Kapitola 3
Interakce částic s hmotným prostředím

Cílem této kapitoly je připomenout základní procesy, kterými částice ztrácejí energii v interakci s hmotným prostředím. Soustředíme se na ty procesy, které jsou důležité pro detekci částic. Podrobnější přehled nalezne čtenář např. v publikacích [1, 4].

3.1 Nabité částice

Při energiích částic menších než tzv. kritická energie je dominantním způsobem energetických ztrát ionizace, při vyšších energiích pak převládá brzdné záření. Při takových energiích, tj. nad prahem produkce párů e+e, resp. nad prahem produkce pionů, vznikají sekundární částice v elektromagnetických, resp. v hadronových sprškách. Měřením těchto spršek v tzv. kalorimetrech lze pak určit energii primární vysokoenergetické částice.

3.1.1 Ionizace

U nabitých částic (až na elektrony a pozitrony, které okomentujeme později) převládají při nižších energiích ionizační ztráty, které jsou popsány tzv. Betheho-Blochovou formulí1

   dE        Z 1 ( 1   ( 2m β2γ2T    )        δ)
− ---- = Kz2 ---2- --ln   --e---2--max- − β2 − -- ,
  ρdx        A β   2          I               2
(3.1)

kde K je konstanta (K 0,307 MeVg1cm2 [1]) a me je hmota elektronu. Procházející částice je charakterizována nábojem z, rychlostí β a relativistickým faktorem γ. Prostředí je popsáno hustotou ρ, středním hmotnostním číslem A, středním nábojovým číslem Z a tzv. ionizačním potenciálem I. Veličina Tmax má význam maximální možné energie předané ve srážce částice s elektronem prostředí. Lze ukázat, že

               2me β2γ2
Tmax = -----------------------2,
       1 + 2γ(me ∕m )+ (me ∕m)
(3.2)

kde m je hmota ionizující částice. Veličina δ v rovnici (3.1) pak popisuje korekce při vysokých energiích [1].

Na obr. 3.1 je uveden příklad energetických ztrát kladně nabitého mionu při průchodu mědí. Betheho-Blochova formule popisuje ztráty přibližně od p∕m = βγ 0,05. Zde jsou ionizační ztráty největší (pomalá částice ionizuje nejvíce), ztráty klesají přibližně jako β2 (přesněji jako β53) až do tzv. minima ionizace, které odpovídá βγ 3,5 (viz též příklad 3.2). Následuje pomalý logaritmický růst (Fermiho plato). Celkové energetické ztráty začnou prudce narůstat až při energiích, kde převládnou radiační ztráty.

PIC

Obrázek 3.1:Energetické ztráty kladně nabitého mionu v mědi jako funkce βγ = p∕m [1].

Dosud jsme se zabývali těžkými nabitými částicemi. Pro úplnost dodejme, že obdoba Betheho-Blochovy formule platí i pro elektrony a pozitrony. Hlavní rozdíl spočívá v tom, že elektron či pozitron mohou předat celou svoji kinetickou energii elektronu prostředí v jedné srážce, jak vyplývá ze vztahu (3.2) pro m = me:

       me-β2γ2
Tmax =  γ + 1  = (γ − 1)me  = T
(3.3)

V případě elektronů pak musíme navíc uvážit, že spolu interagují identické částice – primární elektron a elektrony z atomů prostředí. Jak uvidíme v následujícím oddíle, ionizační ztráty u elektronů/pozitronů převládají jen při velmi malých energiích.

Závislost ionizačních ztrát na rychlosti a hmotě částice se využívá v některých detektorech k identifikaci částic. Dříve šlo především o měření prováděná v jaderných emulzích, v moderních experimentech se ionizační ztráty měří např. v polovodičových, plynem plněných a scintilačních detektorech.

3.1.2 Radiační ztráty

Pohybuje-li se nabitá částice s hmotou m v elektromagnetickém poli (vnějším nebo v poli atomových jader), ztrácí svou energii mj. vyzařováním tzv. brzdných fotonů nebo párů elektron–pozitron. Tyto procesy nazýváme souhrnně radiačními ztrátami a jsou popsané Betheho-Heitlerovou teorií. Pravděpodobnost takového procesu je úměrná γ2 a týká se tedy především elektronů/pozitronů. K radiačním ztrátám dochází také u mionů, ovšem při podstatně vyšších energiích, viz obr. 3.2.

V souvislosti s brzdným zářením definujeme tzv. radiační délku X0. Jde o střední vzdálenost, na které poklesne energie elektronu v důsledku brzdného záření na 1∕e původní hodnoty. V dobré aproximaci platí

  dE     E
− --- = ---,
  dx    X0
(3.4)

integrací této rovnice okamžitě dostáváme

             − xX-
E (x) = E(0) e  0.
(3.5)

Energetické ztráty brzdným zářením jsou tedy úměrné počáteční energii. Radiační délka je charakteristická vlastnost daného prostředí. Protože účinný průřez pro radiační ztráty je σ Z2, platí:

       A
X0 ∝  ρZ2,
(3.6)

kde ρ značí hustotu a A,Z hmotnostní, resp. protonové číslo prostředí. Hodnoty radiačních délek pro základní prostředí uvádí tabulka 3.1, hodnoty X0 pro většinu materiálů najdeme v literatuře [1].

|---------|---------|---------|
|Materiál |   X0    |  X0 ρ   |
|---------|--[cm]---|[gcm-−2]-|
| vzduch  |30390    |  36,62  |
|  uhlík   |  19,32  |  42,70  |
| železo   |   1,76  |  13,84  |
|         |         |         |
---olovo-------0,56------6,37---
Tabulka 3.1:Radiační délka X0 pro vybrané základní materiály. V posledním sloupci je uvedena radiační délka násobená hustotou materiálu ρ, která se obvykle udává v tabulkách [1].

PICPIC

Obrázek 3.2:Porovnání různých typů energetických ztrát pro elektrony (vlevo) a miony (vpravo) v různých materiálech [1]. Při vysokých energiích dominují v obou případech radiační ztráty, díky různým hmotám elektronu a mionu se podstatně liší kritické energie, při které začínají převládat radiační ztráty.

Díky tomuto mechanismu tvoří vysokoenergetické elektrony v materiálu tzv. spršky, neboť dochází ke kaskádním interakcím schematicky znázorněným na obr. 3.3. Elektrony a pozitrony vyzařují brzdné fotony a ty zase tvoří páry elektron–pozitron (viz kapitolka 3.2), čímž dochází k rozvoji tzv. elektromagnetické spršky. Sprška se zastaví, klesne-li energie sekundárních částic pod tzv. kritickou energii2. Tvorba dalších částic je pak silně potlačena a existující sekundární částice ztrácejí energii převážně jinými mechanismy, např. ionizací.

Tvorby elektromagnetických spršek se využívá v kalorimetrech pro určení energie primárních vysokoenergetických elektronů/pozitronů či fotonů. Ukazuje se totiž, že energie primární částice je přímo úměrná počtu sekundárních částic a tedy i celkovému signálu vytvořeném těmito sekundárními částicemi.

PICT

Obrázek 3.3:Schéma elektromagnetické spršky vytvořené vysokoenergetickým elektronem.

3.1.3 Scintilace

Nabitá částice procházející hmotným prostředím zanechává za sebou molekuly v excitovaném stavu. Některé molekuly při přechodu zpět do základního stavu uvolňují malou část své energie (typicky 3%) ve formě fotonů v optické oblasti3. Tomuto procesu se říká scintilace.

Použití scintilačních detektorů je poměrně široké. Plastické organické scintilátory s rychlou odezvou se často používají pro trigger či měření rychlosti částic metodou doby letu. Scintilační vlastnosti mají i některé anorganické krystaly, např. NaI(Tl), CsI(Tl), PbWO4, Bi4Ge3O12 (zkratka BGO). Oproti plastickým scintilátorům se vyznačují vyšším světelným výtěžkem a tedy i lepším energetickým rozlišením, avšak zpravidla pomalejší odezvou.

3.1.4 Čerenkovské záření

Čerenkovské záření vysílá nabitá částice, prochází-li prostředím rychlostí β větší než je rychlost světla v daném materiálu. Čerenkovské fotony jsou vyzařovány pod úhlem 𝜃c vůči směru letu částice, přičemž platí

cos𝜃c = -1-,
        β n
(3.7)

kde n je index lomu světla v daném prostředí. Odsud také vyplývá podmínka pro existenci Čerenkovského záření β > 1∕n. Důležitá je i intenzita tohoto záření, kde pro počet emitovaných fotonů N na jednotku délky x a energie E platí

  2        2
-d-N--= αz-- sin2 𝜃(E ) ≈ 370 z2 sin2𝜃 (E ) eV −1cm− 1,
dEdx     ℏc      c                 c
(3.8)

kde z je náboj částice. Ze vztahu (3.8) tedy vidíme, že bude-li rychlost částice těsně nad prahem emise Čerenkovského záření, bude intenzita záření velmi malá. Naopak intenzita Čerenkovského záření je shora omezena relací

             (       )
-d2N--   αz2-     -1-
dEdx  ≤  ℏc   1 − n2
(3.9)

S ohledem na detekci Čerenkovských fotonů se tedy snažíme zajistit n tak, aby v rámci daných podmínek byla intenzita fotonů co největší (viz příklad 3.3).

Energetické ztráty Čerenkovským zářením jsou zanedbatelné, toto záření se používá především k identifikaci částic. Známe-li hybnost částice p (určenou například ze zakřivení dráhy v magnetickém poli) a změříme-li rychlost β či interval rychlostí pomocí Čerenkovského záření, určíme hmotu částice m ze vztahu

            ∘ -----2
m =  -p-= p --1-−-β-
     βγ        β
(3.10)

Tímto způsobem lze identifikovat jednotlivé typy částic ve svazcích s definovanou hybností, ale také v experimentech, pokud současně změříme i hybnost částice.

3.1.5 Dolet částice

Dolet R nabité částice v hmotném prostředí, vyjádřený v jednotkách g cm2, určíme integrací energetických ztrát

     m∫ (    )
         dE-- −1
R =      ρdx    dE,
    E0
(3.11)

kde E0 je celková počáteční energie a m hmota částice. Pro malé počáteční energie částic vystačíme s ionizačními ztrátami.

Aproximujeme-li Betheho-Blochovu formuli v oblasti malých rychlostí pomocí dE∕(ρdx) = 2 (konstanta C se volí tak, aby ztráty v minimu ionizace odpovídaly tabulkovým hodnotám, viz příklad 3.4), dostaneme integrací rovnice (3.11) v nerelativistickém přiblížení vztah

R     1  ( p )4
-- = ---  --
m    4C   m
(3.12)

Přesnější popis závislosti ionizačních ztrát na rychlosti částice vystihuje v oblasti malých rychlostí relace

  (    )
−   dE-- = C β− 5∕3
    ρdx
(3.13)

Jak uvidíme v příkladě 3.4, poskytuje tato relace dobrý odhad doletu R, integraci (3.11) je však nutné provést numericky.

3.2 Interakce fotonů

Fotony interagují s hmotným prostředím různými způsoby v závislosti na své energii, viz obr. 3.4. Mezi tři nejvýznamnější procesy patří:

Fotoefekt:
foton je pohlcen v atomu, ze kterého se uvolní elektron. Nejpravděpodobnější je interakce s elektronem na K-slupce, foton ovšem musí mít dostatečnou energii. Účinný průřez fotoefektu závisí na protonovém čísle Z prostředí a energii fotonů Eγ
         5    −7∕2
σp.e.∝ Z  × E γ
(3.14)

Fotoefekt dominuje při nízkých energiích.

Comptonův rozptyl:
jedná se o pružný rozptyl fotonu na kvazi-volném elektronu. Příslušný účinný průřez je úměrný protonovému číslu prostředí Z. Comptonův rozptyl hraje důležitou roli při středních energiích.
Tvorba párů:
má-li foton energii Eγ > 2me, může v elektrickém poli atomového jádra konvertovat na pár elektron–pozitron:
γ + A →  A + e− + e+
(3.15)

Účinný průřez roste s energií

σκnuc ∝ Z2 ln Eγ
(3.16)

Podobně může foton konvertovat na pár elektron–pozitron v poli elektronu z atomového obalu:

γ + e− →  e− + e− + e+
(3.17)

Účinný průřez závisí pouze lineárně na protonovém čísle

σκe ∝ Z ln Eγ
(3.18)

a pro těžké prvky lze tento příspěvek zanedbat. Navíc práh této reakce je vyšší (Eγ > 4me) než v případě tvorby párů v poli jádra, viz příklad 3.5.

Tvorba párů hraje důležitou roli v rozvoji elektromagnetické spršky, viz oddíl 3.1.2. Střední volná dráha fotonu pro produkci párů je 9X07.

Porovnání účinných průřezů jednotlivých typů interakce fotonů v olovu je zobrazeno na obr. 3.4.

PIC

Obrázek 3.4:Účinné průřezy jednotlivých typů interakce fotonu v olovu v závislosti na energii fotonu [1]: fotoefekt (p.e.), Rayleighův rozptyl, Comptonův rozptyl, tvorba párů v poli jádra (κnuc) a elektronu (κe), absorpce fotonu v jádře (g.d.r.).

Příklady

Příklad 3.1. Odvoďte vztah (3.2).

Příklad 3.2. Nalezněte hodnotu minimálních ionizačních ztrát mionů pro několik základních prvků (1H1, 4He2, 12C6, 58Fe26, 208Pb82). Hodnoty ionizačního potenciálu najdete v tabulkách [1], korekční faktor δ pro vysoké energie zanedbejte.

Příklad 3.3. Uvažte svazek částic se záporným nábojem a hybností 20 GeV, který obsahuje piony i elektrony. Určete nastavení indexu lomu prahového Čerenkovského detektoru pro co nejlepší odlišení zmíněných částic.

Příklad 3.4. Odvoďte vztah (3.12) a srovnejte dolet mionu (βγ = 0,3) v železe počítaný pomocí této aproximace s tabulkovým výsledkem [1].

Příklad 3.5. Určete prahovou energii pro tvorbu párů e+e v interakci fotonů s jádrem a elektronem.

Příklad 3.6. Předpokládejte, že reakce

π+ + n →  Λ0 + K+
(3.19)

probíhá při prahové energii nalétávajících pionů.

  1. Určete rychlost β částice K+ v laboratorním systému.
  2. Kromě reakce (3.19) mohou probíhat i konkurenční procesy
    pict

    Určete rychlost kladně nabitých hadronů vzniklých pod úhlem 0 při prahové energii reakce (3.19) a zvolte nastavení (β12) dvou prahových Čerenkovských detektorů k co nejlepšímu odlišení π+K+p.

1Ionizační ztráty se udávají v jednotkách MeVg1cm2, což odpovídá veličině dE∕(ρdx). V literatuře se však často vynechává hustota materiálu ρ ve jmenovateli výrazu (dE∕dx).

2Energie, při níž jsou radiační a ionizační ztráty vyrovnané. Alternativní definice označuje za kritickou takovou energii, při které jsou ionizační ztráty na vzdálenosti X0 rovné energii elektronu. Obě varianty jsou téměř ekvivalentní.

3V plastických scintilátorech se emitují fotony v UV oblasti, pro něž je ale scintilátor „málo průhledný“ (malá absorpční délka díky překryvu emisního a absorpčního píku). Problém se řeší přísadami na bázi fluoru, kde se UV fotony absorbují a následně vyzáří s větší vlnovou délkou, pro niž je scintilátor již dostatečně „průhledný“.