Kapitola 12
Slabé interakce a intermediální bosony W, Z

Zatímco elektromagnetické interakce lze popsat výměnou fotonu γ s nulovou hmotou, slabé interakce jsou zprostředkovány hmotnými intermediálními bosony W+, W, Z0. Interakce zprostředkované neutrálním bosonem Z0 nazýváme slabými neutrálními proudy, zatímco slabými nabitými proudy označujeme interakce s výměnou nabitých bosonů W+, W. Pro názornost uveďme několik příkladů:

Ve všech typech procesů se samozřejmě zachovává leptonové číslo, a to zvlášť v každé rodině.

PICT    PICT    PICT

Obrázek 12.1:Feynmanovy diagramy rozpadu mionu (a), neutronu (b) a rozptylu neutrina na elektronu (c).

PICT    PICT    PICT

Obrázek 12.2:Feynmanovy diagramy anihilace leptonů (a) a interakce antineutrina s elektronem, kde přispívají slabé nabité (b) i neutrální (c) proudy.

V teorii sjednocení elektromagnetické a slabé interakce se uvažují původně nehmotné intermediální bosony W+, W0, W a B0, které získají hmoty pomocí Higgsova mechanismu (viz kapitolka 13.2). Neutrální pole W0 a B0 se mísí a vznikají tak pole Z0 s hmotou mZ2 = mW2 + mB2 a fotonové pole s přesně nulovou hmotou. Úhel mísení, tzv. slabý směšovací úhel 𝜃w, spojuje hmoty intermediálních bosonů vztahem

cos𝜃w = mW--
         mZ
(12.1)

Zmíněná teorie poskytuje následující předpovědi [32]:

Při energiích mnohem menších než hmoty intermediálních bosonů lze slabé interakce fermionů popsat čtyřfermionovou kontaktní interakcí s Fermiho vazbovou konstantou GF. Tato vazbová konstanta má rozměr GeV2 a hodnotu 1,166 105 GeV2. Snadno lze nalézt, jak souvisí velikost této konstanty s velikostí hmoty W. Uvažujme rozpad mionu. Vazbová konstanta GF√--
 2 nahrazuje součin vazbových konstant slabých nabitých proudů a propagátoru W-bosonu. Ten je při malých energiích roven mW2, musí tedy platit:

GF--     -1--      ----π-α-----
√ 2 = gW m2W gW  = 2m2W sin2 𝜃w
(12.6)

Odsud snadno určíme spodní hranici pro hmotu W:

       ∘ -------
         -π-α-- ---1---   37,3-GeV--
mW  =    √2G-   sin (𝜃w ) ≃  sin (𝜃w ) ≥ 37,3 GeV
             F
(12.7)

Rovnost nastává pro sin𝜃w = 1, pro malé úhly (sin𝜃w 0) může být hodnota mW libovolně velká.

Podobným způsobem lze určit spodní hranici pro hodnotu mZ. Použitím vztahů (12.1) a (12.7) dostáváme:

      ---37,3 GeV----
mZ  ≃ sin(𝜃w)cos(𝜃w) ≥ 74,6 GeV
(12.8)

Hmota Z0 je minimální pro hodnotu sin𝜃w = 1√--
 2, naopak může být libovolně velká pro sin𝜃w 0,1.

12.1 Slabé neutrální proudy

Zatímco existence slabých nabitých proudů byla jasně prokázána (β-rozpad jader, rozpady podivných částic), projevy slabých neutrálních proudů se dlouho nedařilo experimentálně potvrdit, a to ze dvou hlavních důvodů:

Slabé neutrální proudy tak byly objeveny v interakcích neutrin s elektrony a nukleony. Protože neutrina nemají elektrický náboj, odpadá konkurence s elektromagnetickou interakcí. Kromě běžných slabých nabitých interakcí (charge currents, CC) neutrin, při nichž vzniká nabitý lepton a sprška hadronů:

pict

byly hledány tyto interakce neutrálních proudů (neutral currents, NC):

pict

V těchto interakcích nevznikají v koncovém stavu nabité leptony, jen sprška hadronů. Tyto slabé neutrální proudy byly objeveny pomocí bublinové komory Gargamelle v CERN [60], což potvrdilo správnost teorie elektroslabých interakcí a existenci bosonu Z0.

Poměr účinných průřezů neutrálních a nabitých proudů v interakcích neutrin na terčích se stejným počtem neutronů a protonů je dán následujícími vztahy (viz příklad 12.4):

pict

Je zřejmé, že změřením alespoň jednoho takového poměru lze určit velikost směšovacího úhlu. První měření poměru nabitých a neutrálních proudů ukázala hodnotu sin2𝜃w mezi 0,3 a 0,4 [60]. Současná hodnota sin2𝜃w = 0,231 [1] je blízká 1/4.

12.2 Objev W a Z

Experimentálně určená hodnota slabého směšovacího úhlu umožnila předpovědět velikosti hmot intermediálních bosonů W a Z, určit účinné průřezy pro jejich produkci a naplánovat parametry urychlovače a experimentů. Intermediální bosony W a Z byly objeveny v interakcích vstřícných svazků protonů s antiprotony v experimentech UA1 [61] a UA2 [62] na urychlovači SPS v CERN. Vstřícné svazky protonů i antiprotonů měly energii 270 GeV, viz příklad 12.1.

Intermediální bosony W byly pozorovány v interakcích:

pict

Intermediální bosony Z byly objeveny v procesech:

pict

Příslušné účinné průřezy mají rezonanční průběh:

pict

kde ΓW,ΓZ jsou celkové rozpadové šířky příslušného bosonu a Γi,Γf jsou parciální rozpadové šířky odpovídající rozpadům na částice v počátečním, resp. koncovém stavu. Faktor Nc odpovídá počtu barevných stavů, v jakých se daný fermion může vyskytovat: pro leptony je Nc = 1 a pro kvarky Nc = 3. Poslední zlomky ve výrazech (12.19), (12.20) odpovídají relativistickému Breitovu-Wignerovu rozdělení, které je charakteristické pro nestabilní částice.2

12.2.1 Z-boson

V případě bosonu Z0 byly v experimentech UA1 a UA2 pozorovány páry elektron–pozitron a v experimentu UA1, který byl umístěn v magnetickém poli, bylo možné měřit i hybnosti dvojice opačně nabitých mionů. Boson Z0 byl objeven jako pík v rozdělení invariantní hmoty dvojice leptonů:

m2 =  (E  + + E − )2 − (⃗p + + ⃗p − )2 ≃ 2|⃗p+ |⋅|⃗p − |(1− cos 𝜃 )
  Z     ℓ     ℓ       ℓ     ℓ        ℓ    ℓ           12
(12.21)

Vlastnosti bosonu Z0 byly podrobně zkoumány v experimentech na urychlovači vstřícných svazků elektronů a pozitronů LEP v CERN. V těchto experimentech bylo zaznamenáno několik desítek milionů rozpadů Z0. Intermediální boson Z0 se rozpadá na pár fermion–antifermion stejné vůně, rozpadové šířky jsou dány vztahem:

            GFm3Z  ( 2    2)
Γ Z0→f ¯f = Nc--√--- L + R
             3π  2
(12.22)

Větvicí poměry rozpadů jsou spolu s dalšími důležitými charakteristikami shrnuty v tabulce 12.1.

|-0-------|------------------------------(-2----2)-|-------|L2−-R2-|
|Z--→-f-¯f-|---L---------R------Nf-×-Nc-×--L--+-R---|--BR---|L2+R2--|
|   ν¯ν    | +0,5        0      3× 1 × 0,250 = 0,750 |  20%  |1,000  |
|  ℓ+ℓ−   | − 0,269   +0,231   3× 1 × 0,126 = 0,377 |  10%  |0,151  |
|         |                                        |       |       |
|  qu¯qu   | +0,346    − 0,154   2× 3 × 0,143 = 0,861 |  24%  |0,669  |
|--qd¯qd---|-−-0,423---+0,007---3×-3-×-0,185 =-1,664-|--46%--|0,936--|
| Celkem  |                                   3,652 | 100%  |       |
--------------------------------------------------------------------
Tabulka 12.1:Větvicí poměry (BR) a další parametry jednotlivých typů rozpadů Z0 – na neutrina, nabité leptony, „horní“ (náboj +2/3) a „dolní“ (náboj 1/3) kvarky. Nf udává počet možných stavů daného typu (pro horní kvarky jsou dostupné jen vůně u, c). Poslední sloupec ukazuje hodnoty charakterizující asymetrii úhlového rozdělení, viz text.

Ze zmíněné tabulky vidíme, že Z0 se v 70% případů rozpadá na dvojici kvark–antikvark, ve 30% na dvojici leptonů. Hadronové rozpady jsou téměř dvakrát častější na dvojici kvarků s nábojem 1/3. Je tomu tak proto, že rozpad na dvojici kvarků dd je častější než na pár uu. Navíc pro kvarky s nábojem 1/3 existují tři možné rozpadové kanály (dd, ss a bb), zatímco pro kvarky s nábojem +2/3 jen dva (uu a cc, neboť top-kvark je příliš těžký, viz kapitolka 13.1).

Rozpady na dvojici nabitých leptonů (10% případů) představují polovinu rozpadů na neutrina. Přestože rozpady na neutrina nebylo možné v experimentech na LEP pozorovat přímo, bylo možné určit, jaká část rozpadové šířky Z-bosonu zbývá na rozpady na neutrina. Byla měřena odchylka od teoretické hodnoty 20% a parametrizována počtem rodin neutrin Nν. Změřená hodnota Nν = 2,984 ± 0,008 [63] souhlasí velmi přesně s předpokladem o existenci tří rodin neutrin. Přesněji mluvíme o třech rodinách lehkých neutrin, kde slovo lehký znamená lehčí než mZ2. Pokud by čtvrté neutrino bylo těžší než mZ2, nemohl by se Z0 na něj rozpadat.

Předo-zadní asymetrie

V interakcích párů elektron–pozitron nebo kvark–antikvark

 −    +           0        ¯
e  + e (q + ¯q) → Z  →  f + f
(12.23)

platí pro úhlové rozdělení produkovaných fermionů f vztah

                       (            2    2  2    2        )
--d---σ 0 (s) = 3-σ 0 (s) 1+  2cos𝜃L-i −-R-iL-f −-R-f+ cos2 𝜃 ,
dcos 𝜃 Z       8  Z               L2i + R2iL2f + R2f
(12.24)

kde i značí elektron nebo kvark v počátečním stavu a σZ0 je účinný průřez interakce (12.23). Člen lineární v cos𝜃 svědčí o nezachování parity a má za následek asymetrii v počtu fermionů produkovaných ve směru kladné, resp. záporné osy svazků. Tento efekt nazýváme předo-zadní asymetrie, je úměrný veličině (L2 R2)(L2 + R2), viz příklad 12.3. Asymetrie nabývá maximální hodnoty pro neutrina, je velká pro kvarky a malá pro nabité leptony (viz též tabulka 12.1). Ze změřené asymetrie lze také velmi přesně určit slabý směšovací úhel.

Pro úplný popis úhlové asymetrie v procesu (12.23) je nutné zahrnout ještě diagram s výměnou fotonu.

12.2.2 W-bosony

V případě W-bosonu budeme v reakcích (12.15), (12.16) pozorovat nabitý lepton. Protože interagující kvarky mají na počátku nulové příčné hybnosti, můžeme ztotožnit chybějící příčnou hybnost ∕pT s hybností odnesenou neutrinem a vypočítat tzv. příčnou invariantní hmotu:

      (            )2  (          )2
m2  ≡  |⃗pT,l+|+ |⃗∕p |  −   ⃗pT,l+ + ⃗∕p   = 2|⃗pT,l+|⋅|⃗∕p |(1− cos 𝜃12)
  T              T               T               T
(12.25)

Příčná invariantní hmota je menší než skutečná hmota W a je jí rovna pouze v případě, kdy W má prakticky nulovou hodnotu podélné hybnosti. Snadno nahlédneme, že příčná invariantní hmota souvisí se skutečnou invariantní hmotou vztahem

              ∗       ∗
mT  = mW  sin 𝜃 ⇒  sin 𝜃 =  mT ∕mW,
(12.26)

kde 𝜃 je úhel výletu nabitého leptonu vůči ose z v těžišťové soustavě rozpadajícího se W-bosonu.

Ve srážkách proton–antiproton vznikají bosony W ve výše zmíněných reakcích polarizované (Sz(W) = 1), viz též příklad 12.5. Ze vztahu (12.26) však vyplývá, že velikost příčné invariantní hmoty je nezávislá na záměně 𝜃π 𝜃. Díky tomu platí pro úhlové rozdělení nabitých leptonů z rozpadů W relace:

--dN---   1+-cos2𝜃∗-
dcos 𝜃∗ ∝     2     ,
(12.27)

viz příklad 12.6. Odsud pak odvodíme rozdělení příčné invariantní hmoty, viz příklad 12.7.

Uvážíme-li navíc neostré rozdělení hmoty W-bosonu dN∕dm – například Breitovo-Wignerovo, případně navíc rozmyté Gaussovým rozdělením v důsledku konečného rozlišení detektoru při měření hmoty – bude výsledné rozdělení příčné invariantní hmoty dáno vztahem:

       ∫∞
dN---     -3- (           2) ----mT-∕m------dN--
dmT  =    4m   2− (mT ∕m )   ∘ -----------2-dm dm
       0                       1− (mT ∕m )
(12.28)

V případě ideálního detektoru s nekonečně dobrým rozlišením dosadíme do výše zmíněného vztahu (12.28) pouze Breitovo-Wignerovo rozdělení hmoty W-bosonu

dN--= --------2-1-----2--2- ,
dm    (m2 − m W )2 + m W ΓW
(12.29)

kde mW je hmota W-bosonu. Takové rozdělení je zobrazeno na obr. 12.3. Vidíme, že nejpravděpodobnější hodnota rozdělení příčné invariantní hmoty je menší než mW.

V reálném detektoru je výsledné rozdělení dN∕dmT ovlivněno dalšími faktory – kromě rozlišení detektoru (viz výše) např. i účinností detekce. Výslednou hmotu mW určíme porovnáním naměřeného spektra dN∕dmT se spektry z MC simulací pro různé vstupní hodnoty mW.

PIC

Obrázek 12.3:Rozdělení příčné invariantní hmoty mT pro úhlové rozdělení rozpadů W-bosonu dané vztahy (12.28) a (12.29). Čárkovanou čarou je znázorněna hmota W-bosonu mW.

Pro rozpadovou šířku W-bosonu plyne z interakčního lagrangiánu (11.51) nabitých proudů

             G  m3
Γ W →ff¯′ = Nc-F-√W--|Vff ′|2,
             6 π  2
(12.30)

kde Nc je počet barevných stavů fermionů v koncovém stavu a V ff je odpovídající prvek CKM matice. Parciální šířky a větvicí poměry jsou shrnuty v tabulce 12.2. Vidíme, že W-bosony se v jedné třetině případů rozpadají na leptony a ve dvou třetinách na kvarky. Výskyt b-kvarku v rozpadu W je zanedbatelně málo pravděpodobný.

|--+------′-|------------∑--------2--------|----------|
|W---→--ff¯-|-------Nc-×---f-|Vff-′|---------|---BR-----|
|   l+νl    |          1 × 3 = 3           |33,3%     |
|   q ¯q     |          3 × 2 = 6           |66,7%     |
|----u-d----|---------------2--------------|----------|
|    u¯s     |    3 × |0,2255| =  0,1525      | 1,69 %    |
|----c¯d-----|-----3×--|0,230|2-=-0,1587------|-1,76-%----|
|    c¯b     | 3× |41,2⋅10−3|2 = 5,09 ⋅10−3  | 0,057 %   |
|           |            −32           − 3 |          |
-----u¯b------3-×-|3,93-⋅10--|-=-0,046⋅10------0,0005-%---
Tabulka 12.2:Parciální rozpadové šířky W+. Mezi rozpady na kvarky dominují rozpady v rámci jedné rodiny, rozpady na kvarky z různých rodin (spodní část tabulky) jsou výrazně potlačeny velmi malými prvky CKM matice.

V úhlovém rozdělení produktů rozpadu W-bosonů

--d--σ   ¯′       ¯′ (s) = 3-σ ¯′       ¯′ (s)(1+ 2cos𝜃 + cos2 𝜃)
dcos𝜃  i+i →W →f+ f      8  i+i→W →f+ f
(12.31)

vidíme maximální narušení parity. To souvisí s tím, že slabých neutrálních proudů se účastní pouze levá fermionová pole.

12.2.3 Helicita a chiralita neutrin

V úvodu této kapitoly jsme zmínili, že slabých nabitých interakcí se účastní pouze tzv. levé proudy. Interagují jimi tedy jen levotočivé fermiony3 a pravotočivé antifermiony. Pro nehmotné částice je chiralita přesně rovna helicitě4, proto pokud mají neutrina nulovou hmotu, mohou ve slabých nabitých proudech vznikat pouze se zápornou helicitou. To vyplývá z výsledku experimentu [46] zmíněném v kapitolce 10.6.

U slabých neutrálních proudů je vazbová konstanta pro levotočivá neutrina

       √ ----     L(ν)       √ ----      1
gL(ν) ≡  4π α -------------=   4πα -------------,
              2sin 𝜃w cos𝜃w         4sin𝜃w cos𝜃w
(12.32)

viz relace (12.4), (12.5b). Neutrálních proudů se účastní i pravé proudy, avšak vazbová konstanta pro pravotočivá neutrina je podle vztahů (12.4) a (12.5b)

       √ ----    R (ν)
gR(ν) ≡  4πα  -------------= 0,
              2sin 𝜃wcos 𝜃w
(12.33)

neboť neutrino má nulový elektrický náboj. Pravotočivá neutrina tedy nemohou vznikat ani v neutrálních proudech.

V přírodě se tedy vyskytují pouze levotočivá neutrina a pravotočivá antineutrina.5 V případě nehmotných neutrin to znamená jejich zápornou helicitu. Mají-li však neutrina nenulovou hmotu, mohou se vyskytovat i ve stavu s kladnou helicitou. Pravděpodobnost takového stavu je však potlačena faktorem mν2∕Eν2.

Příklady

Příklad 12.1. Jaká je optimální hodnota energie svazků v symetrickém urychlovači vstřícných svazků proton–antiproton, chceme-li objevit intermediální bosony W, Z?

Příklad 12.2. Odvoďte vztah (12.24) pro úhlové rozdělení fermionů v koncovém stavu interakce (12.23).

Příklad 12.3. Předo-zadní asymetrie AFBf v úhlovém rozdělení produktů procesu (12.23) je definována

  f    F − B
A FB ≡ ------,
       F + B

kde F,B jsou počty případů, kdy fermion f letí do hemisféry ve směru, resp. proti směru pohybu původního elektronu. Vyjádřete AFBf pomocí vazbových konstant L,R.

Příklad 12.4. Odvoďte vztahy (12.13), (12.14) pro poměry účinných průřezů neutrinových interakcí.

Příklad 12.5. Předpokládejte, že W-boson vzniká v reakci p + p z kvarku protonu a antikvarku antiprotonu, které se srážejí s dostatečně velkou energií v CMS. Za předpokladu, že všechny fermiony lze považovat za nehmotné, určete:

  1. polarizaci W-bosonu vzhledem k ose z, která míří ve směru letu protonu
  2. úhlové rozdělení nabitých leptonů z rozpadu takto polarizovaných W-bosonů
    pict

    Úhel 𝜃 je úhel výletu nabitého leptonu z rozpadu polarizovaného W-bosonu vůči ose z v CMS soustavě W.

Příklad 12.6. Ukažte, že pro účely výpočtu rozdělení příčné invariantní hmoty mT je úhlové rozdělení nabitých leptonů v rozpadech W dáno vztahem (12.27).

Příklad 12.7. Určete rozdělení příčné invariantní hmoty mT za předpokladu, že úhlové rozdělení nabitého leptonu v rozpadu W je dáno vztahem (12.27).

Příklad 12.8. V experimentu D0, který měřil srážky vstřícných svazků p + p o energiích přibližně 1 + 1 TeV, byl identifikován případ

    ′     0
q+ ¯q  → Z  + W  → 3 e + νe .
(12.35)

V první fázi (tzv. Run 1) neměl experiment magnetické pole v centrálním dráhovém detektoru, náboje elektronů/pozitronů tedy nebylo možné určit. Byly změřeny následující hodnoty složek hybností (px;py;pz):

pict

přičemž srážející se svazky definují osu z. Určete:

  1. Který elektron/pozitron vznikl z rozpadu W a proč?
  2. Celkovou energii neutrina, jestliže W e + νe. Kolik má úloha řešení?
  3. Jaká je rychlost β W-bosonu v laboratorním systému?

Hmoty všech leptonů samozřejmě zanedbejte.

1Uvedená hodnota platí pro velmi malé energie. Ukazuje se totiž, že konstanta elektromagnetické interakce logaritmicky roste s energií, např. při energii odpovídající hmotě intermediálního bosonu Z0 je α(s = mZ2) 1128.

2Uvedené tvary však platí jen v blízkém okolí píku W/Z, obecně je výraz ve jmenovatelech složitější.

3Částice s tzv. levou chiralitou, ψL(x) = 12(1 γ5)ψ(x).

4Projekce spinu do směru pohybu.

5Předpokládáme-li, že jde o Diracovské částice, viz kapitolka 10.8.