Kapitola 14
Oscilace neutrin

Oscilace neutrin byly předpovězeny již koncem 50. let, nejprve v analogii s K-mezony jako oscilace neutrino antineutrino. Po objevu mionového neutrina pak byly předpovězeny dnes pozorované oscilace mezi jednotlivými vůněmi neutrin. Oscilace neutrin jsou možné, jen pokud mají vlastní hmotové stavy neutrin nenulové a vzájemně různé hmoty.

14.1 Experimentální přehled

Současné znalosti o oscilacích neutrin pocházejí téměř výhradně z tzv. „disappearance“ experimentů, kde se měří deficit neutrin dané vůně oproti očekávanému toku. K experimentům s neutriny se využívají sluneční, atmosférická, reaktorová a urychlovačová neutrina.

Sluneční neutrina
vznikají při jaderné fúzi v nitru Slunce, kde se slučují protony a vzniká helium. Sluneční neutrina jsou elektronová neutrina s energiemi do 14 MeV.
Atmosferická neutrina
jsou produkty rozpadů nabitých pionů
π+∕− →  μ+∕− + νμ∕¯νμ
(14.1a)

a jimi produkovaných mionů:

μ+ ∕− → e+∕− + νe∕¯νe + ν¯μ ∕νμ
(14.1b)

Piony vznikají při srážkách částic kosmického záření s atmosférou Země. Atmosférickými nazýváme proto mionová a elektronová neutrina i antineutrina. Mionových neutrin a antineutrin je přibližně dvojnásobný počet než elektronových a spektrum energií atmosférických neutrin dosahuje až do několika GeV.

Měřením atmosférických neutrin v detektoru Super-Kamiokande [77] byly pozorovány vůbec první oscilace neutrin. Byl změřen úbytek množství mionových neutrin, přitom se ale nepozoroval přírůstek elektronových neutrin, tj. mionová neutrina s největší pravděpodobností oscilovala na τ-neutrina.

Urychlovačová neutrina
pocházejí z rozpadů π a K-mezonů, které vznikají ve srážkách urychlených protonů s terči. Pomocí magnetů lze vybrat kladně nebo záporně nabité mezony a můžeme tak připravit svazek mionových neutrin nebo antineutrin. Energie urychlovačových neutrin jsou typicky několik GeV. Téměř monoenergetický svazek neutrin lze získat výběrem neutrin pod velmi malým úhlem vůči směru rozpadajících se mezonů, viz příklad 14.1.
Reaktorová neutrina
vznikají v β rozpadech dceřiných jader vzniklých při štěpení v jaderném reaktoru. Jde tedy o elektronová antineutrina s energiemi do 10 MeV.

První zjevné oscilace reaktorových neutrin byly pozorovány v detektoru KamLand [82]. Naměřené parametry oscilací jsou ve shodě s parametry naměřenými v experimentech se slunečními neutriny.

14.1.1 Další experimenty

Jak uvidíme, pro tři druhy neutrin jsou oscilace popsány celkem šesti parametry: dvěma rozdíly kvadrátů hmot, třemi směšovacími úhly a jednou fází. V současnosti známe poměrně přesně hodnoty obou rozdílů kvadrátů hmot a dvou ze tří směšovacích úhlů. Hlavním cílem současných a budoucích experimentů je změření třetího směšovacího úhlu, odhalení posloupnosti hmot a nalezení projevů narušení kombinované parity CP souvisejících s možnou nenulovou hodnotou fáze.

14.2 Obecný popis oscilací

Popis oscilací předpokládá, že neutrina vznikající ve slabých interakcích se nacházejí ve stavech s definovanou vůní |νf,f = e,μ,τ a jsou superpozicí stavů s definovanou hodnotou hmoty |νi,i = 1,2,3. Transformace mezi těmito bázemi je určena maticí UPMNS (autoři Pontecorvo, Maki, Nakagawa, Sakata), v následujícím textu ji budeme označovat zkráceně U.1 Její jednotlivé elementy jsou definovány vztahem

            CP T               ∗
Ufi ≡ ⟨νf|νi⟩ =  ⟨¯νi|¯νf⟩ = ⟨¯νf|¯νi⟩
(14.2)

Stavy neutrin s ostrou hodnotou hmoty, resp. s ostrou hodnotou vůně jsou dány následujícími lineárními kombinacemi:

pict

Obdobně pro antineutrina platí (U U):

pict

Matice U je unitární a jednotlivé stavy neutrin jsou vzájemně ortogonální:

pict

Podívejme se nyní na časový vývoj. Stav neutrina s definovanou hodnotou čtyřhybnosti Pi je určen rovinnou vlnou

pict

Vznikne-li v čase t = 0 a místě r = 0 neutrino s definovanou vůní f, můžeme ho v čase t a místě r nalézt ve stavu s obecně jinou vůní g. Příslušnou amplitudu Aνfνg a pravděpodobnost Pνfνg lze snadno vypočítat:

pict

kde jsme označili

                             (Ei − Ej) ct− (⃗pi − ⃗pj)⋅⃗r
ϕij (⃗r,t) ≡ ϕi(⃗r,t) − ϕj (⃗r,t) =------------------------
                                       ℏc
(14.8)

Po sérii úprav dostaneme (viz příklad 14.2):

                     ∑     ( ∗         ∗)   2( ϕij (⃗r,t))
P νf→ νg (⃗r,t) = δgf − 4 Re  UgjUfjUgiUfi sin   ---2---- +
                     i<j
              +  2∑  Im (U ∗U  U  U ∗) sin(ϕ  (⃗r,t))
                          gj  fj gi fi      ij
                  i<j
(14.9)

Předpokládejme, že experiment je umístěn ve vzdálenosti L od zdroje neutrin. Relativní fáze ϕij(⃗r,t) je (viz příklad 14.3):

                                    (  2     2)        2
ϕ  (L, t) = (Ei-−-Ej)ct−--(pi-−-pj)-L ∼ --mi-−-m-j-L-≡  Δm-ijL-
 ij                   ℏc           =     2E ℏc        2Eℏc
(14.10)

Dosazením do vztahu (14.7b) dostaneme pro pravděpodobnost oscilací následující výraz:

                                            (    2  )
P      (L) = δ  − 4∑   Re (U∗ U  U  U∗ )sin2   Δm-ijL- +
  νf→ νg       gf             gj fj gi fi        4ℏcE
                    i<j                  (        )
                 ∑     ( ∗         ∗)     Δm2ijL-
             + 2    Im  UgjUfjUgiUfi sin   2ℏcE
                 i<j
(14.11)

První dva členy ve výrazu pro pravděpodobnost jsou invariantní vůči záměně počátečního a koncového stavu neutrin (f g, tj. T-symetrie) i vůči záměně neutrin za antineutrina (záměna U U, tj. CP-symetrie2), viz příklad 14.4. Případné jevy narušení CP a T-symetrie lze tedy pozorovat pouze v případě, kdy je PMNS matice komplexní a navíc jen pokud f≠g, viz příklad 14.5. Obecně je tedy

pict

přičemž rovnost ve vztahu (14.12a) platí při zachování CP a ve vztahu (14.12b) při T-symetrii. Pravděpodobnost oscilací (14.11) je však invariantní vůči kombinované transformaci CPT

P νf→ νg (L) = P¯νg→ν¯f (L ),
(14.12c)

viz příklad 14.6.

14.2.1 PMNS matice

PMNS matici lze popsat pomocí čtyř reálných parametrů. Těmi jsou tři směšovací úhly 𝜃12,𝜃13 a 𝜃23 a jedna fáze δ, která souvisí s narušením CP a T-symetrie (viz poznámka výše). Jsou-li neutrina totožná s antineutriny (majoranovská neutrina, viz kapitolka 10.8), pak matice obsahuje dvě další relativní fáze (α12) mezi trojicí stavů neutrin. Velikost těchto fází však nelze zjistit v experimentech s oscilacemi neutrin.

Označíme-li sij sin𝜃ij a cij cos𝜃ij, můžeme PMNS matici zapsat v následujícím tvaru:

pict

Platí tedy:

pict

Pokud je s13 = 0 a zanedbáme-li pro oscilace nepodstatné fáze α12, dostaneme:

pict

Vidíme, že v takovém případě je elektronové neutrino superpozicí stavů 1 a 2, zatímco mionové a τ-neutrino jsou superpozicí stavu 3 a kombinace stavů 1 a 2 (|νe) ortogonální k elektronovému neutrinu. Hodnoty parametrů PMNS matice jsou uvedeny v tabulce 14.1.

----------2----------------−-5---2-
 |   2Δm|  1|2   2|  − 7,9⋅10− 3eV 2
 |Δm 13| ≃ |Δm 23|    2,5⋅10   eV
        𝜃12              ≈ 34∘
        𝜃23              ≈ 45∘
        𝜃13              ≈  9∘
         δ                ?
-----------------------------------
Tabulka 14.1:Experimentální hodnoty parametrů PMNS matice pro oscilace neutrin [1].

14.3 Efektivní popis oscilací

Kvůli velmi malé hodnotě směšovacího úhlu 𝜃13 (viz tabulka 14.1) lze dominantní oscilace elektronových neutrin popsat jako oscilace mezi hmotovými stavy 1 a 2. Obdobně kvůli velkému rozdílu dvou nezávislých Δm2 lze dominantní oscilace mionových či τ-neutrin popsat jako oscilace mezi stavem 3 a dvojicí stavů 1,2. PMNS matice se tak redukuje na matici 2 × 2 a popsat ji lze jedním úhlem 𝜃:

         (               )
U = U ∗ =    cos𝜃   sin 𝜃
            − sin 𝜃  cos𝜃
(14.16)

Schrödingerova rovnice pro dvě vůně neutrin tak bude vypadat:3

     (         )   (              )  (          )  (              )  (        )
        νf1(x)        cos𝜃   sin𝜃       E1   0       cos𝜃  − sin𝜃       νf1(x)
iℏc∂x   νf2(x)   =   − sin𝜃  cos𝜃   ⋅    0  E2    ⋅  sin𝜃   cos𝜃    ⋅   νf2(x)
(14.17)

Díky velmi malým hmotám neutrin můžeme jejich energii aproximovat

     ∘ --------        2         2
Ei =   m2  + p2 ≈ p + m-i ≈ p+ m-i
         i           2p        2E
(14.18)

Vynecháme-li v hamiltoniánu Schrödingerovy rovnice (14.17) libovolný násobek jednotkové matice, nebude to mít na mísení stavů žádný vliv. Dostaneme tedy vztah

     (        )         2 (                   )  (         )
iℏc∂    νf1(x)   =  − Δm-12   − cos2𝜃  + sin 2𝜃   ⋅   νf1(x)
    x   νf2(x)        4E      + sin 2𝜃  + cos2𝜃       νf2(x)
(14.19)

Vzniká-li v čase t = 0 neutrino s vůní f1 (νf1(0) = 1f2(0) = 0), dostaneme řešením soustavy diferenciálních rovnic (14.19) pro pravděpodobnosti oscilací vztahy (viz příklad 14.7)

pict

Snadno ukážeme, že identické vztahy také přímo vyplývají z obecného řešení (14.11).

Jak jsme zmínili v úvodu této kapitolky, uvedený efektivní popis oscilací lze aplikovat jak na sluneční elektronová neutrina, tak na atmosférická mionová neutrina. Označíme-li pro sluneční neutrina

pict

a pro atmosférická

pict

dostaneme dosazením do vztahu (14.20a) výrazy pro deficity slunečních a atmosférických neutrin v závislosti na vzdálenosti od zdroje L:

pict

Dosud jsme se zabývali pouze oscilacemi neutrin ve vakuu. Výše zmíněné odvození pravděpodobností oscilací přímo ze Schrödingerovy rovnice však umožňuje snadné zobecnění pro případ průchodu neutrin hmotným prostředím, jak uvidíme v následující kapitolce.

14.4 Oscilace v hmotném prostředí

Při průchodu hmotným prostředím interagují neutrina všech vůní s elektrony a nukleony prostřednictvím slabých neutrálních proudů.4 Elektronová neutrina mají navíc interakci prostřednictvím nabitých proudů s elektrony v prostředí a ta se projeví jako dodatečný člen v hamiltoniánu popisujícím časový vývoj (Ne(x) je hustota elektronů, GF je Fermiho vazbová konstanta):

                  (                                              )
     (  ν (x) )      Δm212-cos2𝜃 + √2N  (x)G  (ℏc)3  − Δm212-sin 2𝜃    (  ν (x) )
iℏc∂x    e      =     4E       Δm2    e     F         Δ4mE2          ⋅    e
       νf (x)                − -4E12sin2𝜃           − -4E12-cos2𝜃      νf (x)
(14.23)

Pro antineutrina má dodatečný člen opačné znaménko, tj.:

     (        )   (  Δm2         √ --            3    Δm2        )  (        )
iℏc∂    ¯νe(x)   =    -4E12-cos2𝜃 −  2Ne (x)GF (ℏc)   − -4E12-sin 2𝜃   ⋅   ¯νe(x)
    x  ν¯f (x)                − Δm212sin2𝜃           − Δm212-cos2𝜃      ν¯f (x)
                                4E                     4E
(14.24)

Díky dodatečnému členu v hamiltoniánu tak vlastní hmotové stavy |νive vakuu nejsou identické s vlastními stavy hmoty v hmotném prostředí. Situace je analogická k oscilacím kaonů (viz kapitolka 11.1), kde různé účinné průřezy interakcí K0 + N, resp. K0 + N umožňují regeneraci vlastního stavu hmoty K0 S po průchodu K0 L hmotným prostředím.

Označme nyní

       2E   √--
V ≡ − ----2- 2Ne (x)GF  (ℏc)3
      Δm  12
(14.25)

a vyšetřeme oscilace neutrin pro dva různé typy chování dodatečného interakčního členu.

14.4.1 Prostředí s konstantní hustotou Ne

S použitím definice (14.25) můžeme Schrödingerovu rovnici (14.23) zapsat ve tvaru

     (  ν (x) )     Δm2   ( − cos2𝜃 + 2V   sin 2𝜃 )  ( ν  (x ) )
iℏc∂x    e      = − ----12-                         ⋅    e
        νf (x)       4E         sin 2𝜃      cos2𝜃      νf (x)
(14.26)

Popis oscilací se nezmění, odečteme-li od hamiltoniánu násobek jednotkové matice, tj.:

      (       )      Δm2  (                           )  (        )
iℏc∂x   νe(x)   =  − ---12-  − (cos2𝜃 − V )   sin 2𝜃     ⋅   νe(x)
        νf (x )        4E         sin 2𝜃      cos2𝜃 − V       νf (x)
(14.27)

Zavedeme-li nyní označení

pict

snadno ukážeme (viz též příklad 14.8), že Schrödingerovu rovnici (14.26) lze zapsat ve stejném tvaru jako v případě oscilací ve vakuu:

     (        )     Δm2      (                       )  (       )
iℏc∂x   νe(x)   = − ----12,mat   − cos2𝜃mat  sin 2𝜃mat   ⋅  νe(x)
        νf (x)         4E         sin 2𝜃mat  cos2𝜃mat      νf (x )
(14.29)

Řešení této rovnice již známe. S počátečními podmínkami νe(0) = 1 a νf(0) = 0 je:

                              (     2     )
Pνe→νe (L ) = 1 − sin2 (2𝜃mat)sin2 Δm-12,matL
                                   4ℏcE
(14.30)

Pro další diskusi bude důležité znaménko V . Jde-li o neutrina, je znaménko shodné se znaménkem rozdílu kvadrátů hmot m22 m12, u antineutrin je tomu přesně opačně. Při průchodu neutrin hmotným prostředím mohou nastat následující případy:

14.4.2 Prostředí s proměnnou hustotou Ne(x) a deficit toku slunečních neutrin

Proberme nyní podrobně modifikaci oscilací slunečních neutrin při průchodu hustým prostředím Slunce. Protože zdrojem elektronových neutrin je jádro Slunce, jehož rozměr je mnohem větší než délka oscilací, v detektoru na Zemi budeme měřit vystředovanou hodnotu mezi minimem oscilací 1 sin2(2𝜃 )
   ⊙ a maximem 1, tj. naměříme hodnotu 1 0,5 sin2(2𝜃⊙ ). Tato hodnota nemůže být nikdy menší než 0,5, a proto se výsledek 1/3 získaný v experimentech se slunečními neutriny zdál podivný.

PICPICPIC

Obrázek 14.1:Hustota Slunce ρ (a) jako funkce vzdálenosti od středu Slunce. Poloměr Slunce je 7108m. Ostatní obrázky ukazují pravděpodobnost oscilace Pνeνe v závislosti na vzdálenosti od středu Slunce pro dvě různé energie neutrin. Energie Eν = 0,15 MeV je příliš malá a oscilace jsou prakticky stejné jako ve vakuu (b). Při velké energii Eν = 15 MeV uprostřed Slunce k oscilacím téměř nedochází, neutrina opustí Slunce v téměř čistém hmotovém stavu |ν2(c). Střední hodnota Pνeνe daleko od Slunce je v obou grafech vyznačena čárkovaně.

Ve známém Cl-Ar experimentu byl detekční práh slunečních neutrin Eν 0,8 MeV. Naměřený tok činil přibližně 1/3 hodnoty vypočtené v rámci SSM, což je ve velmi dobrém souhlasu s hodnotou sin2(𝜃⊙). Vidíme tedy, že MSW efekt je podstatnou součástí k vysvětlení pozorovaných skutečností. Zmíněná teorie byla dále podpořena měřeními v Ga-Ge experimentech SAGE a Gallex. V těchto experimentech se měří mnohem menší energie neutrin (detekční práh Eν 0,23 MeV), které nejsou tolik ovlivněny hmotným prostředím Slunce, a měří tudíž hodnotu blízkou k 1 0,5 sin2(2𝜃⊙).

Příklady

Příklad 14.1. Urychlovačová neutrina se získávají rozpadem nabitých pionů π μ + ν. Předpokládejte, že energie pionů je v určitém intervalu Eπ ∈⟨Eπmin,Eπmax⟩≫ mπ. Ukažte, že vhodným výběrem úhlu 𝜃lab mezi detektorem neutrin a směrem letu pionů lze připravit téměř monoenergetické svazky neutrin.

Příklad 14.2. Odvoďte vztah pro pravděpodobnost oscilací (14.9).

Příklad 14.3. Odvoďte vztah pro rozdíl fází (14.10) z definice (14.8).

Příklad 14.4. Ukažte, že první dva členy ve výrazu (14.11) jsou invariantní vůči záměně počátečního a koncového stavu a také vůči záměně neutrina za antineutrino.

Příklad 14.5. Ukažte, že narušení CP a T-symetrie v oscilacích neutrin lze pozorovat jen tehdy, jsou-li vůně počátečního a koncového stavu různé f≠g. Dokažte dále platnost relace

pict

Využijte přitom následující vztahy:

pict

Příklad 14.6. Ukažte, že výraz pro pravděpodobnost oscilací neutrin (14.11) je invariantní vůči kombinované transformaci CPT.

Příklad 14.7. Odvoďte vztahy (14.20a), (14.20b) pro pravděpodobnosti oscilací neutrin jako řešení soustavy diferenciálních rovnic (14.19).

Příklad 14.8. Ukažte, že oscilace neutrin v hmotném prostředí jsou popsány soustavou rovnic (14.29).

Příklad 14.9. Ukažte, že vztah mezi vlastními stavy hmoty v hmotném prostředí a vlastními stavy hmoty ve vakuu musí být:

(       )    (                              )  (     )
  ν1,mat   =    cos(𝜃 − 𝜃mat)   sin(𝜃 − 𝜃mat)  ⋅   ν1
  ν2,mat       − sin(𝜃 − 𝜃mat) cos(𝜃 − 𝜃mat)       ν2
(14.38)

Příklad 14.10. Při jakých energiích neutrin dochází k maximálnímu zesílení oscilací neutrin na povrchu Země a v jádru Slunce? Při výpočtu použijte současné experimentální hodnoty pro směšovací úhly a rozdíly kvadrátů hmot [1], hustota ve středu Slunce je přibližně 150gcm3, na povrchu Země 2,5gcm3.

Příklad 14.11. V roce 1987 zaznamenaly experimenty IMB, Kamiokande a Bajkal neutrina pocházející z výbuchu supernovy SN1987A. Z těchto měření bylo možno odhadnout horní hranici hmoty elektronových neutrin. Vzdálenost supernovy od Země je 150000 světelných let.

Příklad 14.12. Neutrinový experiment NOvA bude využívat neutrina vzniklá pod úhlem 𝜃lab = 14 mrad vzhledem k ose svazku pionů. Předpokládejte, že neutrina vznikají z pionů s rovnoměrným rozdělením energií v rozmezí Eπmin = 7 GeV a Eπmax = 14,2 GeV. Určete střední energii takových neutrin.

1Tato matice má podobnou funkci jako CKM matice u kvarků, viz kapitolka 11.3.

2V kapitolce 6.5 jsme zmínili, že operátor nábojového sdružení Ĉ převádí částici na antičástici. To však platí jen u bosonů se spinem nula. Levotočivé neutrino má jako antičástici pravotočivé antineutrino, ke změně spinu proto musíme ještě aplikovat operátor parity P.

3Předpokládáme, že se neutrina pohybují prakticky rychlostí světla, tj. x = ct, a tedy t = c∂x.

4Díky univerzalitě leptonů (viz kapitolka 10.7) je tato interakce stejná pro všechny vůně neutrin a přidává tedy k hamiltoniánu násobek jednotkové matice. Proto nepřispívá k oscilacím neutrin.