11 Systemy neutralnıch mezonu K, D, B

Kapitola 11
Systémy neutrálních mezonů K, D, B

Systémy neutrálních pseudoskalárních mezonů vykazují pozoruhodné vlastnosti, o kterých jsme se dosud nezmínili. Tyto efekty jsou důsledkem nezachování některých kvantových čísel ve slabých interakcích. Zvláště zajímavé jsou oscilace a nezachování kombinované CP parity.

11.1 Neutrální kaony

Mezony $0 K$ mohou vznikat například v interakci:

− 0 0 π + p → K + Λ

(11.1)

V prvních pozorováních pomocí bublinových komor bylo zjištěno, že neutrální $K$ -mezony mají dobu života $cτ$ několik centimetrů, ale v polovině případů se v objemu bublinové komory pozorovaly pouze rozpady $Λ0$ a nikoli rozpady $K0$ -mezonů. Tato záhada byla objasněna pomocí elektronických experimentů, které byly schopny měřit rozpady $0 K$ také na velkých vzdálenostech od místa vzniku reakce. Zjistilo se tak, že vlastně existují dva neutrální kaony, jeden s dobou života $cτ ≈ 3$ cm a druhý s dobou života $cτ$ přibližně 15 m.

Vysvětlení tohoto jevu podali Gell-Mann a Pais. V silné interakci (11.1) zachovávající podivnost vzniká $K0$ -mezon. $K0$ a jeho antičástice $K¯0$ mají stejné hmoty a doby života, liší se pouze podivností. Protože slabé interakce mohou podivnost měnit, je možný přechod $K0 → ¯K0$ a naopak. Tyto přechody nazýváme oscilací, charakteristická je pro ně změna podivnosti $|ΔS | = 2$ .

11.1.1 Popis stavů kaonů

Označme vlnovou funkci kaonů

|ψ(t)⟩ ≡ k(t)|K0 ⟩+ ¯k(t)|¯K0 ⟩,

(11.2)

kde funkce $k(t),¯k(t)$ popisují časový vývoj jednotlivých stavů. Nyní vyšetříme tento časový vývoj, který je v kvantové mechanice popsán Schrödingerovou rovnicí.

Kdyby neexistovala slabá interakce, $K0$ a $¯K0$ jakožto nejlehčí mezony obsahující podivný antikvark $¯s$ (kvark $s$ ) by byly stabilní částice a jejich časový vývoj by byl dán dvěma nezávislými Schrödingerovými rovnicemi:

( k(t) ) ( ⟨K0 |H ˆ0 |K0 ⟩ 0 ) ( k(t) ) iℏ∂ ( ) = ( ) ⋅( ) t ¯ ¯0 ˆ ¯0 ¯ k(t) 0 ⟨K |H0 |K ⟩ k(t)

(11.3)

Budeme-li pracovat v klidové soustavě $K$ -mezonů, jsou hodnoty v Hamiltonově matici rovny hmotám $K0$ a $¯K0$ -mezonu. Pokud platí CPT symetrie, musí být tyto hmoty stejné. Podívejme se detailněji, proč tomu tak je:

Mezony $0 K$ jsou pseudoskalární mezony s vnitřní paritou $P = − 1$ (viz oddíl 8.2.1), tedy
Operace nábojového sdružení $Cˆ$ mění částici na antičástici, viz kapitolka 6.5. Fáze $c$ v relaci (6.29) se nejčastěji volí $c = 0 ⇒ ˆC |K0 ⟩ = + |¯K0⟩$ nebo $c = π ⇒ ˆC|K0⟩ = − |¯K0 ⟩$ . Definujme:
$Cˆ|K0 ⟩ ≡ − |¯K0⟩$ (11.5)

Z výše uvedených vztahů ihned vyplývá $ˆCPˆ|K0⟩ = |K¯0 ⟩$ . Pokud platí CPT symetrie pro hamiltonián $ˆ H$ , musí platit:

⟨K0| ˆH |K0 ⟩ = ⟨¯K0 |H ˆ|¯K0⟩

(11.6)

a proto jsou hmoty obou zmíněných mezonů stejné. Poznamenejme, že stejný výsledek dostaneme i pokud platí „jen“ CP symetrie.

Rovnici pro časový vývoj lze tedy v klidové soustavě $K0$ -mezonu jednoduše napsat:

( ) ( ) ( ) k(t) M0 0 k(t) iℏ∂t( ) = ( ) ⋅( ) ¯k(t) 0 M ¯k(t) 0

(11.7)

Zahrneme-li nyní do popisu ještě slabou interakci popsanou hamiltoniánem $ˆ Hw$ , vzniká možnost přechodů $0 K$ na $¯0 K$ a naopak a časový vývoj je dán následující rovnicí:

( ) ( ) ( ) k (t) M0 + ⟨K0|Hˆw |K0 ⟩ ⟨K0 |H ˆw |¯K0⟩ k(t) iℏ ∂t( ) = ( ) ⋅( ) k¯(t) ⟨¯K0|Hˆw |K0⟩ M0 + ⟨¯K0|Hˆw |¯K0⟩ ¯k(t)

(11.8)

Tuto rovnici lze napsat ve tvaru:

( ) ( ) ( ) k(t) M m k(t) iℏ∂t( ) = ( ) ⋅( ) , ¯k(t) m ∗ M ¯k(t)

(11.9)

kde pro nediagonální elementy zřejmě platí:

m = ⟨K0| ˆH |¯K0 ⟩ = ⟨¯K0 |H ˆ|K0⟩∗

(11.10)

Pokud je ovšem hamiltonián invariantní vůči CP symetrii, platí navíc:

Vzhledem k tomu, že nediagonální elementy musí být navzájem komplexně sdružené, je $m$ v případě CP zachování reálné číslo.

Podívejme se nyní na důsledky těchto úvah. Jako první rozebereme případ, kdy se kombinovaná parita CP zachovává, tj. v rovnici (11.9) je $m$ reálné číslo. Pomocí transformace

( ) ( ) ( ) |K0L⟩ +1 − 1 |K0 ⟩ ( ) = √1--( ) ( ) |K0 ⟩ 2 +1 +1 |¯K0 ⟩ S

(11.12)

snadno diagonalizujeme soustavu rovnic (11.9) a nalezneme tak vlastní hodnoty a vlastní vektory hamiltoniánu

( ) ( ) ( ) kL(t) M − m 0 kL(t) iℏ∂t( ) = ( ) ( ) , kS(t) 0 M + m kS(t)

(11.13)

kde časové funkce $kL(t),kS(t)$ jsou analogické funkcím $k(t),¯k(t)$ , viz vztah (11.2).

Dosud jsme do popisu nezahrnuli skutečnost, že neutrální $K$ -mezony nejsou stabilní částice, ale rozpadají se. V takovém případě musíme ve vztahu (11.9) doplnit hamiltonián o antihermitovskou část, jejíž diagonální elementy mají význam celkové rozpadové šířky $0 K$ a $¯ 0 K$ -mezonů:

( k(t) ) ⌊ ( M m ) ( Γ γ )⌋ ( k(t) ) ( ) ⌈ ( ) i-( )⌉ ( ) iℏ∂t ¯ = ∗ − 2 ∗ ⋅ ¯ k(t) m M γ Γ k(t)

(11.14)

Celková šířka $Γ$ je dána součtem všech parciálních rozpadových šířek kanálů rozpadu. Podle vztahu (2.22) platí:

Γ = -1--∑ |⟨f|Hˆ |K0 ⟩|2Φ = -1--∑ ⟨K0 |Hˆ |f⟩⟨f|Hˆ |K0 ⟩Φ , 2M w f 2M w w f f f

(11.15)

kde $Φ f$ je fázový objem rozpadu do finálního stavu $f$ . Zachování CPT symetrie vyžaduje, aby:

∑ ∑ ⟨K0|Hˆw |f⟩⟨f|H ˆw |K0⟩ = ⟨ ¯K0 |H ˆw |¯f⟩⟨¯f|Hˆw |K ¯0 ⟩ f f

(11.16)

tj. celkové rozpadové šířky $K0$ a $¯K0$ jsou stejné. Jednotlivé parciální rozpadové šířky jsou si rovny v případě CP zachování.

Protože $K0$ a $¯K0$ mají některé rozpadové kanály $g$ shodné (rozpady na 2 a 3 piony), v rozpadové matici existují také nediagonální elementy:

1 ∑ 0 0 γ = 2M-- ⟨K | ˆHw |g ⟩⟨g| ˆHw |K¯ ⟩Φg g

(11.17)

Tyto členy jsou navzájem komplexně sdružené a jsou v případě CP zachování reálné.

Pro případ CP zachování ( $m$ i $γ$ jsou reálná čísla) můžeme hamiltonián diagonalizovat také pomocí transformace (11.12) stejně jako v případě bez rozpadových šířek. Dostaneme tak:

( ) ⌊( ) ( ) ⌋ ( ) kL(t) M − m 0 i Γ − γ 0 kL(t) iℏ∂t( ) = ⌈( ) − 2( ) ⌉ ⋅( ) kS(t) 0 M + m 0 Γ + γ kS(t)

(11.18)

Ze vztahů (11.13) a (11.18) vidíme, že vlastními stavy hamiltoniánu nejsou $K0$ a $¯K0$ , nýbrž jejich dvě lineární kombinace

s rozdílnými hmotami a rozpadovými šířkami. Taktéž je zřejmé, že ve zkoumaném případě CP zachování jsou tyto kombinace totožné se stavy $0 |K +1⟩$ a $0 |K −1⟩$ s definovanou CP paritou $+ 1$ , resp. $− 1$ , viz příklad 11.1.¹ Je zřejmé, že v případě CP zachování jsou stavy $0 |KS⟩$ a $0 |KL⟩$ navzájem ortogonální, tj. $0 0 ⟨K L|K S⟩ = 0$ .

Neutrální kaony se mohou rozpadat na dva anebo tři piony. Kaony stejně jako piony mají nulový spin a proto je také nulový celkový orbitální moment hybnosti dvojice anebo trojice pionů vzniklých rozpadem neutrálních $K$ -mezonů. Dvojice pionů se tak nachází ve stavu s hodnotou kombinované parity $CP = +1$ , viz příklad 11.4. Znamená to tedy, že při zachování CP symetrie se $K0 L$ nemůže rozpadat na dva piony, ale pouze na tři, viz též příklad 11.5.

11.1.2 Oscilace neutrálních kaonů

Nyní se podívejme na časový vývoj stavu, který vznikl v silné interakci (11.1) společně s hyperonem $Λ0$ a byl v čase $t = 0$ roven $|K0⟩$ . Tento stav je však kombinací vlastních stavů $K0S$ a $K0L$ hamiltoniánu $Hˆw$ , získáme ho inverzí relací (11.19a) a (11.19b):

|K0 ⟩ = √1-(|K0 ⟩+ |K0 ⟩) 2 S L

(11.20)

Jeho časový vývoj je proto dán:

( ) |K0 (t)⟩ = √1-- e− iℏMSte− 12ℏΓ St|K0 ⟩+ e− iℏMLte− 12ℏΓ Lt|K0 ⟩ 2 S L

(11.21)

Amplituda pravděpodobnosti, že tento stav bude v čase $t$ právě $|K0⟩$ , je skalárním součinem $⟨K0 |K0 (t)⟩$ , pravděpodobnost je pak určena kvadrátem této amplitudy:

( ( ) Γ +Γ ) PK0 →K0(t) = 1- e− 1ℏΓ St + e− 1ℏΓ Lt + 2cos MS-−-ML-t e− 1ℏ-S2L-t 4 ℏ

(11.22a)

Obdobně získáme pravděpodobnost přechodu $0 0 K → ¯K$

1( 1 1 ( M − M ) 1ΓS+ΓL-) PK0 →¯K0(t) = -- e−ℏΓ St + e− ℏΓ Lt − 2cos-S----Lt e− ℏ 2 t 4 ℏ

(11.22b)

V případě zachování CP symetrie platí $PK0 →K¯0(t) = P¯K0→K0 (t)$ , zatímco identita $PK0→K0 (t) = P ¯K0→¯K0(t)$ je důsledkem zachování CPT, viz příklad 11.6. Necháme-li tedy svazek kaonů vzniklých v reakci (11.1) procházet vakuem, bude se v čase měnit zastoupení vlastních stavů silné interakce $K0$ , $K¯0$ , jak je znázorněno na obr. 11.1.

Jev oscilací lze pozorovat pomocí semileptonových rozpadů, které jsou odlišné pro $0 K$ a $¯K0$ díky různému kvarkovému složení ( $K0$ obsahuje $¯s$ -kvark a $¯K0$ $s$ -kvark), viz též pravidlo (6.23):

kde $ℓ$ značí elektron nebo mion. V experimentu měříme nábojovou asymetrii $𝒜 ℓ$ leptonů jako funkci vzdálenosti od místa vzniku $K0$ , tj.:

Z naměřené hodnoty periody oscilací (přibližně $Losc = 35$ cm) lze určit absolutní hodnotu rozdílu hmot $−6 |ML − MS | ≈ 3,5⋅10$ eV, viz příklad 11.7. Znaménko rozdílu hmot lze určit z jiných experimentálních pozorování a vychází, že $K0L$ je těžší než $K0S$ . Protože rozdíl hmot $K0L$ a $K0S$ je roven $− 2m$ , kde $m$ je parametr vystupující v hamiltoniánu, je jeho hodnota $m ≈ − 1,75 ⋅10−6$ eV.

Ze vztahu pro nábojovou asymetrii leptonů z rozpadu kaonů je také vidět, že pro dostatečně dlouhé časy, kdy ve svazku vymizí krátce žijící $K0 S$ , je v případě zachování CP hodnota asymetrie rovna nule. To také vyplývá ze skutečnosti, že ve zbylém $0 KL$ jsou $0 K$ a $0 ¯K$ zastoupeny se stejnou vahou.

11.1.3 Regenerace $K$ -mezonů

Regenerace $0 K S$ ve svazku $0 K L$ -mezonů je důsledkem rozdílných účinných průřezů silné interakce $K0$ a $K¯0$ s jádry. Protože $¯K0$ obsahuje $s$ -kvark, může produkovat hyperony $Λ0$ , zatímco obdobná produkce antibaryonu $¯Λ0$ v interakcích $K0$ je silně potlačena, tj. $σ(¯K0 + N ) > σ(K0 + N )$ .

Kvůli značně odlišným dobám života je velmi snadné připravit svazek $K0 L$ -mezonů. Jevu regenerace se využívá k přípravě svazku $K0 S$ z $K0 L$ -mezonů. Prochází-li svazek $0 K L$ (viz relace (11.19a)) vrstvou materiálu, dojde k většímu oslabení $¯0 K$ komponenty než $0 K$ . Za předpokladu zachování CP symetrie můžeme celý proces popsat následovně:

Velikosti amplitud $f$ , $¯f$ interakcí $K0$ , $K¯0$ v regenerátoru je možné měnit jeho tloušťkou a volbou materiálu. Vidíme také, že pokud je $¯f ⁄= f$ , objeví se po průchodu vrstvou materiálu také $K0 +1$ (čili $K0 S$ ), což se projeví přítomností rozpadů na dva piony. Jev regenerace také umožňuje změřit znaménko rozdílu hmot $0 K L$ a $0 K S$ -mezonů.

Během zkoumání regenerace $K$ -mezonů na tenkých regenerátorech R. Adair zjistil, že dochází k mnohem silnější regeneraci $K0+1$ , než odpovídalo výpočtům. Protože se předpokládalo zachování CP symetrie, nepodařilo se mu tuto skutečnost vysvětlit. Jak uvidíme dále v kapitolce 11.2, příčinou je nezachování CP (toto nezachování značíme $CP/ /$ ). V takovém případě je ve stavu $K0 L$ malá příměs $0 𝜖K +1$ :

Je zřejmé, že vhodnou volbou tloušťky regenerátoru je i pro malé hodnoty $𝜖$ možné docílit toho, aby člen $𝜖(f + f¯)$ byl srovnatelný s $f − f¯$ , a tak přispíval k regeneraci $K0 S$ ve svazku mezonů $0 K L$ .

11.2 CP narušení v systému neutrálních kaonů

V minulé kapitolce jsme dospěli k obecnému tvaru popisu časového vývoje a popisu jevu oscilací neutrálních $K$ -mezonů. Všechny úvahy byly provedeny pro případ, kdy se zachovává kombinovaná parita CP. Od roku 1964 jsou však známy důkazy o nezachování kombinované parity CP:

Mezony $0 K L$ se přibližně v $−3 2,3 ⋅10$ případů rozpadají na dva piony. Tento jev byl objeven J. Christensonem, J. Croninem, V. Fitchem a R. Turlayem v roce 1964 [54] a J. Cronin s V. Fitchem za něj dostali v roce 1980 Nobelovu cenu. $K0L$ tedy buďto není přesně roven stavu s CP paritou $− 1$ (nepřímé narušení CP parity) anebo se CP nezachovává v rozpadech stavů s definovanou CP paritou (přímé narušení CP parity). Dnes víme, že jsou přítomny oba jevy, druhý z nich (přímé narušení CP) však v případě kaonů přispívá mnohem méně.
Nábojová asymetrie pozorovaná v semileptonových rozpadech neutrálních $K$ -mezonů má malou nenulovou hodnotu $δ ≈ 3,3⋅10− 3$ pro $K0L$ . To znamená, že zastoupení $K0$ a $¯K0$ v $K0L$ není identické.

Jak vidíme ze závěrů předchozích oddílů, ani jeden z těchto jevů není možno popsat za předpokladu zachování CP parity.

V obecném případě nezachování CP lze časový vývoj popsat rovnicí (11.14), kde $m$ a $γ$ jsou komplexní čísla. Diagonalizací tohoto hamiltoniánu získáme vlastní hodnoty:

∘ -------------------- M − i-Γ ± (m − iγ)(m ∗ − iγ∗) 2 2 2

(11.27)

a vlastní vektory:

( ∘ ----------- ∘ --∗-----∗--) √1- 4 -m-−-iγ∕2--,± 4m---−-iγ--∕2 2 m ∗ − iγ∗∕2 m − iγ ∕2

(11.28)

Z experimentu víme, že $0 K L$ má menší rozpadovou šířku a současně větší hmotu než $0 KS$ , proto $m$ a $γ$ mají vzájemně opačná znaménka. Předpokládejme tedy, že se fáze parametrů $m$ a $γ$ liší o faktor $π$ . V takovém případě mají vlastní hodnoty jednoduchý tvar

(M ± |m |)− -i(Γ ∓ |γ|) 2

(11.29)

a vlastní vektory jsou:

1 ( +iμ∕2 −iμ∕2) √--- e ,∓e 2

(11.30)

Vlastní stavy hamiltoniánu $0 |K S⟩$ , $0 |KL⟩$ pak můžeme vyjádřit jako

Znamená to, že $0 K L$ obsahují také kombinaci $CP = +1$ a mohou se tedy rozpadat na dva piony, což by v případě zachování CP parity bylo zakázáno. Konkrétně lze předpovědět, že podíl rozpadů na dva piony bude roven $sin2(μ∕2 ) ≈ μ2∕4$ . Protože pozorovaný efekt je přibližně $|𝜖| = 2,3$ promile, lze očekávat, že hodnota fáze $μ$ bude přibližně rovna 0,1.

Uvedený výsledek však nedokáže popsat druhý z projevů narušení CP parity, totiž že v $0 KL$ nejsou $0 K$ a $¯0 K$ zastoupeny se stejnou vahou. K popisu tohoto jevu musíme tedy předpokládat, že fáze $m$ a $γ$ jsou různé, a pracovat s nejobecnějším tvarem vlastních hodnot (11.27) a vlastních vektorů (11.28). Vlastní stavy hamiltoniánu ve Schrödingerově rovnici (11.14) pak mají tvar:

kde $p$ a $q$ jsou komplexní čísla, která splňují $|p |2 + |q|2 = 1$ a podle vztahu (11.28)

∘ ----------- q m ∗ − iγ∗∕2 p-= -m-−-iγ∕2--

(11.33)

Povšimněme si, že v tomto obecném případě nejsou $0 KS$ a $0 K L$ ortogonální, ale platí: $0 0 2 2 ⟨K S|K L⟩ = |p| − |q|$ .

Časový vývoj vlastních stavů silné interakce pak získáme analogicky podle vztahu (11.21). Dostáváme tak:

Nyní již snadno určíme pravděpodobnosti jednotlivých přechodů:

Vidíme, že pro obecný případ nezachování CP, kdy platí $|p∕q| ⁄= 1$ , nejsou $P 0 ¯ 0(t) K →K$ a $P¯0 0(t) K →K$ stejné.

Pro úplnost uveďme přibližné hodnoty parametrů popisujících Hamiltonovu matici:

M = 497,6 MeV, m = − 1,744 ⋅e−0,00648i ⋅10−6 eV
Γ = 3,67⋅10− 6 eV, γ = 3,67 ⋅e0,000166i ⋅10−6 eV

Vidíme, že rozdíl hmot $0 K L$ a $0 KS$ je pouhých 3,48 $μ$ eV. Dále si všimněme, že velikosti $Γ$ a $γ$ jsou přibližně stejné, což znamená, že mezon $K0L$ má šířku téměř nula ( $cτ = 15,3$ m [1]) a je mnohem stabilnější než $K0S$ -mezon ( $cτ = 2,68$ cm).² Malý rozdíl fází $m$ a $γ$ je pak zodpovědný za nenulovou nábojovou asymetrii v semileptonových rozpadech $K0 L$ , viz též příklad 11.10.

Ve vztahu (11.26) jsme zavedli parametr $𝜖$ popisující příměs kaonu s opačnou CP-paritou. Tento parametr souvisí s $p$ , $q$ :

Použijeme-li parametr $𝜖$ místo $p$ , $q$ , zjednoduší se tvar vlastních stavů:

Snadno lze ukázat, že skalární součin zmíněných stavů je $0 0 2 2 2 ⟨K S|K L⟩ = |p| − |q| = 2Re (𝜖)∕(1 + |𝜖| )$ .

11.2.1 Přímé narušení CP v rozpadech neutrálních kaonů

Vraťme se k rozboru výše uvedených projevů CP nezachování v rozpadech kaonů. Definujme

q ℳ fi(¯K0 → f) λf ≡ --------0------, p ℳ fi(K → f)

(11.38)

kde $p$ , $q$ jsou komplexní čísla definovaná vztahy (11.32a) a (11.32b), zmíněné maticové elementy popisují rozpad $0 K$ ( $¯0 K$ ) do společného finálního stavu $f$ . Pro maticové elementy rozpadu $0 K L$ a $0 K S$ tak dostáváme

Pokud se CP nezachovává, je $q∕p ⁄= 1$ a přitom stále může být $0 0 ℳ fi(K → f) = ℳ fi(¯K → f)$ , tj. CP se může zachovávat v rozpadech. V takovém případě hovoříme o nepřímém narušení CP symetrie. Pokud jsou různé maticové elementy $ℳ fi(K0 → f ) ⁄= ℳ fi(¯K0 → f )$ , jde o přímé narušení CP.

Z výše uvedených vztahů přímo vyplývá pro poměr amplitud:

( ) ℳ fi K0L → f 1 − λf η ≡ ℳ---(K0-→--f) = 1-+-λ- fi S f

(11.41)

Pokud se realizuje pouze nepřímé CP narušení, dostaneme rozvojem do prvního řádu v $𝜖$

1− q∕p 1− 1−-𝜖 η = -------= ----1+1−-𝜖𝜖≃ 𝜖 1+ q∕p 1+ 1+-𝜖

(11.42)

Realizuje-li se i přímé CP narušení, můžeme ho parametrizovat

ℳ (K¯0 → f) = (1− α )ℳ (K0 → f) fi fi

(11.43)

a poměr amplitud pak vypadá

1−𝜖 1−-(1−--α)1+𝜖- 1- η = 1+ (1− α) 1−𝜖 ≃ 𝜖 + 2α 1+𝜖

(11.44)

Vidíme tedy, že přímé narušení vede k odlišné hodnotě poměru amplitud. Z jednoho měření však nelze usoudit na přímé CP narušení, protože stejný efekt bude mít nepřímé CP narušení s hodnotou parametru $𝜖 → 𝜖+ α∕2$ . Vliv přímého CP narušení bychom mohli pozorovat, pokud by existovaly alespoň dva různé procesy rozpadů $0 K L$ , $0 KS$ do koncových stavů $f1$ , $f2$ společných pro $0 K$ a $¯0 K$ , přičemž by se parametry $α1$ , $α2$ lišily. Je-li efekt přímého narušení CP mnohem menší než nepřímého narušení CP symetrie, je $α ≪ 𝜖$ a dvojitý poměr pravděpodobností rozpadů

P 0 ∕P 0 | |2 ( ) -K-L→f1--K-S→f1- = ||η1|| ≃ 1 + Re α1-−-α2- PK0L→f2∕PK0S→f2 |η2| 𝜖

(11.45)

je různý od jedné.

Pro $K0$ -mezony taková možnost skutečně existuje, totiž rozpady do stavů $|f1⟩ = |π0π0⟩$ a $|f2⟩ = |π+π − ⟩$ . Zobecněný Pauliho princip vyžaduje, aby vlnová funkce dvojice pionů byla totálně symetrická. Piony mají spin roven nule a spinová část jejich vlnové funkce je symetrická. Protože piony vznikají z rozpadů $K0$ a $¯K0$ se spinem 0, musí mít vzájemný orbitální moment roven nule, a tudíž také symetrickou prostorovou část vlnové funkce. To znamená, že také izospinová část jejich vlnové funkce musí být symetrická, a piony tedy musí být ve stavu s izospinem $I = 0$ nebo $I = 2$ , přičemž:

kde $δ0$ , $δ2$ jsou tzv. silné fáze vzájemné interakce dvojice pionů v koncovém stavu.³ Amplitudu rozpadu $K0$ rozdělíme na dvě části podle izospinu koncového stavu:

Podle výběrového pravidla (6.28) dominuje amplituda rozpadu do koncového stavu s izospinem $I = 0$ , tj. $|𝒜0 | ≫ |𝒜2 |$ . Podíl amplitud $η$ (viz vztah (11.41)) lze s použitím výše uvedených vztahů vyjádřit

Zmíněné vztahy jsme opět získali rozvojem do prvního řádu v parametrech $𝜖$ a $𝜖′$ (viz též příklad 11.11), kde

i(δ0−δ2) 𝜖′ ≡ ie--√---Im-(𝒜2-) 2𝒜0

(11.49)

Porovnáním vztahů (11.48a), (11.48b) a (11.44) snadno nahlédneme, že parametr $𝜖′$ souvisí s rozdílnými amplitudami rozpadů $K0L$ a $K0S$ . Parametr $𝜖′$ tedy opravdu popisuje přímé narušení CP symetrie v rozpadech neutrálních kaonů. Z jeho definice (11.49) vidíme, že toto narušení CP souvisí s mísením stavů s izospinem $I = 0$ a $I = 2$ .

Pro dvojitý poměr pravděpodobností rozpadů dostáváme:

| |2 ( ′) PK0L→-π0π0∕PK0S→π0π0--= ||η00-|| ≃ 1− 6Re 𝜖- PK0L→ π+π− ∕PK0S→π+π− |η+− | 𝜖

(11.50)

Tento dvojitý poměr byl skutečně změřen různý od jedné [55, 56] a tím bylo dokázáno, že existuje přímé narušení v rozpadech $K0$ -mezonů. Současná hodnota je $Re(𝜖′∕𝜖) = (1,65 ± 0,26 )× 10−3$ [1].

Na závěr se vraťme ještě ke vztahu (11.43). Platí-li CPT symetrie, mohou se maticové elementy rozpadů $K0 → f$ a $¯K0 → f$ lišit pouze fází. Nicméně ve finálním stavu dvou pionů se projeví ještě silné fáze, které jsou na rozdíl od fází maticových elementů stejné v rozpadech $0 K$ i $¯0 K$ . Složením maticových elementů rozpadů a silných fází tak dostaneme celkové amplitudy, které se mohou lišit více než jen o fázi, jak naznačuje vztah (11.43).

11.3 Popis CP narušení v rozpadech

V předchozím oddíle jsme zjistili, že přímé narušení CP symetrie v rozpadech neutrálních kaonů souvisí s mísením koncových stavů s různým izospinem. Narušení CP symetrie lze ale také popsat na úrovni interakčního lagrangiánu elektroslabých interakcí.

Objev pátého kvarku (viz oddíl 9.2.1) naznačil také existenci šestého kvarku, aby byla zachována symetrie mezi leptony a kvarky. Současně nabídl i elegantní teoretické řešení popisu CP narušení na úrovni interakčního lagrangiánu. Cabibbova matice $2× 2$ (viz vztah (9.1)) se rozroste na matici $3 × 3$ . Ještě před objevem kvarku $c$ ukázali M. Kobayashi a T. Maskawa, že taková matice $3× 3$ má čtyři volné parametry – tři úhly a jednu komplexní fázi. Tato komplexní fáze zapříčiní obecně komplexní vazbové konstanty, což právě umožní CP narušení na úrovni standardního lagrangiánu elektroslabých interakcí (více informací nalezne čtenář např. v literatuře [32]). Zmíněná matice vystupuje v lagrangiánu popisujícím tzv. nabité proudy⁴

( V V V ) ( d ) --g- ¯ μ ( ud us ub ) ( ) + ℒCC = 2√2--(¯u,¯c,t)γ (1− γ5) Vcd Vcs Vcb s W μ + h.c. Vtd Vts Vtb b

(11.51)

a nazýváme ji CKM (Cabibbo-Kobayashi-Maskawa) maticí. Její jednotlivé prvky lze určit měřením různých slabých rozpadů. Poznamenejme, že lagrangián (11.51) vznikl přímým rozšířením na tři rodiny kvarků z původního lagrangiánu (9.1) platného pro dvě rodiny kvarků.

CKM matici zapisujeme obvykle pomocí zmíněných čtyřech volných parametrů. V tzv. Wolfensteinově parametrizaci [1] má CKM matice tvar:

( ) 1 − 12λ2 λ Aλ3 (ρ − iη) ( ) VCKM = ( − λ 1 − 12λ2 A λ2 ) + O λ4 Aλ3(1 − ρ− iη) − A λ2 1

(11.52)

Jednotlivé parametry mají následující střední hodnoty [1]:

1 2
λ = 0,2257, ρ = ¯ρ∕(1 − 21λ2) = 0,139
A = 0,814, η = ¯η∕(1 − 2λ ) = 0,358

Z výrazu (11.52) také vidíme, že $λ ≈ sin𝜃C$ , kde $𝜃C$ značí Cabibbův úhel (viz též oddíl 9.1.1).

CKM matice musí být unitární, tedy skalární součin dvou různých řádků či sloupců musí být roven nule. Z Wolfensteinovy parametrizace vyplývá, že součin 1. a 3. sloupce anebo 1. a 3. řádku obsahuje členy stejné velikosti ( $3 ∝ λ$ ), a proto se v této unitární podmínce

∗ ∗ ∗ VudVub + VcdV cb + VtdVtb = 0

(11.53)

nejvíce projeví komplexní fáze. Grafickým vyjádřením této podmínky je tzv. unitární trojúhelník, zobrazený na obr. 11.2. Jednotlivé úhly lze měřit v různých časově závislých rozpadech $B$ -mezonů. Tato měření testují unitaritu CKM matice. Pokud by nebyla unitární, mohlo by to naznačovat např. existenci čtvrté rodiny kvarků.

Obrázek 11.2:Unitární trojúhelník pro rozpady $B$ -mezonů. Úhly $α$ , $β$ , $γ$ lze měřit v různých rozpadech.

11.4 Neutrální mezony D, B

Jak již bylo řečeno, $0 K$ a $¯ 0 K$ -mezony představují unikátní systém pro zkoumání oscilací a jevů CP narušení. Efekty oscilací a CP narušení byly pozorovány rovněž pro neutrální $B$ -mezony a oscilace také pro $D$ -mezony. Předtím než vysvětlíme problematiku detailněji, shrňme hlavní odlišnosti:

$B0$ obsahuje antikvark $¯b$ (podobně jako $K0$ obsahuje $¯s$ ), zatímco $D0$ obsahuje kvark $c$ , nikoli antikvark $¯c$ .
Existuje jedna dvojice neutrálních $D$ -mezonů $0 D$ ( $c$ $¯u$ ), $0 ¯D$ a dvě dvojice neutrálních $B$ -mezonů $B0$ ( $¯bd$ ), $B¯0$ a $B0s$ ( $¯bs$ ), $¯B0s$ , viz též kapitolka 9.4.
Neutrální $D$ a $B$ -mezony mají velmi malou dobu života ( $cτ$ jsou desetiny milimetru).
Zmíněné mezony a jejich antičástice mají jen malou část rozpadových kanálů společných a vlastní stavy proto mají prakticky stejné doby života. Z tohoto důvodu je zvykem odlišovat je podle hmoty jako $0 D H$ (High) a $0 DL$ (Low), nikoli podle doby života.

11.4.1 Oscilace

Podobně jako v případě $K$ -mezonů znamená oscilace proces $0 ¯ 0 K ↔ K$ se změnou podivnosti $|ΔS | = 2$ , jde v případě $D$ a $B$ -mezonů o přechody se změnou půvabu $C$ , resp. krásy $B$ o dvě jednotky.

Porovnejme nejprve parametry oscilací mezi $K$ , $D$ a $B$ -mezony. Nediagonální elementy v hamiltoniánu lze popsat Feynmanovými diagramy s výměnou dvou intermediálních bosonů $W$ , viz obr. 11.3. Tyto maticové elementy lze vyjádřit [57]

( ∑ )2 ( ∑ )2 ⟨¯K0 |Hw |K0⟩ ∝ V ¯s→ ¯αV ¯m α = VαsV ∗m α , α=u,c,t ¯α→ d α=u,c,t αd

(11.54)

kde $VUD, U = u,c,t, D = d,s,b$ jsou elementy CKM matice a $m α$ jsou hmoty kvarků ve vnitřních liniích Feynmanových diagramů. Všimněme si, že kdyby hmoty všech kvarků byly stejné, byly by oba skalární součiny ve vztahu (11.54) nulové. K oscilacím tedy dochází, protože jsou hmoty kvarků různé.

Ve výrazu (11.54) přispívá prakticky jen jeden člen, platí tedy

0 0 ∗ 2 ⟨¯K |Hw |K ⟩ ∝ (VcsVcdmc)

(11.55a)

Přestože je hmota top-kvarku (šestý kvark, viz kapitolka 13.1) více než $100×$ větší než hmota $c$ kvarku, dominuje člen s hmotou $mc$ kvůli velmi malým hodnotám elementů CKM matice $Vts$ a $Vtd$ . Stejným postupem lze pro oscilace $D$ a $B$ -mezonů ukázat, že platí:

Aby byl jev oscilací pozorovatelný, musí být pro krátce žijící $D$ a $B$ -mezony mnohem kratší délka oscilací, tj. větší rozdíl hmot vlastních stavů, a tedy větší hodnota výše uvedených maticových elementů. Porovnáme-li velikosti maticových elementů, dostaneme:

0 0 0 0 0 0 0 0 |⟨D¯ |Hw |D ⟩| < |⟨K¯ |Hw |K ⟩| < |⟨¯B |Hw |B ⟩| < |⟨¯Bs|Hw |B s⟩|

(11.56)

Změřené hodnoty rozdílů hmot $ΔM ≡ M − M H L$ a odpovídající délky oscilací jsou uvedeny v tabulce 11.1. Vidíme, že nejobtížnější je pozorovat oscilace $0 D$ -mezonů, protože oscilační délka je $634×$ větší než doba života. Naopak nejvíce oscilací „stihnou“ mezony $B0s$ , které mají oscilační délku $4×$ menší než dobu života.

|--------|-----------|----------|-----------|
|Č-ásti0ce-|ΔM---[μeV-]-|Losc [mm-]|-cτ-[mm-]--|
| K | 3,48 | 350 |26,8; 15340|
| D0 | 15,6 | 78 | 0,123 |
| B0 | 334 | 3,65 | 0,459 |
| B0s | 11700 | 0,104 | 0,441 |
--------------------------------------------- — Tabulka 11.1:Charakteristické parametry oscilací neutrálních mezonů $K0, D0, B0 a B0s.$

Tabulka 11.1:Charakteristické parametry oscilací neutrálních mezonů $K0, D0, B0 a B0s.$

V experimentu pak měříme časově závislé pravděpodobnosti oscilace $B0 ↔ B¯0$ . Vlastní stavy slabé interakce $|B0H⟩,|B0L⟩$ mají prakticky stejné doby života, podle vztahů (11.22a), (11.22b) proto dostaneme pro časově závislé pravděpodobnosti oscilací jednodušší výrazy:

Z naměřené časové závislosti pak určíme parametr $ΔM$ . K identifikaci vůně (tzv. „flavour tagging“) lze využít několika metod:

Semileptonové rozpady:: podle výběrového pravidla (9.12b) probíhají rozpady $B0 → ℓ+ + X$ a $¯B0 → ℓ− + X$ . Vůni $B$ -mezonu tak identifikujeme podle náboje leptonu. Měření je komplikováno existencí postupných rozpadů typu $B0 → ¯D0 ∕D− + X → ℓ− + Y$ , kde vzniká lepton s opačným nábojem.⁵
Náboj jetu:: tato metoda spoléhá na korelaci mezi nábojem původního kvarku ( $b$ či $¯ b$ ) a nábojem nejenergičtějších částic v příslušném jetu. Náboj jetu se určuje jako průměr nábojů rekonstruovaných drah v jetu, vážený jejich změřenými hybnostmi.
Předo-zadní asymetrie:: kvarky vznikající v interakcích $e− + e+$ vykazují nesymetrické úhlové rozdělení, jak uvidíme později v oddíle 12.2.1. Měříme-li v experimentu např. $B$ -mezony, které vznikly hadronizací těchto kvarků, lze výběrem jejich úhlů výletu ( $𝜃 ≈ 0$ či $𝜃 ≈ π$ vůči ose svazků) ovlivnit zastoupení $B0$ / $¯B0$ v našem vzorku dat.

Abychom mohli měřit časovou závislost pravděpodobnosti oscilace, musíme určit vůni $B0$ -mezonu v okamžiku vzniku ( $t = 0$ ) a v čase jeho rozpadu. V čase rozpadu identifikujeme vůni podle semileptonového rozpadu. Vůni v okamžiku vzniku obvykle identifikujeme podle druhého $0 B$ -mezonu, neboť v silných interakcích vznikají tyto mezony v párech $B0$ – $¯B0$ . V tomto případě se využívá náboj jetu, případně semileptonový rozpad.⁶ Více informací nalezne čtenář např. v literatuře [58].

Chceme-li měřit oscilace $B0 s$ , musíme odlišit rozpady $B0$ a $B0 s$ . V experimentu CDF použili za tímto účelem rozpadový kanál

0 − + 0 + Bs → D s + ℓ + X → ϕ + ℓ + Y,

(11.58)

přičemž mezon $ϕ0$ byl identifikován podle následného rozpadu $ϕ0 → K+ + K −$ [59].

11.4.2 CP narušení

U těžkých neutrálních mezonů pozorujeme dva typy CP narušení:

nepřímé narušení CP symetrie díky mísení stavů s různou hodnotou kombinované parity ve vlastních stavech High a Low. Tento efekt, $|q∕p| ⁄= 1$ , je podobný jako u $K$ -mezonů a měří se v semileptonových rozpadech.
narušení CP v rozpadech párů mezon–antimezon do stejného koncového stavu. Efekt nastává, pokud je $|λf| ⁄= 1$ nebo $Im(λf) ⁄= 0$ , viz relace (11.38).

V následujících oddílech budeme používat obecný formalismus pro všechny tři vůně mezonů. Definujme $M ≡ K, D,B$ :

Rozpady do společného koncového stavu

Podívejme se na časovou závislost pravděpodobnosti rozpadu do společného koncového stavu $|f⟩$ , který je vlastním stavem kombinované parity CP. Označme $A$ , $¯ A$ amplitudy rozpadu mezonů $0 M$ , resp. $¯0 M$ do tohoto stavu, tj. $0 A ≡ ⟨f|M ⟩$ , $¯ ¯0 A ≡ ⟨f |M ⟩$ .

Časově závislé pravděpodobnosti $P$ rozpadů $M0 → f$ a $M¯0 → f$ jsou pak dány kvadráty příslušných amplitud.

Pro $D$ a $B$ -mezony je $Γ H ≃ Γ L$ a vztahy se dále zjednoduší, viz příklad 11.12. V experimentu se měří časově závislá asymetrie

P¯0 (t)− P 0 (t) Af(t) ≡ -M-→f-------M--→f---- P¯M0→f (t)+ PM0 →f (t)

(11.61)

V oddíle 11.4.1 jsme viděli, že v přechodech $B0 ↔ ¯B0$ dominuje příspěvek z jednoho Feynmanova diagramu, viz relace (11.55c). Standardní model pak předpovídá

Díky tomu je $|p∕q| ≃ 1$ , $|λf| ≃ 1$ a výraz pro asymetrii má zvláště jednoduchý tvar:

(ΔM ) Af (t) = − sin(2β )sin --ℏ- t

(11.63)

K měření asymetrie $Af$ u $0 B$ -mezonů se využívá rozpad $0 ¯ 0 0 B ∕B → J∕ψ + KS$ . V detektoru rekonstruujeme zmíněný rozpad u jednoho $0 B$ -mezonu, druhý použijeme k určení vůně v době vzniku. Tímto způsobem můžeme určit velikost úhlu $β$ z unitárního trojúhelníku.

Semileptonové rozpady

O semileptonových rozpadech $K$ -mezonů jsme se zmínili v kapitole 11.2, nyní se soustřeďme na $B$ -mezony. Jak jsme viděli v oddíle 11.4.1, tyto mezony vznikají v párech $B0 − ¯B0$ , a proto bychom v koncovém stavu očekávali dva nabité leptony se vzájemně opačným nábojem. Díky oscilacím však můžeme v koncovém stavu pozorovat i leptony se stejným, tzv. „špatným“, nábojem, viz příklad 11.13.

Nepřímé CP narušení implikuje asymetrii v počtu semileptonových rozpadů párů $B$ -mezonů se stejným nábojem:

N(ℓ+ℓ+ )− N (ℓ− ℓ− ) ASL(B ) ≡ ---+-+--------−-−-- N(ℓ ℓ )+ N (ℓ ℓ )

(11.64)

Snadno nahlédneme, že pro počty pozorovaných rozpadů platí

kde jednotlivé pravděpodobnosti přechodů jsou zcela analogické se vztahy (11.35a)–(11.35c). Použitím těchto vztahů dostaneme pro výše uvedenou asymetrii jednoduchý výraz

|p|4-−-|q|4 ASL (B) = |p|4 + |q|4,

(11.66)

viz příklad 11.14.

11.5 Oscilace párů kvantově provázaných mezonů

Doposud jsme se zabývali oscilacemi buď jednotlivých neutrálních mezonů, případně párů mezon–antimezon vzniklých například ve srážkách elektronů s pozitrony. Podívejme se nyní na oscilace párů neutrálních mezonů, které jsou produkty rozpadu těžké plně neutrální částice. Taková částice má ostré hodnoty určitých kvantových čísel, což musí splňovat i pár dceřiných mezonů. Takové páry proto označujeme jako kvantově provázané a stejně tak jejich oscilace (v anglické literatuře se používá termín „entangled oscillations“).

11.5.1 Kvantově provázané neutrální kaony a B-mezony

Dvojice kvantově provázaných $K$ -mezonů může vznikat například v rozpadu plně neutrálního mezonu $0 ϕ$

0 0 ¯ 0 ϕ → K + K

(11.67)

Zvolme svislou osu rozpadu a označme $|K0⟩U$ ( $|K0⟩D$ ) $K0$ -mezon pohybující se po rozpadu $ϕ0$ nahoru (dolů) a obdobně pro $¯K0$ . Mezon $ϕ0$ má lichou paritu i C-paritu (viz oddíl 8.2.2), vlnová funkce koncového stavu tedy musí mít tvar

ψ (K0, ¯K0 ) = √1-(|K¯0 ⟩U|K0⟩D − |K0⟩U|¯K0⟩D ) 2

(11.68)

anebo

0 0 1 ( 0 U 0 D 0 U 0 D) ψ(K+1, K−1) = √---|K +1⟩ |K−1⟩ − |K− 1⟩ |K +1⟩ 2

(11.69)

S použitím vztahů (11.32a), (11.32b) dostaneme

0 0 --1---( 0 U 0 D 0 U 0 D ) ψ (KS,K L) = 2√2pq |KS⟩ |K L⟩ − |K L⟩ |KS⟩

(11.70)

Tento zápis využijeme ke zkoumání časového vývoje. Označíme-li $τ ,τ U D$ vlastní časy odpovídající $K$ -mezonům emitovaným do horní, resp. dolní hemisféry, dostáváme po jednoduché úpravě:

−i(S+2L)(τU+τD)( (L−S) ψ (τU,τD) = e----√-------- e+i--2--(τU−τD)|K0S⟩U |K0L⟩D− 2 2pq −i(L−2S)(τU−τD) 0 U 0 D ) − e |K L⟩ |KS⟩

(11.71)

Pro zjednodušení zápisu jsme označili

Poslední výraz přepíšeme pomocí $K0$ a $¯K0$ . S využitím vztahů (11.32a) a (11.32b) dostáváme:

− i(S+L)(τ + τ ) ψ (τ ,τ ) = e---2√--U--D--× U D 2 [ ( ) × cos (L-−-S) (τU − τD ) (|¯K0⟩U|K0 ⟩D − |K0⟩U |K¯0 ⟩D)+ 2 ( ) ( ) ] + isin (L-−-S-)(τU − τD) p-|K0 ⟩U|K0⟩D − q|¯K0 ⟩U |K¯0 ⟩D 2 q p

(11.73)

Uvědomme si, že argumenty kosinu a sinu jsou komplexní čísla, příslušné hodnoty tedy vypočítáme pomocí identit

Označíme-li amplitudy rozpadů $0 K$ ( $¯0 K$ ) do stavu $X$ jako $0 AX ≡ ⟨X|K ⟩$ ( $¯ ¯0 AX ≡ ⟨X |K ⟩$ ), snadno přepíšeme vztah (11.73) na tvar

Z výrazu vidíme, že pro $U = D$ je amplituda rovna nule, pokud je $τU = τD$ . Dojde-li proto k rozpadu ve stejném okamžiku v obou hemisférách, musí být koncové stavy různé. Identifikujeme-li tedy stav mezonu mířícího do horní hemisféry v čase $τU$ (např. pomocí jeho rozpadu v tomto okamžiku), je druhý mezon ve stejném čase ve stavu opačném.

Jako příklad uveďme semileptonové rozpady, ve kterých dokážeme rozlišit mezi $0 K$ a $K¯0$ . Nejprve vypočteme amplitudu rozpadu s kladně nabitým leptonem v obou hemisférách ( $|U ⟩ = |D ⟩ = |π− ℓ+νℓ⟩$ ). V tomto případě je $A ≡ AU = AD$ a podle výběrového pravidla (6.23) platí $¯AU = A¯D = 0$ . Pro amplitudu tak dostaneme:

e− i(S+2L)(τU+τD) ( (L − S ) ) p ⟨π − ℓ+νℓ|⟨π − ℓ+νℓ|ψ(τU,τD )⟩ =----√------- isin -------(τU − τD) -A2 2 2 q

(11.76a)

Stejným způsobem určíme amplitudy pro ostatní kombinace semileptonových rozpadů $K0 S$ , $0 K L$ :

Na rozdíl od případu stejně nabitých leptonů dostaneme v případě různě nabitých leptonů v koncovém stavu v časech $τU = τD$ lokální maxima v pravděpodobnosti.

Nyní se podívejme na rozpady do koncových stavů s definovanou hodnotou kombinované CP-parity. Pomocí vlastních stavů CP lze vlnovou funkci vyjádřit:

[ ( ) ψ (τU,τD ) = cos (L-−-S-)(τU − τD) (|K0+1⟩U|K0−1⟩D − |K0−1⟩U|K0+1⟩D )+ 2 ( (L − S ) ) 1( p q) + isin -------(τU − τD) -- --+ -- ⋅ ( 2 2 q p ) ⋅ |K0+1⟩U|K0−1⟩D + |K0−1⟩U|K0+1 ⟩D + ( (L − S ) ) 1( p q) + isin -------(τU − τD) -- --− -- ⋅ 2 2 q p ] ( ) e−i(S+2L)(τU+τD) ⋅ |K0+1⟩U|K0+1⟩D + |K0−1⟩U|K0− 1⟩D ------√------- 2

(11.77)

Jako příklad uvažme $+ − |U ⟩ = |D ⟩ = |π π ⟩$ a označme $+ − 0 A ≡ ⟨π π |K+1 ⟩$ . Nerealizuje-li se v přírodě přímé narušení CP-symetrie, je

+ − 0 a ≡ ⟨π π |K −1⟩ = 0

(11.78)

a amplituda vychází

e− i(S+2L)(τU+τD) ((L − S ) ) 1( p q) ⟨π+ π− |⟨π+π − |ψ(τU,τD )⟩ =----√------- isin ------- (τU − τD) -- --− -- A2 2 2 2 q p

(11.79)

Pokud by kromě nepřímého narušení existovalo i přímé narušení CP-symetrie, pak amplituda $a$ (viz definice (11.78)) je obecně nenulová a pro naši amplitudu dostaneme složitější vztah

−i(S+L)(τU+τD) ( ) ⟨π+ π− |⟨π+π − |ψ(τU,τD )⟩ = e--2√-------i sin (L-−-S) (τU − τD ) × [( 2 ) ( 2 ) ] p q 1 p q ( 2 2) × q-+ p- Aa + 2- q-− p- A + a

(11.80)

V sektoru $B$ -mezonů můžeme oscilace kvantově provázaných párů pozorovat např. při měření produktů rozpadu rezonance $ϒ (4S )$

ϒ (4S ) → B0 + ¯B0

(11.81)

Stejně jako u $K$ -mezonů označme $U$ ( $D$ ) mezony mířící do horní (dolní) hemisféry. Vlnová funkce dvojice $B$ -mezonů je formálně stejná jako ve vztahu (11.70)

0 0 1 ( 0 U 0 D 0 U 0 D ) ψ (BL,B H) = -√---- |BL⟩ |B H⟩ − |B H⟩ |BL⟩ 2 2pq

(11.82)

Amplitudy semileptonových rozpadů obou $B$ -mezonů pro různé kombinace nábojů leptonů v koncovém stavu pak odvodíme stejným způsobem jako v případě kaonů.

V experimentech se pak měří časově závislá pravděpodobnost $PB0 →f(t)$ , viz příklad 11.12. Vzniká-li v experimentu dvojice $B$ -mezonů, použijeme jeden z nich k určení vůně pomocí jeho semileptonového rozpadu, u druhého pak měříme časový průběh pravděpodobnosti rozpadu do koncového stavu $|f⟩$ .

Oproti oscilacím neprovázaných párů je zde výhodou skutečnost, že identifikujeme-li vůni jednoho mezonu v čase jeho rozpadu $τU$ , je druhý mezon v témže čase ve stavu s opačnou vůní. Místo měření nezávislých časových oscilací $P 0 (τ ) B →f U$ , $PB0 →f(τD)$ jednotlivých $B$ -mezonů tak v případě oscilací kvantově provázaných stavů měříme oscilaci jednoho $B$ -mezonu jako funkci rozdílů vlastních časů $τU − τD$ , přičemž vůni v čase $τD$ určíme pomocí druhého $B$ -mezonu.

Příklady

Příklad 11.1. Ukažte, že v případě zachování CP mají stavy $0 K L$ , $0 K S$ ostře definovanou hodnotu kombinované parity.

Příklad 11.2. Ukažte, že v případě zachování CP-parity jsou parciální rozpadové šířky $K0$ a $¯K0$ do daného stavu stejné.

Příklad 11.3. Určete parametry $Γ$ , $γ$ rozpadové matice ve vztahu (11.18), znáte-li střední doby života mezonů $0 K S$ a $0 KL$ .

Příklad 11.4. Ukažte, že pro piony pocházející z rozpadu neutrálních $K$ -mezonů platí $CP (2π) = +1$ , $CP (3π) ≈ − 1$ .

Příklad 11.5. Za předpokladu zachování CP (a CPT) symetrie u $K$ -mezonů určete vzájemné vztahy mezi diagonálním ( $Γ$ ) a nediagonálním prvkem ( $γ$ ) rozpadové matice v rozpadu na dva, resp. tři piony.

Příklad 11.6. Ukažte, že v případě zachování kombinované parity CP platí pro pravděpodobnosti přechodu $PK0→ ¯K0(t) = P ¯K0→K0(t)$ , zatímco rovnost $PK0 →K0(t) = P¯K0→ ¯K0(t)$ je důsledkem CPT symetrie.

Příklad 11.7. Odvoďte vztah pro rozdíl hmot mezonů $K0S$ a $K0L$ , znáte-li naměřenou periodu oscilací nábojové asymetrie leptonů $𝒜 ℓ$ , viz tabulka 11.1.

Příklad 11.8. Předpokládejte, že se v oscilacích $K$ -mezonů zachovává kombinovaná parita CP. Mějme čistý svazek $0 K$ o celkové hybnosti $2mK0$ .

Určete, v jaké nejmenší vzdálenosti $l 0$ bude stejná intenzita $K0$ a $¯K0$ , probíhá-li svazek vakuem.
Ve vzdálenosti $2l0∕3$ měříme rozpady typu
$K → π + e+ νe$ (11.83)

Určete poměr počtu naměřených elektronů a pozitronů $N (e− )∕N (e+)$ .

Příklad 11.9. Určete poměr amplitud $|ℳ fi|$ rozpadů

Při výpočtu použijte větvicí poměry a střední doby života uvedené v tabulkách [1] a předpokládejte zachování kombinované parity CP.

Příklad 11.10. Vyjádřete nábojovou asymetrii $δ$

0 − + 0 + − δ ≡ Γ-(K-L-→-π--μ--νμ)−-Γ (K-L-→-π-μ-ν¯μ-) Γ (K0L → π − μ+ νμ)+ Γ (K0L → π+ μ−ν¯μ )

(11.85)

v semileptonových rozpadech $0 KL$ jako funkci komplexního parametru $𝜖$ v prvním řádu Taylorova rozvoje. Předpokládejte pouze nepřímé narušení CP symetrie.

Příklad 11.11. Za předpokladu zachování CPT symetrie odvoďte vztahy pro poměry amplitud rozpadů (11.48a), (11.48b).

Příklad 11.12. Odvoďte obecné vztahy pro časově závislé pravděpodobnosti rozpadů $0 M → f$ a $¯0 M → f$ .

Příklad 11.13. Ukažte, že poměr semileptonových rozpadů dvojice mezonů $B0B¯0$ se „špatným“ znaménkem a „dobrým“ znaménkem splňuje relaci

+ + − − 2( 2) N-(ℓ-ℓ-)-+-N-(ℓ--ℓ-)= -x--2+--x--, N (ℓ+ℓ− ) + N (ℓ− ℓ+ ) x4 + 2x2 + 2

(11.86)

kde $x ≡ ΔM ∕Γ$ . Výsledek srovnejte s řešením příkladu 11.16.

Příklad 11.14. Pomocí definice (11.64) a vztahů (11.65a), (11.65b) odvoďte výraz pro nábojovou asymetrii v semileptonových rozpadech $B$ -mezonů (11.66).

Příklad 11.15. Ukažte, že vlnová funkce dvou kaonů (11.68) má lichou paritu i C-paritu.

Příklad 11.16. Ukažte, že počty semileptonových rozpadů dvojice mezonů $0¯0 B B$ vzniklých rozpadem rezonance $ϒ(4S)$ splňují relaci

N (ℓ+ℓ+)+ N(ℓ− ℓ− ) x2 ----+-−-------−-+--= -----2, N (ℓ ℓ )+ N(ℓ ℓ ) 2+ x

(11.87)

kde $x ≡ ΔM ∕Γ$ . Výsledek srovnejte s řešením příkladu 11.13.

Příklad 11.17. V experimentu Belle se sráží svazky elektronů a pozitronů s asymetrickými energiemi. Energie elektronů je $E1 = 8$ GeV, energie pozitronového svazku je volena tak, aby celková těžišťová energie právě odpovídala rezonanci $ϒ$ (4S). Určete:

Energii pozitronů $E2$ , je-li $m ϒ(4S) = 10,58$ GeV.
Rezonance $ϒ$ se rozpadá na pár neutrálních $B$ -mezonů. Nechť se jeden z $B$ -mezonů rozpadne ve vzdálenosti $l = 1 1$ mm od interakčního vrcholu, druhý ve vzdálenosti $l2 = 2$ mm. Jaké jsou pravděpodobnosti, že šlo o rozpady $0 B$ $0 B$ , $0 B$ $¯ 0 B$ , $¯0 B$ $¯ 0 B$ ? Rozdíl hmotností vlastních stavů slabé interakce činí $Δm = 338 μeV$ , celkové rozpadové šířky zmíněných stavů považujte za stejné. CP narušení neuvažujte, rovněž zanedbejte kinetické energie $B$ -mezonů v CMS soustavě $ϒ (4S)$ .

¹Poznamenejme, že místo $0 |K +1⟩$ a $0 |K−1⟩$ se v literatuře častěji používá značení $0 |K1⟩$ a $|K0⟩ 2$ .

²U těžších mezonů $D0$ a $B0$ tomu tak není. Tam jsou naopak doby života velmi podobné.

³Protože je silná interakce nábojově nezávislá, jsou tyto fáze stejné pro dvojici nabitých i neutrálních pionů.

⁴Interakce s výměnou nabitých intermediálních bosonů $+ W$ , $− W$ , viz kapitola 12.

⁵Na úrovni Feynmanových diagramů jde o postupný rozpad $¯b → ¯c+ W+$ , $¯c → ¯s+ W − → ℓ− + X$ .

⁶Pokud se i druhý mezon $0 B$ rozpadl semileptonově a zároveň se podařilo zrekonstruovat bod rozpadu; v takovém případě musíme však vzít do úvahy i pravděpodobnost oscilace tohoto druhého $B0$ -mezonu.

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]

Kapitola 11Systémy neutrálních mezonů K, D, B