Kapitola 2
Kinematika

Všechny kinematické vztahy se opírají o zákony zachování energie a hybnosti. V mnoha případech ale můžeme s výhodou použít formalismus Mandelstamových invariantů, díky kterým podoba příslušných vztahů nezávisí na výběru souřadné soustavy. Tato kapitola také stručně shrnuje Lorentzovu transformaci, kinematiku rozpadů částic, fázové objemy, účinné průřezy a luminositu. Tyto pojmy budeme využívat v následujících kapitolách. Pro přehlednost používáme v textu tato označení:

2.1 Čtyřhybnosti a Mandelstamovy invarianty

Při řešení úloh z kinematiky často s výhodou využijeme zápis pomocí tzv. čtyřhybností

P ≡  (E, ⃗p)
(2.1)

Snadno nahlédneme, že zachování čtyřhybností je vyjádřením zákonů zachování energie a hybnosti. Pro čtyřhybnosti definujeme skalární součin tak, aby výsledek byl relativisticky invariantní (příklad 2.1). Proto

P1 ⋅P2 ≡ E1E2 − ⃗p1 ⋅⃗p2
(2.2)

Z uvedené definice ihned plyne, že kvadrát čtyřhybnosti představuje druhou mocninu klidové hmoty částice.

Pro popis interakcí částic se často používají i tzv. Mandelstamovy invarianty s,t,u. Představme si interakci dvou částic (1,2) za vzniku obecně jiných částic (3,4)

1+ 2 →  3+ 4
(2.3)

Mandelstamovy invarianty jsou pak definovány vztahy

pict

Invariant s zjevně představuje kvadrát celkové energie soustavy v jejím těžišťovém systému (CMS), invarianty t,u lze vyjádřit pomocí s a úhlu vylétajících částic v CMS, viz příklad 2.2.

Jednoduché příklady lze řešit přímo jako soustavy rovnic dané zákony zachování energie a hybnosti (viz příklady 2.3, 2.4). Mnohem jednodušší je však využít výše uvedený formalismus, ať už Mandelstamovy invarianty (např. pro určení prahové energie reakce, viz příklad 2.6) či algebru čtyřhybností (viz příklad 2.7).

2.2 Lorentzova transformace

Lorentzova transformace spojuje kinematické veličiny energii a hybnost ve dvou různých inerciálních vztažných soustavách.

Uvažujme částici, která se v čárkované soustavě pohybuje rychlostí

β⃗≡ ⃗v∕c
(2.5)

ve směru kladné osy x vzhledem k původní soustavě (neboli čárkovaná soustava se pohybuje rychlostí β vůči původní soustavě). V tomto speciálním případě transformace v jednom směru1 má Lorentzova transformace tvar

     (   γ  β γ  0  0 )
     |  βγ   γ   0  0 |
P ′ = |(               |) P,
         0   0   1  0
         0   0   0  1
(2.6)

kde P,P jsou sloupcové vektory čtyřhybností v prvním, resp. druhém souřadném systému a γ představuje známý relativistický faktor:

       1
γ ≡ ∘-------
      1 − β2
(2.7)

Maticový zápis (2.6) lze přepsat do soustavy rovnic pro jednotlivé komponenty čtyřhybností, kde hybnost p rozdělíme na složku rovnoběžnou (p) a kolmou (p) vůči směru vzájemné rychlosti soustav β:

pict

V obecném případě, tj. když hybnost částice svírá s vektorem vzájemné rychlosti soustav obecný úhel, lze ukázat:

      (       γ      )
⃗p′ = γ  E + -----⃗β ⋅⃗p  ⃗β + ⃗p
            γ + 1
(2.9)

Snadno nahlédneme, že v případě βp se vztah (2.9) redukuje na vztah (2.8b).

2.3 Rozpady částic

Nejjednodušším případem je rozpad mateřské částice na dvě dceřiné částice. V klidovém systému rozpadající se částice, viz obr. 2.1a, lze jednoduše ze zákonů zachování hybnosti a energie odvodit vztahy:

pict

kde M,m1,m2 jsou hmoty mateřské a dceřiných částic. U dvoučásticového rozpadu je jeho kinematika v těžišťovém systému určena jednoznačně.2

Složitější je tříčásticový rozpad, na který lze nahlížet jako na dva po sobě jdoucí dvoučásticové rozpady. Příslušné schéma je znázorněno na obr. 2.1b. Aplikací vztahu (2.10b) dostáváme:

pict

Hybnost p3 popisuje kinematický stav 3. částice v klidovém systému rozpadající se částice, zatímco hybnost p1 odpovídá hybnosti 1. a 2. částice vzhledem k jejich těžišti. Veličiny M,m1,m2,m3 jsou hmoty mateřské a dceřiných částic, m12 značí invariantní hmotu soustavy 1. a 2. částice:

m2  ≡ (E  + E  )2 − (⃗p + ⃗p )2
  12     1    2      1   2
(2.12)

Na rozdíl od dvoučásticového rozpadu zde invariantní hmota m12 hraje roli volného parametru, který může nabývat hodnot

m1 + m2 ≤ m12  ≤ M −  m3
(2.13)

Minimální hodnota m12 odpovídá maximální hybnosti p3 a energii E3 (viz též příklad 2.7). Maximální hodnota m12 naopak odpovídá p3 = 0. Poznamenejme, že kinematická konfigurace (tj. rozdělení energie mezi dceřiné částice) tříčásticového rozpadu má celkem dva volné parametry.3

PICT PICT

Obrázek 2.1:Schéma dvoučásticového rozpadu (a) a tříčásticový rozpad (b) nahlížený jako dva po sobě jdoucí dvoučásticové rozpady, každý ve svém těžišťovém systému.

2.4 Fázový objem, luminosita, účinný průřez

V této kapitolce se budeme věnovat veličinám souvisejících s pravděpodobností interakce či rozpadu částic. Nejprve probereme problematiku fázového objemu (oddíl 2.4.1), dále se zmíníme o účinném průřezu a luminositě (oddíl 2.4.2).

2.4.1 Fázový objem

Fázovým objemem nazýváme velikost fázového prostoru. Element fázového objemu nf pro nf částic je definován obecným vztahem4

        n∏f    3                  n∑f
d Φn  ≡    --d-⃗pi---(2π)4δ(4)(P −    Pi),
    f   i=1 (2π)32Ei              i=1
(2.14)

kde P značí součet čtyřhybností částic v počátečním stavu, Pi (pi) jsou čtyřhybnosti (hybnosti) jednotlivých částic v koncovém stavu. Přítomnost δ-funkce vyjadřuje zákon zachování čtyřhybnosti. Faktor 1((2π)32Ei) souvisí s normou vlnové funkce a je volen tak, aby maticový element fi i fázový objem byly Lorentz-invariantní5. Fázový objem Φnf je tedy invariantní míra při integraci přes čtyřhybnosti (viz příklad 2.11), nejsnáze jej lze počítat v těžišťovém systému. Ze vztahů (2.14) a (2.22) vidíme, že rozměr fázového prostoru závisí na počtu částic v koncovém (nf) stavu

[   ]        2nf−4
 Φnf =  (GeV  )
(2.15)

Pro element fázového objemu dvoučásticového rozpadu (viz obr. 2.1a) plyne ze vztahu (2.14), viz též příklad 2.12:

                    1  pcms
d Φ2(M, m1,m2 ) = ---2----- dcos𝜃dϕ
                  16π   M
(2.16)

M je hmota mateřské částice a pcms je hybnost dceřiných částic v těžišťovém systému, viz též vztah (2.10b). V tomto případě vyjadřuje element fázového objemu jen volnost v tom, do kterých směrů 𝜃,ϕ se částice rozletí, přičemž všechny směry jsou z hlediska fázového objemu stejně pravděpodobné.6 Fázový objem dvoučásticového rozpadu získáme integrací výrazu (2.16)

Φ  (M, m  ,m  ) = 1--pcms
  2     1   2    4π  M
(2.17)

Ve speciálním případě m1 = m2 = 0 dostaneme

              1
Φ2 (M, 0,0) = ---
             8π
(2.18)

V případě tříčásticového rozpadu je situace složitější. Na tento problém můžeme nahlížet jako na dva po sobě jdoucí dvoučásticové rozpady (viz obr. 2.1b). Pro element fázového objemu pak platí

                                                         −1   2
dΦ3(M, m1, m2,m3 ) = dΦ2(M, m12, m3) dΦ2(m12,m1, m2 )(2π)  dm 12,
(2.19)

kde invariantní hmota m12 hraje roli jednoho ze dvou volných parametrů kinematické konfigurace tříčásticového rozpadu (viz kapitolka 2.3). Uvedený vztah lze dokázat použitím definice (2.14) na obou stranách rovnice. Díky netriviální závislosti na invariantní hmotě m12 nejsou všechny elementy fázového objemu tříčásticového objemu stejné a tedy různé kinematické konfigurace takového rozpadu nejsou obecně stejně pravděpodobné. Fázový objem Φ3 získáme integrací výrazu (2.19). Jednoduché řešení existuje např. pro speciální případ rozpadu na nehmotné částice:

Φ (M, 0,0,0) = (2π )− 3 M-2
 3                    32
(2.20)

Na rozdíl od dvoučásticového fázového objemu má Φ3 rozměr kvadrátu energie, viz relace (2.15). Obecně lze fázový objem Φn pro rozpad na n částic určit pomocí rekurzivního vztahu, který využívá Lorentz-invarianci fázového objemu [1]:

pict

Element fázového objemu v kombinaci s kvadrátem maticového elementu je úměrný pravděpodobnosti, s jakou se daný proces uskuteční v určité konfiguraci fázového prostoru. Obě zmíněné veličiny proto vystupují ve vztazích pro rozpadovou šířku a účinný průřez (viz oddíl 2.4.2).

Rozpadá-li se částice s hmotou M na obecně nf částic, platí pro rozpadovou šířku vztah [1]

dΓ =  -1-|ℳ fi|2dΦn ,
      2M          f
(2.22)

kde fi je maticový element příslušného rozpadu. Ze vztahů (2.14) a (2.22) vidíme, že rozměr maticového elementu závisí na počtu částic v koncovém (nf) i počátečním (ni) stavu

             4−n −n
[ℳ fi] = (GeV )  i  f
(2.23)

Podívejme se nyní na rozdělení invariantních hmot dvou pionů v rozpadech částic

pict

Jelikož všechny částice mají spin rovný nule, maticový element rozpadu neobsahuje žádnou speciální úhlovou závislost. Rozdělení invariantních hmot je tedy dáno pouze fázovým objemem, příslušná spektra jsou zobrazena na obr. 2.2. V prvním případě jde o symetrické rozdělení, neboť všechny π-mezony mají přibližně stejnou hmotu. V případě rozpadu (2.24b) jsou preferovány stavy s vyšší invariantní hmotou systému ππ, což odpovídá malé hybnosti těžší částice K.

PICPIC

Obrázek 2.2:Normované rozdělení invariantních hmot ππ v rozpadech (2.24a) (vlevo) a (2.24b) (vpravo), získané pomocí Monte Carlo generátoru Pythia [2]. Teoretická křivka odpovídá vztahu (2.17), kde m1 = m(ππ).

2.4.2 Účinný průřez, luminosita

Pojem účinný průřez lze názorně vysvětlit na následující klasické analogii interakce částice s terčem. Nechť bodová částice nalétá na pevný terč představovaný tělesem o průřezu S v rovině kolmé ke směru letu bodové částice.7 Ke srážce (interakci) dojde tehdy, zasáhne-li bodová částice terč, tj. trefí-li se do plochy o průřezu S. Tato plocha je právě účinným průřezem interakce bodové částice s terčem. Jednotkou účinného průřezu je tedy m2, z praktických důvodů se ale používá jednotka barn (stodola)

        −28  2         2
1 b ≡ 10   m   = 100 fm
(2.25)

Barn řádově odpovídá průřezu atomového jádra.

Účinný průřez tedy představuje plochu, kterou musí částice zasáhnout, aby došlo k dané interakci. Známe-li účinný průřez (σ), snadno určíme počet interakcí za jednotku času dN∕dt. Pro interakce částic v pevném terči platí

dN--= j(1 − e−σω) ,
 dt
(2.26)

kde j je tok svazkových částic (počet částic za jednotku času) a ω je tzv. plošná hustota částic terče. Ta je např. pro interakce α-částic na jádru dána vztahem

        ρd
ω ≡  A-[g-∕mol] NA,
(2.27)

kde ρ je hustota terče, d značí jeho tloušťku, A je hmotnostní číslo materiálu terče a NA je tzv. Avogadrovo číslo (NA 6,022 1023mol1). Pro dostatečně tenký terč, v němž můžeme zanedbat vliv úbytku toku částic v důsledku interakcí v přední části terče (σω 1), lze vztah (2.26) zjednodušit:

dN     (        )
----= j 1 − e−σω  ≃ jσω.
 dt
(2.28)

U tzv. vstřícných svazků, kdy spolu interagují částice dvou svazků letících vzájemně proti sobě, definujeme veličinu luminosita vztahem [1]:

      -n1n2--
ℒ ≡ f 4πσxσy
(2.29)

Zde f značí frekvenci srážek, n1,n2 jsou počty částic v obou svazcích a σxy charakterizují gaussovské šířky příčných průřezů svazků.8 Jmenovatel 4πσxσy odpovídá efektivní příčné ploše svazků. Počet interakcí za jednotku času pak snadno určíme pomocí luminosity a účinného průřezu, neboť platí:

dN--= ℒσ
dt
(2.30)

Účinný průřez interakce typu 2 2 je dán vztahem [1]

             2     2
dσ = -∘---(ℏc)|ℳ-fi|------dΦ2 (P1 + P2, P′,P′),
     4  (P1 ⋅P2)2 − m21m22             1  2
(2.31)

kde fi ∝⟨f|Ĥ|ije maticový element procesu |i⟩→|fa mj jsou hmoty částic vstupujících do interakce. Čtyřhybnosti Pj,Pj popisují kinematický stav j-té částice v počátečním (tj. před interakcí), resp. v koncovém stavu. Veličina Φ2 je fázový objem dvou částic v koncovém stavu (viz oddíl 2.4.1). Jmenovatel ve vztahu (2.31) je zapsán v invariantním tvaru. V těžišťovém, resp. laboratorním systému (|p2| = 0) platí

                     {
∘ --------2----2--2     E1E2 |β⃗1 − ⃗β2|  (CMS  )
  (P1 ⋅P2) − m 1m 2 =   |⃗p1|m2          (LAB  )
(2.32)

Poznamenejme nakonec, že obvykle musíme kvadrát maticového elementu vysčítat přes všechny kvantové konfigurace v koncovém stavu a zprůměrovat přes počáteční kvantové stavy.9 Výsledný kvadrát maticového elementu potom značíme |ℳfi|2.

Vraťme se ještě k rozměru účinného průřezu. Ze vztahů (2.15), (2.23) vyplývá, že součin |ℳfi(ni = 2,nf = 2)|2 × Φ2 ve vztahu (2.31) je bezrozměrný, a tedy rozměr účinného průřezu je (fm)2.

2.5 Rapidita, pseudorapidita

V experimentech se často používá veličina rapidita, definovaná vztahem

    1   (E +  pz)
y ≡ -ln  -------  ,
    2    E −  pz
(2.33)

kde E je energie částice a pz je složka její hybnosti v ose svazku z. Všimněme si, že pohybuje-li se částice kolmo k ose svazku (pz = 0), je její rapidita y = 0. Pro částice pohybující se v ose svazku pak absolutní hodnota rapidity nabývá maxima.10

Při Lorentzově transformaci (viz kapitolka 2.2) podél osy z se rapidita mění velmi jednoduchým způsobem:

            (      )
y′ = y + 1-ln  1+-β-
        2     1− β
(2.34)

Díky této vlastnosti je rozdíl rapidit dvojice částic (jetů11) Lorentz-invariantní veličina a tvar jakéhokoli rozdělení v rapiditě dN∕dy je invariantní vůči Lorentzově transformaci.

V limitě vysokých energií p m je rapidita ekvivalentní pseudorapiditě η, která je definována vztahem

            (         )        (    )
 lim  y = 1ln  1-+-cos𝜃  = − ln  tg 𝜃- ≡ η,
p→ ∞     2    1 − cos𝜃             2
(2.35)

kde 𝜃 je polární úhel výletu částice. V detektorech se tak obvykle vyjadřují úhlové souřadnice pomocí pseudorapidity η a azimutálního úhlu ϕ. Pseudorapidity lze využít i při zkoumání interakcí kosmického záření v jaderných emulzích. Změříme-li pseudorapidity jednotlivých produktů interakce primární částice, odpovídá střední hodnota rozdělení těchto pseudorapidit druhému členu na pravé straně vztahu (2.34). Odsud pak určíme rychlost primární částice.

Při studiu úhlového rozdělení se často používá veličina

χ ≡ e|η1−η2|
(2.36)

V těžišťové soustavě dvoučásticového systému platí η1 = η2 a tedy |η1 η2| = 2|η1|. Pro rozdělení veličiny χ proto v těžišťovém systému platí

dN--= 2 -dN---sin4 𝜃-,
dχ      dcos𝜃     2
(2.37)

viz příklad 2.17. Pro úhlové rozdělení částic rozptýlených potenciálem ve tvaru 1∕r (např. coulombický rozptyl na bodové částici) platí

 dN        1
------∝  --4-𝜃-
dcos 𝜃   sin  2
(2.38)

V takovém případě je tedy rozdělení dN∕dχ rovnoměrné, odchylky od rovnoměrného rozdělení jsou pak známkou vnitřní struktury terče.

Veličina χ se používá také při zkoumání možné vnitřní struktury kvarků ve srážkách proton–(anti)proton, kde ηi jsou pseudorapidity obou jetů ve dvoujetových případech. Rozdělení dN∕dχ není rovnoměrné díky složitějším úhlovým závislostem v interakcích kvarků a gluonů [3], nicméně odchylky od teoreticky předpovězeného rozdělení dN∕dχ slouží k hledání nových, dosud nepopsaných, jevů.

2.6 Pohyb nabité částice v magnetickém poli

Pohybuje-li se nabitá částice v magnetickém poli, je její dráha tímto polem zakřivena. Ze zakřivení lze pak určit hybnost částice, resp. složku hybnosti v rovině kolmé k vektoru magnetické indukce:

p [GeV ] = 0,3 ⋅|z|⋅B [T]⋅R  [m ],
(2.39)

kde z je náboj částice v jednotkách elementárního náboje, B je velikost vektoru magnetické indukce a R je poloměr dráhy částice v rovině kolmé k vektoru B. Tento vztah snadno odvodíme z rovnosti odstředivé a Lorentzovy (magnetické) síly, viz též příklad 2.18.

Příklady

Příklad 2.1. Ukažte, že skalární součin (2.2) je Lorentz-invariantní.

Příklad 2.2. Ukažte, že při zanedbání hmot částic v interakci 2 2 platí mezi Mandelstamovými invarianty relace

pict

kde 𝜃 je úhel výletu koncových částic v CMS vůči ose nalétávajících částic.

Příklad 2.3. Uvažujte pružný rozptyl

n + p → n + p,
(2.41)

kde proton v počátečním stavu je v klidu. Jaká je maximální hybnost odraženého protonu v závislosti na celkové energii nalétávajícího neutronu En?

Příklad 2.4. Určete maximální energii elektronu Ee v β-rozpadu volného neutronu

         −
n → p + e +  ¯νe
(2.42)

Příklad 2.5. Ukažte, že pro součet Mandelstamových invariantů daných vztahy (2.4a)–(2.4c) platí

           4
          ∑     2
s+ t+ u =     m i
           i=1
(2.43)

Příklad 2.6. Určete prahovou kinetickou energii T nalétávajícího protonu, při které probíhá reakce

                 0
p + p → p + p + π
(2.44)

Terčíkový proton je v laboratorním systému v klidu.

Příklad 2.7. Určete maximální energii elektronu z příkladu 2.4 pomocí algebry čtyřhybností.

Příklad 2.8. Určete maximální hybnost protonu z příkladu 2.3 tak, že nejprve spočítáte hybnost pcms rozptýlených částic p, n v těžišťovém systému a pak aplikujete Lorentzovu transformaci.

Příklad 2.9. Částice π0 s celkovou energií 10 GeV se za letu rozpadá

 0
π  → γ + γ

Určete minimální a maximální úhel, který spolu svírají vylétající fotony v laboratorním systému v závislosti na úhlu výletu γ vůči směru pohybu π0.

Příklad 2.10. Odvoďte vztah (2.9) pro Lorentzovu transformaci v obecném směru.

Příklad 2.11. Ukažte, že fázový objem definovaný vztahem (2.14) je Lorentz-invariantní a dokažte platnost vztahu (2.15).

Příklad 2.12. Odvoďte vztah (2.17) pro fázový objem Φ2 rozpadu 1 2.

Příklad 2.13. Vypočtěte tříčásticový fázový objem Φ3(M,0,0,0) z rekurzivního vztahu (2.21) a ověřte platnost výrazu (2.20).

Příklad 2.14. Účinný průřez anihilačního procesu e+ e+ μ+ μ+ je v kvantové elektrodynamice v limitě vysokých energií dán vztahem

             2
σ = 4π-α2(ℏc)- .= --87 nb-,
        3s       s [GeV2 ]
(2.45)

kde α je konstanta jemné struktury a veličina s kvadrát celkové těžišťové energie soustavy. Ověřte číselnou hodnotu na pravé straně uvedeného výrazu.

Příklad 2.15. Dokažte vztah (2.34).

Příklad 2.16. Ukažte, že v limitě vysokých energií p m jsou rapidita (2.33) a pseudorapidita (2.35) ekvivalentní.

Příklad 2.17. Dokažte vztah (2.37).

Příklad 2.18. Dokažte platnost vztahu (2.39) srovnáním odstředivé a Lorentzovy (magnetické) síly.

1V anglické literatuře se obvykle používá termín Lorentz boost.

2Dvoučásticový rozpad má 8 parametrů – čtyřhybnosti dceřiných částic. Ty jsou vázány zákonem zachování čtyřhybnosti (4 rovnice) a dále relativistickým vztahem (1.1) mezi energií a hybností každé dceřiné částice. Celkem tedy máme 8 4 2 = 2 volné parametry, což jsou polární a azimutální úhel výletu dceřiných částic. Tyto úhly ale nemají vliv na velikost energií a hybností dceřiných částic.

3Čtyřhybnosti dceřiných částic reprezentují 12 parametrů vzájemně vázaných zákonem zachování čtyřhybnosti (4 rovnice) a pro každou dceřinou částici dále platí relativistický vztah (1.1) mezi její energií a hybností (celkem 3 rovnice). Máme tedy 12 4 3 = 5 volných parametrů, z nichž tři úhly (polární a azimutální úhel výletu třetí částice a azimutální úhel výletu částic 1,2 vůči směru výletu třetí částice) nemají vliv na energii a hybnost dceřiných částic. Zbývají tedy 2 volné parametry, např. invariantní hmota m12 a polární úhel výletu částic 1,2 vůči směru výletu třetí částice, energie 1. a 3. částice nebo invariantní hmoty m12 a m23.

4Faktor (2π)4 je věcí konvence. Buď je součástí definice fázového objemu (náš případ), nebo vystupuje samostatně ve vztazích (2.31) a (2.22).

5V angličtině se používá termín Lorentz-invariant phase space, LIPS.

6V rozpadech polarizovaných částic je netriviální úhlová závislost popsána maticovým elementem.

7Je-li terčem koule o poloměru r, pak její průřez je S = πr2.

8Typické rozdělení hustoty částic svazku v rovině kolmé ke směru letu částic není rovnoměrné, ale podléhá Gaussovu normálnímu rozdělení, a to v obou osách x a y.

9Pro nepolarizované částice jde o součet přes všechny spinové konfigurace, viz např. oddíl 6.1.3. V případě interakcí kvarků a gluonů musíme navíc vysčítat přes všechny barevné stavy [3].

10V limitě vysokých energií či nulových hmot částic je y →±∞, viz též vztah (2.35).

11Pojmem „jet“ označujeme skupinu částic vylétající ze srážky v daném směru. Tyto částice vznikají hadronizací kvarku/gluonu (viz kapitolka 8.4), případně následným rozpadem takto vzniklých hadronů. Více viz např. literatura [3].