
    i=0
(6.45)

kde Ci je C-parita i-té plně neutrální částice.

Příklad 6.8. Dokažte platnost vztahu (6.39).

Příklad 6.9. Zdůvodněte, proč je rozpad mezonu η0 vlivem silné interakce velmi silně potlačen.

1Jedním z důsledků je skutečnost, že nejlehčí baryon (proton) je stabilní.

2Měří se počet možných „překlopení“ projekce spinu, která je úměrná projekci magnetického momentu.

3Dalitz použil trojúhelník s osami T (T1 T2)√-
 3 a T3, kde Ti jsou kinetické energie i-té dceřiné částice. Snadno nahlédneme, že dE1dE3 dTdT3.

4Semileptonovými rozpady hadronů označujeme takové, kde v koncovém stavu je jeden hadron a dva leptony. Příkladem je β-rozpad neutronu.

5Toto pravidlo lze rozšířit i na další částice složené z těžších kvarků, viz kapitoly 8, 9.1, 9.2.1. V rámci Standardního modelu lze zmíněné pravidlo vysvětlit absencí neutrálních proudů měnících vůni kvarků (flavour-changing neutral currents, FCNC) na úrovni interakčního lagrangiánu.

6Nenulový větvicí poměr je dán příspěvky diagramů vyšších řádů.

7Protože jsou jaderné síly nábojově nezávislé, za rozdíl hmot protonu a neutronu odpovídá elektromagnetická interakce. Jde o analogii rozštěpení energetických hladin v elektronovém obalu atomu vlivem vnějšího magnetického pole, které závisí na projekci spinu. Proto má smysl definovat izospin jako analogii ke spinu.

8Foton je nehmotný a proto nemá podélnou polarizaci, tj. projekce spinu do směru pohybu musí být nenulová.

9Požadavek na stejnou G-paritu částic uvnitř izospinového multipletu není nutný. Dá se ukázat, že důsledky zachování G-parity v silných rozpadech hadronů jsou nezávislé na výběru fáze eic. Výpočty s obecnou fází jsou však komplikovanější.

10Existuje i silnější princip detailní rovnováhy, viz např. [25].