Příloha A
Řešení příkladů

Příklad 1.1. V tabulkách [1] zjistíme rozpadovou šířku této částice

Γ (η0) = 1,30 keV.

Rozpadový zákon má tvar

               Γt
N (t) = N (0)e− ℏ-,

kde N(t) značí počet nerozpadlých částic v čase t a Γ je rozpadová šířka. Odsud pro střední dobu života τ vyplývá

τ (η0) = --ℏ-- = --ℏc-- = -----0,197-GeV-⋅fm----- =
        Γ (η0)   cΓ (η0)   3 ⋅108 m ⋅s−1 × 1,30 keV
             0,197⋅10 −15 GeV ⋅m
      = -----8-----−1----------−6-----=  0,0505 ⋅10−17 s = 5,05⋅10− 19 s.
        3 ⋅10 m  ⋅s  × 1,30⋅10   GeV

Při výpočtech často využíváme veličinu :

    0           −19         8    −1         −11
cτ(η ) = 5,05 ⋅10    s× 3⋅10  m ⋅s   ≈ 15 ⋅10   m  = 0,15 nm.

Zadání příkladu 1.1

Příklad 2.1. Použitím vztahů pro Lorentzovu transformaci (2.8a)–(2.8c) dostáváme

 ′   ′    ′  ′   ′   ′    ′ ′    ′  ′     ′  ′
P1 ⋅P 2 = E 1E2 − ⃗p1 ⋅⃗p2 = E 1E2 − p1,∥p2,∥ − p 1,⊥p2,⊥ =
      = γ2 (E  + βp  ) (E  + βp  ) − γ2(p   + βE  )(p  +  βE ) − p  p    =
           ( 1    )1(,∥    2     2,∥ )      1,∥      1   2,∥     2     1,⊥ 2,⊥
      = γ2  1− β2   E1E2 − p1,∥p2,∥ − p1,⊥p2,⊥ = P1 ⋅P2

Zadání příkladu 2.1

Příklad 2.2. V těžišťové soustavě platí p1 = p2 a p3 = p4. Při zanedbání hmot částic dále platí Ei = pi, ze zákona zachování energie p1 + p2 = p3 + p4 pak vyplývá

p = p  = p  = p .
 1   2    3    4
(A.1)

Nyní vypočítáme jednotlivé Mandelstamovy invarianty:

pict

přičemž úhel 𝜃 je podle zadání úhel mezi vektory p1 a p3. Důkaz je tedy hotov.

Zadání příkladu 2.2

Příklad 2.3. Odražený proton bude mít maximální energii, poletí-li ve směru nalétávajícího neutronu. Zákony zachování energie a hybnosti zde mají podobu:

pict

Úpravou dostaneme rovnici pro hybnost odraženého protonu

  2(               )
p′p  p2n − (En +  mp)2  + 2p′ppnmp (En + mp ) = 0

První řešení pp = 0 odpovídá situaci, kdy ke srážce částic vůbec nedojde a proton tak zůstane v klidu. Druhé řešení

                  ∘ --2----2
p′p = 2mp-(En-+-mp-)--E-n −-m-n
        m2p + m2n + 2Enmp
(A.4)

odpovídá hledané maximální energii a hybnosti protonu.

Uvedený vztah je odvozen pro relativistické případy. V nerelativistické limitě (pn mn) přejde vztah (A.4) na jednoduchý tvar

 ′     --2mp----
pp = pnmn  + mp
(A.5)

Pokud by mp = mn, jednalo by se o analogii čelní srážky kulečníkových koulí, kdy se nalétávající koule zcela zastaví a předá celou svoji hybnost kouli druhé.

Zadání příkladu 2.3

Příklad 2.4. Na tříčásticový rozpad můžeme nahlížet jako na dva po sobě jdoucí dvoučásticové rozpady

n →  e− + (p ¯ν) ,  (p ¯ν) → p + ¯ν ,
             e       e        e
(A.6)

kde pro energii elektronu platí podle vztahu (2.10a)

     mn    m2 − m2 (p¯νe)
Ee = --- + --e----------
      2         2mn
(A.7)

Elektron bude mít maximální energii v případě, že invariantní hmota dvojice (pνe) bude co nejmenší. Platí

  min
m   (pν¯e) = mp + m ν
(A.8)

S použitím posledních dvou vztahů tak dostaneme řešení

      m2 − (m  + m  )2 + m2
Ee =  --n-----p----ν------e-
               2mn
(A.9)

Pro běžné účely můžeme hmotu antineutrina obvykle zanedbat, čímž se výsledek (A.9) ještě zjednoduší. Na druhou stranu se přesné určení maximální energie elektronu používá právě k určení hmoty elektronového antineutrina, resp. horní hranice jeho hmoty, viz kapitolka 10.1.

Zadání příkladu 2.4

Příklad 2.5.

                    2           2           2
s + t+ u = (P1 + P2) + (P1 − P3) + (P1 − P4) =
         = P12+ P22+ 2P1 ⋅P2 + P21 + P23 − 2P1 ⋅P3 + P 21 + P24 − 2P1 ⋅P4 =
              2    2    2     2
         = 3m 1 + m 2 + m3 + m 4 + 2P1 ⋅(P2 − P3 − P4 ) =
         = 3m21 + m22 + m23 + m24 − 2P12=
         = m2 + m2 +  m2 + m2 ,
             1    2    3     4

kde jsme využili identitu

− P1 = P2 − P3 − P4

plynoucí ze zákona zachování čtyřhybnosti. Jsou-li energie částic mnohem vyšší než jejich hmoty, platí přibližně

s+ t + u ≃ 0.

Zadání příkladu 2.5

Příklad 2.6. S výhodou využijeme invariance Mandelstamovy proměnné s. Kvadrát celkové energie vyjádříme v počátečním stavu pomocí proměnných laboratorního systému, v koncovém stavu pak pomocí těžišťového systému. V těžišťovém systému jsou totiž při prahové energii reakce všechny částice v klidu. Dostáváme tedy:

(         ∘ ---------------)2
 T + 2mp,   (T + mp )2 − m2p  =  (2mp  + m π0,0 )2
(A.10)

Úpravou dostáváme

pict

Vzhledem k tomu, že mπ0 << mp, je v prvním přiblížení T 2mπ0.

Na tomto příkladě si uvědomme, že část kinetické energie nalétávajícího protonu se spotřebuje na kinetickou energii pohybu těžiště soustavy koncového stavu, proto musí být T > mπ0.

Zadání příkladu 2.6

Příklad 2.7. Ukažme nejprve, že pro libovolné čtyřhybnosti P1, P2 platí

(P1 + P2)2 ≥ (m1 + m2 )2
(A.11)

Levá strana představuje Mandelstamův invariant s. Pravá strana odpovídá s v situaci, kdy jsou v této soustavě částice 1,2 v klidu, což odpovídá minimální celkové těžišťové energii. Tím je vlastně nerovnost (A.11) dokázána. Podotkněme, že platí obecně i pro více částic.

Nerovnost (A.11) lze dokázat i algebraicky. Po roznásobení a odečtení stejných členů zbývá ukázat platnost vztahu

E  E  − p p ≥ m  m
  1 2    1 2    1  2

Vyjádříme-li hybnosti pomocí relativistických vztahů (viz rovnice (1.1)), dostaneme po umocnění relaci

(E m  − E  m  )2 ≥ 0,
  1  2    2  1

která je splněna vždy.

Relaci (A.11) nyní použijeme k nalezení maximální energie elektronu:

pict

Rovnost odpovídá maximální energii elektronu. Samozřejmě jsme dostali stejný výsledek jako v příkladu 2.4, viz relace (A.9).

Zadání příkladu 2.7

Příklad 2.8. Pro výpočet pcms využijeme opět Mandelstamovy proměnné s vyjádřené v laboratorním (počáteční stav) a těžišťovém systému (koncový stav):

(         ∘ --------)2   (∘  ---------- ∘ ----------  )2
 En +  mp,  E2n − m2n  =     p2cms + m2p +  p2cms + m2n,0
(A.13)

Podle definice (2.2) dostáváme tedy rovnici

             (        )   (∘ ----------  ∘ ---------)2
(En + mp )2 −  E2n − m2n =     p2cms + m2p +  p2cms + m2n
(A.14)

Řešením uvedené rovnice je

          ∘ ------------------
            -----E2n-−-m2n-----
pcms = mp   m2n + m2p + 2Enmp
(A.15)

Těžiště se však vůči laboratorní soustavě pohybuje rychlostí

     ∑       ∘ -2-----2
β =  |∑--⃗p|=  --En-−-m-n,
        E     En + mp
(A.16a)

odkud určíme i Lorentzův faktor

    ∘ -------
        1            En + mp
γ =   1−-β2-=  ∘-------------------
                 m2n + m2p + 2Enmp
(A.16b)

Rozptýlený proton bude mít maximální hybnost pp tehdy, pokud se pcms složí v přímce spolu s rychlostí β těžiště. Podle vztahu (2.6) tedy

                                          ∘ --------
 ′            ∘  -2------2-  2mp-(En-+--mp)--E2n −-m2n
pp = γpcms + γβ  pcms + m p =    m2 + m2  + 2Enmp
                                  p    n

Výsledný vztah je samozřejmě stejný jako řešení příkladu 2.3.

Poznámka: relativistický faktor γ (viz vztah (A.16b)) jsme určili z definice (2.7). Jak je vidět, pro soustavu více částic je obdobou vztahu γ = E∕m pro jednu částici obecnější relace

    ∘ -------  ┌  ------------         ∑              ∑
       --1---  ││  -----1------  ----------Ei-------   ---Ei
γ =    1− β2 = ∘     ( ∑ ⃗pi)2 = ∘ -∑-----2---∑----2 =  √s- ,
                  1−   ∑-Ei       (   Ei) − (   ⃗pi)
(A.17)

kde   -
√ s hraje roli invariantní hmoty soustavy více částic. Pro jednu částici se tento vztah redukuje díky s = P2 = m2 na již zmíněnou známou relaci.

Zadání příkladu 2.8

Příklad 2.9. Fotony z rozpadu π0 svírají minimální úhel v případě, že v těžišťovém systému vyletí kolmo ke směru pohybu π0, viz obr. A.1. Pro složky hybnosti fotonů v laboratorní soustavě platí podle vztahů pro Lorentzovu transformaci (2.8a)–(2.8c)

pict

Pro úhel 𝜃min zřejmě platí

                          ∘ --------
  𝜃min   p-γ,⊥   -1-   m-π0      m2π0
tg  2  =  p   = γ β = E  0  1 − E2
           γ,∥           π         π0
(A.19)

Po dosazení dostaneme výsledek 𝜃min = 1,55.

Foton, který vyletí v CMS pod úhlem 180, poletí i v laboratorním systému pod tímto úhlem, neboť:

 ′        ∗       ∗    m-π0
pγ = γ(− pγ)+ γβE γ = γ  2  (− 1 + β) < 0
(A.20)

Maximální úhel je tak 𝜃max = 180.

PICT

Obrázek A.1:Schema rozpadu π0 γ+γ v těžišťové (CMS) a laboratorní soustavě (LAB).

Zadání příkladu 2.9

Příklad 2.10. Rozdělme vektor hybnosti p na část rovnoběžnou se směrem Lorentzovy transformace β a na část kolmou:

⃗p = ⃗p∥ + ⃗p⊥,

kde βp a β p = 0. Podle vztahu (2.6) dostáváme

       (       )
⃗p ′ = γ ⃗p∥ + E ⃗β + ⃗p⊥ = (γ − 1)⃗p∥ + γE ⃗β + ⃗p =
                                 (                      )
     γ − 1 (    )                         γ − 1   (    )
   = --β2-  ⃗p⋅ ⃗β β⃗+ γE ⃗β + ⃗p = γ(E  +  -(-----1)- ⃗p ⋅ ⃗β ) β⃗+ ⃗p =
                                        γ 1 − γ2
       (     γ(γ − 1) (   ))          (       γ   (    ))
   = γ  E +  --2----- ⃗p ⋅ ⃗β  ⃗β + ⃗p = γ  E + -----  ⃗p⋅β⃗   ⃗β + ⃗p
              γ − 1                         γ + 1

Výsledkem je tedy vztah shodný se vztahem (2.9).

Zadání příkladu 2.10

Příklad 2.11. Funkce δ(4) ve výrazu (2.14) je Lorentz-invariantní, zbývá tedy ukázat invarianci výrazu

 3
d-⃗p-= dpxdpydpz-
 E        E

Uvažujme Lorentzovu transformaci podél osy z:

pict

Tím je invariance dokázána. Rozměry fázového objemu plynou přímo z jeho definice (2.14)

        (       )
[   ]    (GeV )3  nf      −4         2nf− 4
Φnf  =   --GeV--    (GeV )   = (GeV )     ,

nejčastěji používané jsou

                       2
[Φ2] = 1,   [Φ3] = GeV  .

Musíme si uvědomit, že čtyřrozměrná δ-funkce má rozměr (GeV)4.

Zadání příkladu 2.11

Příklad 2.12. Označme M hmotu rozpadající se částice, m1,m2 pak hmoty produktů rozpadu. Fázový objem budeme počítat v klidovém systému rozpadající se částice:

                ∫    d3⃗p1     d3⃗p2
Φ2(M, m1, m2 ) =   ----3--------3---(2π)4δ(M  − E1 − E2)δ(3)(0− ⃗p1 − ⃗p2) =
   ∫               (2π) 2E1 (2 π)2E2∘ --------  ∘ --------
     ---d3⃗p1------1----    4          2    2      2    2
 =   (2π )32E1 (2π)32E2 (2π) δ(M  −   ⃗p1 + m 1 −  ⃗p1 + m 2) =
        ∫1      ∫2π  ∞∫
   --1--               -------p21dp1--------       ∘ -2----2-  ∘ -2----2-
 = (2π)2  d cos𝜃  dϕ   4∘p2-+--m2∘p2--+-m2-δ(M  −   p1 + m 1 −  p1 + m 2) =
        −1      0    0     1    1   1     2
    1         p2                 1             1 p1    1 pcms
 = ---∘--2----21∘--2----2-√--p1-----√--p1---=  ------= -------
   4π   p1 + m 1 p1 + m2   p21+m21 +   p21+m22    4π M    4π  M

Při odvození jsme použili zákon zachování energie

     ∘  -2----2- ∘ -2-----2
M  =    p1 + m 1 + p2 + m 2,

zákon zachování hybnosti (2.10b) a vztah

δ(f(x)) = --1′---δ(x)
          |f(x)|

Zadání příkladu 2.12

Příklad 2.13. Podle zmíněného vztahu (2.21) je

               ∫    d3⃗p3      (     ∘ ---------------   )
Φ3 (M, 0,0,0) =   (2π)32E--Φ2  P =  ( (M  − E3 )2 − ⃗p23,⃗0)  =
                         3
               ∫   2                 ∫4π   M∫ ∕2  2
             =    p3dp33dΩ---1-1-= -1-   dΩ     -E3dE33---=
                  (2π) 2E3 4π 2   8 π 0     0  (2π )2E3
                        2
             = (2π)−3 M---
                      32

Poznamenejme, že maximální energie jedné částice v tříčásticovém rozpadu na nehmotné částice je kvůli zákonu zachování hybnosti rovna M∕2, nikoli M.

Zadání příkladu 2.13

Příklad 2.14. Vztah (2.45) dává číselnou hodnotu

       (   )
    4π  -1- 2(0,197 GeV ⋅fm)2 .              1
σ = ----137------------------ = 8,66⋅10− 6------2- fm2
                3s                        s [GeV ]

V oddíle 2.4.2 jsme uvedli, že účinný průřez se udává v jednotkách barn. Použitím vztahu (2.25) dostáváme

σ =.8,7⋅10 −6 × 10− 2 b2--1--- =  -87-nb--
                      s [GeV2 ]   s [GeV2 ]

Zadání příkladu 2.14

Příklad 2.15. Vyjdeme z definice rapidity (2.33). S použitím Lorentzovy transformace (2.8a)–(2.8c) dostaneme

         (        )       (                       )
 ′   1-    E′ +-p-′z   1-    γE-+-γ-βpz +-γpz-+-γβE-
y =  2 ln   E′ − p ′ = 2 ln  γE + γ βpz − γpz − γβE   =
         (       z       )        (       )       (      )
  =  1-ln   (E-+-pz)(1-+-β)- =  1-ln   E-+-pz- + 1-ln  1-+-β  ,
     2     (E − pz)(1 − β)     2     E − pz    2     1 − β

což jsme měli dokázat.

Zadání příkladu 2.15

Příklad 2.16. V limitě vysokých energií je p m, a tedy E p. Platí tedy

                (        )       (            )       ( ∘ --------)
 lim y = 1- lim ln  E-+-pz-  = 1-ln  E-+-E-cos𝜃-  = − ln     1−--cos-𝜃  =
E→p     2 E →p    E − pz     2     E − E cos𝜃             1+  cos 𝜃
            (   𝜃)
      = − ln  tg--  = η
                2

Zadání příkladu 2.16

Příklad 2.17. V těžišťovém systému platí η1 = η2 a tedy η1 η2 = 2η. Z definice pseudorapidity (2.35) přímo vyplývá

e2η = 1+-cos-𝜃
      1− cos 𝜃
(A.22)

S použitím této relace provedeme důkaz již snadno přímým výpočtem:

dN      dN   (  de2η )− 1    dN   (1 − cos𝜃)2      dN       𝜃
--2η = ------  ------    = ------ -----------= 2 ------sin4--
de     dcos𝜃   dcos 𝜃      d cos𝜃     2          dcos𝜃     2

Zadání příkladu 2.17

Příklad 2.18. Pro odstředivou, resp. Lorentzovu sílu platí vztahy

pict

kde m je hmota částice, v její rychlost, R poloměr křivosti její dráhy a z elektrický náboj částice v jednotkách elementárního náboje e. E,B představují vektory elektrického pole, resp. magnetické indukce. Prochází-li částice pouze magnetickým polem, je E = 0. Je-li navíc v B, dostáváme z rovnosti zmíněných sil vztah

p = mv = |z|eBR,
(A.24)

kde p je hybnost částice v jednotkách SI. Poslední vztah lze přepsat ve tvaru

pc = |z|BRc.
 e

Na levé straně tak máme hybnost vyjádřenou v jednotkách eV. Dosadíme-li na pravé straně c 3 108m s1, dostane výsledný výraz (2.39).

Zadání příkladu 2.18

Příklad 3.1. Odražený elektron bude mít maximální energii Ee,max, poletí-li ve směru letu původní částice. Ze zákonů zachování energie a hybnosti vyplývá

pict

kde E,m označují energii a hmotnost nalétávající částice a E je energie této částice po interakci. Po eliminaci proměnné E a postupném dvojnásobném umocnění rovnice dostaneme

(Ee,max − me )2(E + me )2 = (E2 − m2 ) (E2  − m2 )
                                       e,max     e
(A.26)

Po částečném zkrácení a dosazení E = γm,E2 m2 = (γβm)2 dostaneme

                 2m  (γm  + m )2
Ee,max + me = ------e---2----e-----,
              (γm  + me)  − γ2β2m2
(A.27)

a tedy

                                     2 2  2
Tmax =  Ee,max − me = 2me -----------γ-β-m------------ =
                         γ2 (1− β2) m2 + 2γmme  + m2e
                2meγ2β2
     =  ----------------------2-,
        1+ 2γ (me ∕m )+ (me ∕m )

což jsme měli dokázat.

Zadání příkladu 3.1

Příklad 3.2. Nejprve zjednodušíme výraz (3.2) pro maximální možnou energii předanou mionem prostředí. Protože je hmota mionu mnohem větší než hmota elektronu

me-  .--1-
m μ = 210

a minimum ionizace je blízké βγ 3,5 (a tedy γ 3,6), můžeme poslední dva členy ve jmenovateli výrazu (3.2) zanedbat:

                     2 2
Tmax =  --------2meβ--γ---------≈  2me (β γ)2
        1+ 2γ (me∕m )+  (me ∕m )2
(A.28a)

Dále použijeme identitu

           2
β2 ≡ --(βγ)---
     1 + (βγ)2
(A.28b)

Dosazením výrazů (A.28a) a (A.28b) do Betheho-Blochovy formule (3.1) a zanedbáním vysokoenergetických korekcí (δ 0) se její tvar výrazně zjednoduší a navíc pak formálně závisí na jedné proměnné (βγ)2:

pict

Minimum ionizace pak najdeme z požadavku na extrém funkce

 (     )
∂ − ρdEdx
------2--= 0
∂ ((βγ ))

Dostáváme tak rovnici

  (            )
    2me (βγ)2              2
ln  --------min  =  1+ (βγ)min
         I
(A.30)

Numerická řešení (βγ)min a odpovídající hodnoty dE∕(ρdx) jsou shrnuty v tabulce A.1.

|-----------|---------|--------|----------------------−-1--2--|
|           |         |        |-(−-dE-∕(ρdx))min [MeVg---cm--]-|
|--Prvek----|I∕Z--[eV]-|(βγ-)min-|-vztah-(A.29)-|-vztah-(3.1)-[1]--|
|1H1 tekutý |   22    |   3,50  |     4,09    |       4,10      |
|   4He2    |   21    |   3,40  |     1,94    |       1,94      |
|   12C6    |   13    |   3,30  |     1,84    |       1,74      |
|  58Fe26   |   11    |   3,07  |     1,45    |       1,45      |
|  208Pb     |   10    |   2,87  |     1,13    |       1,12      |
--------82------------------------------------------------------
Tabulka A.1:Přibližné hodnoty minimálních ionizačních ztrát podle vztahu (A.29) spolu s numerickým řešením (βγ)min pro vybrané základní prvky. Tyto přibližné hodnoty velmi dobře odpovídají minimálním ionizačním ztrátám podle vztahu (3.1) [1], které jsou uvedeny v posledním sloupci. Hodnoty ionizačního potenciálu jsou převzaty z tabulek [1].

Zadání příkladu 3.2

Příklad 3.3. Elektron je mnohem lehčí než pion, proto při stejné hybnosti bude βπ βe 1. V principu stačí nastavit práh Čerenkovského detektoru βc

βπ < βc < βe,
(A.31)

kvůli účinnosti je však nejlepší současně maximalizovat intenzitu Čerenkovského záření elektronů. Ze vztahu (3.8) vyplývá, že maximální intenzity záření dosáhneme při největším úhlu emise Čerenkovského záření, tj. bude-li pion právě na prahu Čerenkovského záření. Dostáváme tak podmínku βc = βπ a prahový index lomu je tedy

          ∘ --------
n = -1-=  --p2 +-m2π-= 1,0000245.
    β π       p
(A.32)

Poznámka: nabité piony se rozpadají π μνμ, ve svazku pionů bude tedy určitá příměs mionů. Rychlost mionů rozpadajících se ve směru letu pionů je přibližně

          2
βμ ≈ 1− -mμ-,
        2p2π
(A.33)

platí tedy βμ > βπ. Takové miony budou při výše uvedeném nastavení produkovat Čerenkovské záření. Možným řešením je nastavení indexu lomu

      1       m2μ
n1 = β--≈ 1 + 2p2-= 1,0000140.
      μ         π
(A.34)

Zadání příkladu 3.3

Příklad 3.4. Nejprve odvoďme vztah (3.12):

pict

V nerelativistickém přiblížení lze kinetickou energii T jednoduše vyjádřit pomocí hybnosti p a hmoty m jako T = p2(2m), přičemž navíc platí E0 m. Dosazením do vztahu (A.35) dostaneme

           4
R  = -1---p--,
     Cm  4m2
(A.36)

odkud již přímo plyne vztah (3.12).

Ionizační ztráty v minimu ionizace pro železo jsou [1]

  (    )
−   dE--    =  1,45 MeV  g−1cm2
    ρdx  min

V nerelativistické aproximaci (A.36) dostáváme

pict

kde faktor βmin2 zajišťuje rovnost ionizačních ztrát v minimu ionizace mezi aproximací 2 a tabulkovou hodnotou. Pro dolet tak dostáváme

pict

Tento výsledek je téměř dvakrát menší než hodnota R∕m = 2,5g cm2GeV1 uvedená v tabulkách [1].

Zkusme nyní odhadnout dolet pomocí lepší aproximace ionizačních ztrát popsané vztahem (3.13). Dostáváme tak

pict

Tento odhad je již velmi blízko experimentální hodnotě. Poznamenejme ještě, že minimální ionizační ztráty lze odhadnout pomocí relace:

− -dE-≈  1÷ 2 MeV  g−1cm2
  ρdx
(A.39)

přičemž těžkým materiálům (např. Pb) odpovídá spodní hranice, zatímco u lehkých materiálů (např. Li) se hodnoty blíží horní hranici. Hustota materiálu je označena jako ρ.

Zadání příkladu 3.4

Příklad 3.5. Pro určení prahové energie s výhodou využijeme rovnost invariantu s v soustavách LAB a CMS. V případě interakce fotonu s jádrem γ + X X + e + e+ tak dostáváme

(E  + m   ,E )2 = (m   + 2m  ,0)2
   γ    X   γ       X      e
(A.40)

Řešením je

           2m2
Eγ = 2me + ---e ≈ 2me,
            mX
(A.41)

neboť mX me. V případě tvorby párů v interakci s elektronem zaměníme mX za me a prahová energie je tak

            2m2
E γ = 2me + ---e = 4me .
             me
(A.42)

Zadání příkladu 3.5

Příklad 3.6. Při prahové energii reakce jsou její produkty v klidu vůči CMS. Rychlost K+ bude tedy odpovídat rychlosti těžiště soustavy Λ0 + K+. Protože se hybnost zachovává, bude hybnost těžiště Λ0 + K+ stejná jako hybnost v počátečním stavu, což odpovídá hybnosti nalétávajícího pionu. Platí tedy

                 p                   ∘E2---−-m2--
β (K+ ) = ∘--------π---------= ∘----------π-----π-------,
           (m Λ + mK )2 + p2π     (m Λ + mK )2 + E2π − m2π
(A.43)

kde Eπ je energie pionu v počátečním stavu. Práh reakce (3.19) jsme určili v příkladu 5.4, připomeňme zde výsledek

                -1--[           2            2]
Tπ = Eπ − m π = 2mn  (m Λ + mK ) − (mn + m π)   .
(A.44)

Kombinací relací (A.43), (A.44) dostáváme výsledný výraz

        ┌  ------------------------------
        ││          4 (m   + m  )2m2
β(K+ ) = │∘ 1− (--------Λ-----K----n---)2 ≈ 0,483.
                (m Λ + mK )2 + m2n − m2π
(A.45)

Rychlost K+ lze určit také s využitím vztahu (A.17), viz příklad 2.8:

    0    +    E π + mn
γ (Λ  + K  ) = m---+-m--,
                Λ    K
(A.46)

a tedy

                      ∘ ----------2-------------2
    +       0    +    --(E-π +-mn-)-−-(m-Λ-+-mK-)-
β(K  ) = β(Λ  + K  ) =          Eπ + mn          .
(A.47)

Snadno se přesvědčíme, že vztahy (A.45) a (A.47) jsou identické, dosadíme-li za Eπ prahovou energii danou výrazem (A.44).

Má-li se π+ v pružném rozptylu (3.20a) odrazit pod úhlem 0, bude mít v koncovém stavu stejnou energii a hybnost jako v počátečním stavu. Rychlost π+ tedy je

         ∘ --2----2-
β (π+ ) = --Eπ-−-m-π-= 0,987,
             Eπ

kde Eπ splňuje relaci (A.44).

Energii protonu produkovaného pod úhlem 0 v reakci (3.20b) určíme ze zákonů zachování energie a hybnosti. Dostáváme soustavu rovnic

pict

Obecné řešení má velmi složitý tvar. V prvním přiblížení lze zanedbat rozdíl hmot protonu a neutronu (mp mn) a podobně u pionů (mπ+ mπ0), řešení soustavy rovnic má potom tvar

         (                        )
      mp  2E2π + 2E πmp + m2p − m2π
Ep  = -----------------2----2------=  1510 MeV.
            2Eπmp  + m p + m π

Rychlost protonu je tedy β(p) = 0,784.

Pro rychlosti kladně nabitých částic z reakcí (3.19), (3.20a) a (3.20b) platí

    +              +
β(K  ) < β(p) < β(π ).
(A.49)

Čerenkovské detektory musíme tedy nastavit tak, aby nejrychlejší částice (π+) produkovala signál v obou detektorech, proton pouze v jednom a K+ v žádném detektoru. V principu by stačilo nastavit β1 na libovolnou hodnotu z intervalu (β(K+)(p)). Maximální signál (tj. nejvíce Čerenkovských fotonů) – a tedy nejlepší rozlišení – dostaneme při co největším úhlu emise Čerenkovského záření, viz vztah (3.8). Optimální hodnoty nastavení prahových Čerenkovských detektorů jsou proto těsně nad prahem částice, která nemá v daném detektoru produkovat signál, v našem případě tedy

β1 = 0,5,   β2 = 0,8.

Zadání příkladu 3.6

Příklad 4.1. Nejprve ověříme Chadwickovy argumenty:

  1. Má-li mít odražený proton v reakci
    γ + p →  γ + p

    maximální rychlost βp,max = 0,1, musel by podle Chadwicka mít vstupní foton energii přibližně 50 MeV.

    Vzhledem k malé rychlosti βp,max lze výpočet provést klasicky. Zákony zachování energie a hybnosti mají tvar:

    pict

    Záporné znaménko v poslední rovnici odpovídá skutečnosti, že při maximální předané energii protonu se foton odrazí pod úhlem 180. Řešením této soustavy dostáváme

                    (           )
E γ = 1mp βp,max  1 + 1βp,max  ≈ 50 MeV.
      2              2
    (A.51)

    Poznámka: pokud bychom v zákonech zachování energie a hybnosti použili relativistické vztahy

    pict

    dostali bychom řešení

            mp βp,max
E γ = -∘-----------,
      2  1 − β2p,max
    (A.53)

    které je v prvním řádu Taylorova rozvoje v proměnné βp,max shodné s nerelativistickým řešením (A.51).

  2. Podle Chadwicka by maximální energie odraženého jádra dusíku v interakci s fotonem o energii Eγ = 50MeV byla přibližně TN,max = 360keV. Zákony zachování energie a hybnosti klasické mechaniky mají tvar:
    pict

    Řešením této soustavy rovnic je

                      (     ∘ -------)
                              4Eγ     2E2γ
TN,max = 2Eγ + mN   1 −   1+  m---  ≈ m---
                                N       N
    (A.55)

    V prvním přiblížení je mN = 14mp a tedy TN,max = 366 keV.

  3. Předpokládejme tedy, že v reakcích (4.2a), (4.2b) jde o rozptyl neutronu. Protože je mn mp, musí být rychlost počátečního neutronu βn = βp,max. Zákony zachování energie a hybnosti pro reakci (4.2b) mají potom tvar:
    pict

    Řešením soustavy rovnic dostáváme

          --2mN-β2n---
TN  = (    mN )2 ≈ 1,2 MeV,
       1 + mn-
    (A.57)

    tedy opět ve shodě s Chadwickovým argumentem.

Vraťme se nyní k otázce energií odraženého neutronu, předpokládáme-li odraz v ose nalétávajícího neutronu. Reakce (4.2a), kde předpokládáme mp mn, je tak obdobou přímého rázu stejně těžkých kulečníkových koulí, neutron se tedy zastaví (Tn = 0). V případě reakce (4.2b) stačí vyřešit soustavu rovnic (A.56a), (A.56b) pro proměnnou βn, dostáváme tak

        ┌│ -----------
 ′   -1-││  -4m2N-β2n---       mN-−-mn--
βn = mn ∘  (    mN-)2 − βn = mN + mn  βn
            1+  mn
(A.58)

Pro βn = βp,max = 0,1 dostáváme Tn3,5MeV.

Zadání příkladu 4.1

Příklad 4.2. Podle vztahu (2.39) jsou hybnosti částice před a po průchodu destičkou

pict

Pozitron s tak velkou hybností bude ztrácet energii především brzdným zářením, podle vztahu (3.5) dostáváme

          − 65,6m mmm-
E2 =  63⋅e       =  22 MeV,

tedy velmi dobrá shoda s experimentem.

Proton s hybností 63 MeV je naopak velmi pomalý a tedy silně ionizující. Ať už parametrizujeme ionizační ztráty jakkoli, je dolet protonu v olovu vždy menší než 0,1 mm. Proton tedy nemůže destičkou projít.

Zadání příkladu 4.2

Příklad 4.3. Ztratí-li částice o původní energii E1 při průchodu olověnou destičkou energii ΔE = E1 E2, platí také, že dolet částice o energii E1 v olovu je větší než dolet stejné částice s energií E2 právě o tloušťku zmíněné destičky t. Tuto ekvivalentní formulaci problému nyní využijeme k výpočtu hmoty částice.

V nejjednodušší aproximaci ionizačních ztrát v oblasti malých energií dE∕(ρdx) = 2 tak podle vztahu (3.11) dostáváme1

                                 E1
                       1         ∫    (     m2 )
t = R1 − R2 = (dE-∕(ρdx))---β2--   dE   1−  E2-  =
                         min minE2
                      ( ∘ --------  ∘ --------       2           2    )
  = --------1---------    p2 + m2 −   p2+  m2 + ∘--m------− ∘---m-----
    (dE ∕(ρdx))minβ2min      1           2          p21 + m2     p22 + m2

Numerickým řešením této rovnice (t = 6 mm, p1 = 63 MeV, p2 = 22,5MeV) dostáváme m 65 MeV. Existuje však důvod, proč toto řešení nevyhovuje: porovnejme ionizační ztráty takové částice v mlžné komoře (vzduch) před a po průchodu olověnou destičkou. Ve zmíněné aproximaci dostáváme

                  2       2    2    2
−-(dE∕-(ρdx-))1-=  β2-= ---p2---p1 +-m--≈ 0,22
− (dE∕ (ρdx ))2    β21   p22 + m2    p21

Stopa částice v mlžné komoře po průchodu destičkou by tedy musela být 4× 5× silnější než před destičkou, což se nepozorovalo.

Přesnější řešení získáme přímou numerickou integrací Betheho-Blochovy formule (3.1) podle vztahu (3.11), čímž dostáváme m = 78 MeV. Poměr ionizačních ztrát před a po průchodu destičkou činí 0,24.

Zadání příkladu 4.3

Příklad 4.4. Minimum ionizace v lehkých prvcích nastává při γ0β0 3,5, tedy při rychlosti

        γ0β0
β0 = ∘------2-2-
        1+ γ0β0
(A.59)

Parametrizujeme-li ionizační ztráty

-dE-      −5∕3
ρdx  = Cβ    ,

dostáváme pro rychlost částice při daném násobku X minima ionizace vztah

                 −3∕5
β = X −3∕5β  =  X∘----γ0β0-.
           0     1+ γ20β20
(A.60)

Hmotu částice pak určíme ze známé hybnosti a rychlosti

           ∘  ----2-
m =  p--= p---1−-β- ,
     γβ       β
(A.61)

přičemž hybnost částice určíme ze zakřivení její dráhy v magnetickém poli, viz vztah (2.39). Dosazením zadaných číselných údajů dostáváme:

  1. β1 = 0,569, m1 = 0,87GeV
  2. β2 = 0,328, m2 = 0,083GeV

Kdybychom k parametrizaci ionizačních ztrát použili přímo Betheho-Blochovu formuli (3.1) s parametrem δ = 0, dostali bychom následující výsledky:

  1. β1 = 0,532, m1 = 0,95GeV
  2. β2 = 0,314, m2 = 0,087GeV

V prvním případě se tedy jedná o proton (mp = 938,3 MeV), druhý odpovídá mionu (skutečná hmota přibližně 106 MeV).

Zadání příkladu 4.4

Příklad 4.5. Z kvantové mechaniky víme, že energie základního stavu atomu vodíku je

                1-    2
E0 = T0 + V0 = − 2 meα = − 13,6 eV,
(A.62)

kde α je konstanta jemné struktury. Podle viriálového teorému platí 2T= −⟨V , a tedy

       αℏc         2
V0 = − -r--= − me α
         0
(A.63)

Odsud dostáváme pro poloměr atomu vodíku vztah

     -ℏc-   --197-MeV--⋅fm---            −10
r0 = me α = 0,511 MeV  × -1- = 0,529 × 10    m
                         137
(A.64)

Zde jsme zanedbali hmotu elektronu proti hmotě jádra (protonu), neboli uvažovali jsme nekonečně těžké jádro. Je-li místo elektronu na K-slupce pion, musíme místo hmoty elektronu počítat s tzv. redukovanou hmotou celého systému, tedy

    ---ℏc---   ℏc(mπ-+-mp-)          −13
r = -mπmp-α =    m πmp α   =  2,2 × 10    m
    mπ+mp
(A.65)

Bude-li se jednat o těžké jádro (Z 1), můžeme hmotu π oproti hmotě jádra zanedbat a poloměr K-slupky obsahující π bude

      ℏc
r′ = -----
     m πα
(A.66)

Klasický poloměr K-slupky v takovém atomu bude tedy menší faktorem mπ∕me = 280 než u běžného atomu. Pion na K-slupce bude s určitou pravděpodobností procházet jádrem, silná interakce pion–jádro proběhne s nulovým vzájemným orbitálním momentem.

Zadání příkladu 4.5

Příklad 4.6. Nalétávající proton interaguje s nukleonem v jádře uhlíkového terče, počítáme tedy práh reakce

p + p → p + p + π0

Práh této reakce jsme již spočítali v příkladu 2.6 za předpokladu, že terčíkový proton je v klidu. Uvážíme-li nyní kinetickou energii pohybu nukleonu v terčíkovém jádře, získáme z rovnosti Mandelstamova invariantu s v LAB a v CMS vztah:

              2   (∘ ---------------  ∘ ----------------)2               2
(T + TF + 2mp)  −    (T + mp )2 − m2p − (TF + mp )2 − m2p  = (2mp + m π0) ,
(A.67)

kde TF je (Fermiho) kinetická energie protonu v jádře. Vztah (A.67) má složitější analytické řešení, číselné hodnoty pro různé TF jsou uvedeny v tabulce A.2.

|----------|---------|
|TF-[MeV-]-|T-[MeV-]-|
|    0     |  280    |
|   19     |  147    |
----25--------130----|
Tabulka A.2:Číselné hodnoty prahové kinetické energie T v závislosti na TF, řešení rovnice (A.67).

Zadání příkladu 4.6

Příklad 4.7. Je-li rozpadající se π0 v klidu, je řešení triviální (Eγ = mπ02). Pokud se ale pion pohybuje, dostaneme pomocí Lorentzovy transformace

      1-
E γ = 2m π0γ(1+ β cos𝜃),
(A.68)

kde β,γ jsou velikost rychlosti a odpovídající relativistický faktor neutrálního pionu, přičemž směr výletu fotonu svírá v CMS se směrem pohybu pionu úhel 𝜃. Protože má π0 spin nula, musí být úhlové rozdělení v CMS rovnoměrné, tj.

--dN-- = const
d cos𝜃
(A.69)

Díky tomu bude rovnoměrné i spektrum energií ze vztahu (A.68), neboť

             (       )− 1
dN--=  -dN---  -dE-γ-    = const
dE γ   dcos 𝜃  dcos 𝜃
(A.70)

Snadno nahlédneme, že střední hodnota odpovídá

⟨Eγ⟩ = 1m π0γ ≈ 1-mπ0,
       2        2
(A.71)

kde přiblížení platí pro γ 1.

Zadání příkladu 4.7

Příklad 4.8. Poloha píku bude odpovídat situaci, kdy se π0 narodí v klidu vůči CMS produktů reakce (4.10). Nejprve určíme rychlost tohoto systému vůči LAB, tj. střední rychlost π0 vzhledem k LAB:

pict

Zde jsme počítali Lorentzovy faktory γ, β pro počáteční stav reakce (4.10), ty jsou ovšem stejné jako pro koncový stav. Uvědomme si také, že ve výrazu pro γ-faktor vystupuje invariantní hmota systému (které odpovídá výraz √ -
  s), nikoli prostý součet hmot, viz vztah (A.17).

V obou případech (detektor 0 a detektor 180) bude střední rychlost π0 vzhledem k LAB stejná, ale bude mít opačné znaménko. Relativní rychlost takových π0 bude tedy dána vztahem

βrel =-2βcms--
      1 + β2cms
(A.73)

Kinetická energie nalétávajícího protonu byla Tp = 340 MeV. Ztráty v 5 cm tlustém Be-terči jsou přibližně ΔE 25 MeV [11], kvůli symetrii obou soustav uvažujme tedy kinetickou energii protonů v reakci (4.10)

Tp′ = 340 − 25∕2 = 327,5 MeV
(A.74)

Po dosazení do vztahu (A.72b) dostáváme βcms = 0,385.

Nyní odhadněme hodnoty energií v obou rozděleních na obr. 4.8E1 55 MeV, E2 125 MeV. Tyto energie by měly být svázány Lorentzovou transformací (pro foton platí E = |p|)

E  = γ  E  + γ  β  E  = 1-+-βcmsE  =  124 MeV,
 2    rel 1    rel rel 1   1 − βcms  1
(A.75)

což je velmi dobrý souhlas.

Zadání příkladu 4.8

Příklad 4.9. V příkladu 4.7 jsme odvodili vztah pro energii fotonu z rozpadu (4.9)

      1
E γ = -m π0γ (1 + β cos 𝜃)
      2
(A.76)

Podle tohoto vztahu platí pro dopplerovské meze

pict

Řešíme-li tyto dvě rovnice pro neznámé β, mπ0, dostaneme

       ∘ -----    ∘ ---------
m π0 = 2 E1E2  = 2  53,6⋅85,0 = 135 MeV
(A.78)

Nyní určíme hmotu π0 z kinematiky reakce (4.11). Ze vztahů (A.77a), (A.77b) snadno zjistíme, že rozdíl dopplerovských mezí odpovídá hybnosti neutrálního pionu:

E2 − E1 = m π0γβ = pπ0
(A.79)

Protože v reakci (4.11) interaguje pion s protonem s nulovou vzájemnou kinetickou energií, můžeme na tuto reakci pohlížet jako na dvoučásticový rozpad mateřské částice s hmotou M = mπ + mp. Hmotu neutrálního pionu pak vyjádříme jako řešení rovnice (2.10b):

pict

Dostáváme tak

mπ0 = 134,2 MeV.

Tento způsob určení mπ0 vedl k menší experimentální chybě než výše zmíněná varianta (viz vztah (A.78)). Drobný rozdíl oproti číselnému výsledku uvedeném v oddíle 4.5.2 je dán rozdílnou střední hodnotou hmoty nabitého pionu, která byla v té době známa.

Zadání příkladu 4.9

Příklad 4.10. K určení prahové energie opět využijeme Mandelstamův invariant s vyjádřený v LAB, resp. CMS:

(         ∘ --------)2
  Ep + mp,  E2p − m2p   = (4mp, 0)2
(A.81)

Po jednoduchých algebraických úpravách získáme prahovou kinetickou energii

Tp ≡ Ep − mp = 6mp  ≈ 5,6 GeV.
(A.82)

Pohybuje-li se také terčíkový proton, nejmenší prahová energie reakce bude odpovídat situaci, kdy tento terčíkový proton poletí „naproti“ nalétávajícímu protonu. Opět vyjádříme s v LAB, resp. CMS:

(        ∘  -2-----2  ∘ --2----2)2           2
 Ep + EF,   Ep − m p −  E F − m p  = (4mp, 0) ,
(A.83)

kde jsme označili EF TF + mp. Po dvojím umocnění se zbavíme všech odmocnin a dostaneme výsledek

                      (∘ ---------------      )
Tp ≡ Ep − mp = 6mp  −    48TF (TF + 2mp ) − 7TF  ≈ 4,3 GeV.
(A.84)

Vidíme, že i poměrně malá kinetická energie terčíkové částice významně sníží prahovou energii reakce. Pro TF = 0 dostaneme samozřejmě výsledek shodný s relací (A.82).

Zadání příkladu 4.10

Příklad 4.11. Nejprve určíme rychlosti tří zmíněných částic s danou hybností p. Platí

     p        p
β =  E-=  ∘--2----2,
            p + m
(A.85)

dostáváme tedy β(p) = 0,785, β(K) = 0,92, β(π) = 0,99.

Prahový Čerenkovský detektor C1 funguje jako veto-detektor, mezony π, K proto produkují signál, zatímco antiprotony nikoli. Podle vztahu (3.8) je intenzita Čerenkovského záření maximální při co největším úhlu emise záření, proto zvolíme práh těsně nad rychlostí antiprotonů:

βC1 = 0,79.

Diferenciální Čerenkovský detektor C2 je naopak navržen tak, aby v něm produkovaly signál pouze antiprotony. V experimentu [13] byl nastaven na interval

0,75 < β   < 0,78.
       C2

Menší hodnota (oproti β(p)) je odrazem energetických ztrát antiprotonů ve scintilátorech S1, S2 a Čerenkovských detektorech C1, C2 [13].

Zadání příkladu 4.11

Příklad 4.12. Dobu letu určíme ze vztahu

          ∘ -2-----2
t = d--= d--p--+-m--
    βc       pc
(A.86)

kde β je rychlost příslušné částice. Po dosazení dostaneme výsledky

t(π− ) = 41 ns,   t(¯p) = 52 ns.

Zadání příkladu 4.12

Příklad 4.13. Pravděpodobnost rozpadu částice podléhá exponenciálnímu rozpadovému zákonu, musíme vzít ale v úvahu vztah mezi časem v laboratorním systému a systému letící částice. Označíme-li τ střední dobu života částice, pak tato částice uletí střední vzdálenost

            ∘ --------
              p2 + m2     p          p
d = γ βcτ = ----m-----∘--2----2-cτ = m-cτ,
                        p +  m
(A.87)

kde m značí hmotu částice. Množství N nerozpadlých částic pak určíme z rozpadového zákona

N =  e− L∕d.
(A.88)

Výsledkem je N(K) = 4,4%, N(π) = 66%.

Zadání příkladu 4.13

Příklad 5.1. Označme P (P) čtyřhybnost primární částice před (po) interakci s elektronem, jehož čtyřhybnosti označíme Pe,Pe. Ze zákonu zachování čtyřhybnosti

P + Pe − P′e = P′

dostáváme po umocnění obou stran rovnici

(∘ --------       ∘  --------)2   (         )
   p2 + m2 + me −    p′2 + m2   −   ⃗p+ ⃗0 − ⃗p′ 2 = m2,
                      e     e              e
(A.89)

kde m je hledaná hmota primární částice a p,pe jsou hybnost primární částice před interakcí a hybnost odraženého elektronu. Tyto hybnosti svírají úhel ξ. Algebraickými úpravami dostaneme ze vztahu (A.89) rovnici

∘  --------      pp′ecosξ
   p2 + m2 = ∘---------------− me
               p′e2 + m2e − me
(A.90)

Velikosti hybností p,pe určíme ze vztahu (2.39):

pict

Po dosazení do vztahu (A.90) dostáváme m 506MeV = 990me.

Zadání příkladu 5.1

Příklad 5.2. Nejprve převeďme hybnosti p+, p do soustavy CMS. Z obrázku 5.1 vyplývá

pict

kde pcms je hybnost produktů dvoučásticového rozpadu v CMS a 𝜃cms je úhel výletu kladně nabité částice v soustavě CMS vzhledem ke směru letu mateřské částice.

Ze vztahu (2.10a) pro energie částic ve dvoučásticovém rozpadu dostáváme relace:

pict

Nyní již můžeme vyjádřit veličinu α

         (                     (  2     2))      2    2
α = --1--  2γp    cos𝜃   + 2γ-β-m-+-−-m-−-  =  m-+-−-m−-+  2pcmscos𝜃cms,
    γβM       cms     cms         2M               M 2          βM

což jsme měli dokázat.

Zadání příkladu 5.2

Příklad 5.3. V soustavě CMS jsou oba rozpady izotropní, proto cos𝜃cms= 0. Z řešení příkladu 5.2 pak ihned vyplývá

      m2  − m2
⟨α ⟩ =--+---2-−
         M

Po dosazení hmot jednotlivých částic podle tabulek [1] dostaneme zmíněné číselné výsledky.

Zadání příkladu 5.3

Příklad 5.4. Pro výpočet prahové energie opět s výhodou využijeme Mandelstamův invariant s v laboratorní, resp. CMS soustavě:

(                    )
 E   + m ,∘E2---−-m2--2 = (m   + m  ,0)2.
   π    n     π     π       Λ     K
(A.93)

Dostáváme tak

pict

Po dosazení dostaneme prahovou energii Tπ = 758,6MeV.

Zadání příkladu 5.4

Příklad 5.5. Podle vztahu (2.8a) pro Lorentzovu transformaci je energie protonu v laboratorním systému

  ′          ⃗
Ep = γEp + γ β ⋅⃗pp = γ (Ep + βppcos 𝜃cms) ,
(A.94)

kde β je rychlost rozpadajícího se baryonu Λ0 a γ odpovídající relativistický faktor. Použitím vztahů (2.10a), (2.10b) pro energii a hybnost dceřiných částic v dvoučásticovém rozpadu dostaneme výsledný vztah

     ∘ -2-----2
  ′  --pΛ-+-m-Λ ( 2     2    2 )
E p =   2m2Λ     mΛ + m p − mπ  +
        p cos𝜃   ∘  ----------------∘ -----------------
     +  -Λ---2cms-  m2Λ − (mp + m π)2  m2Λ − (mp − m π)2.
          2m Λ
(A.95)

Výsledné hodnoty energie protonu jsou uvedeny v tabulce A.3.

|-----|--′-------|
|𝜃cms∘-|E-p-[GeV-]-|
|  0  |   9,42    |
| 90∘ |   8,51    |
-180∘-----7,61-----
Tabulka A.3:Energie protonu Ep pro jednotlivé úhly výletu protonu vůči směru pohybu rozpadajícího se hyperonu Λ0.

Zadání příkladu 5.5

Příklad 5.6. Podle vztahu pro Lorentzovu magnetickou sílu (A.23b) platí pro kladně nabitou částici

F⃗ ∝  ⃗v × B⃗.
  L

Kladně nabitá částice na obr. 5.3 se tedy bude stáčet „nahoru“. Částice č.1 je proto kladně nabitá, částice č.2 má záporný elektrický náboj.

Hmotu M mateřské neutrální částice určíme jako invariantní hmotu produktů rozpadu

pict

Úhel α považujeme za přesně určený, pro chybu určení hmoty mateřské částice platí

        ∘ (-----)2---------(-----)2-------
σ (M  ) =    ∂M--   σ2(p1)+   ∂M--  σ2 (p2).
            ∂p1              ∂p2
(A.97)

Ze vztahu (A.96) vyplývá

              2      (   ∘ -2----2-         )
∂M--=  -1--∂M---= -1-  p1∘-p2 +-m-2-− p2cosα  ,
∂p1    2M  ∂p1    M        p21 + m21
(A.98)

podobně pro ∂M∕∂p2. Dosazením zadaných číselných údajů do vztahů (A.96)–(A.98) dostáváme

pict

Vzhledem k tomu, že mK0 = 497,6MeV, mΛ0 = 1115,7MeV [1], nelze na základě těchto změřených hodnot určit, o jaký rozpad se jednalo.

K rozlišení dvou zmíněných rozpadů můžeme využít také informaci o ionizaci. Naměřené stopy odpovídají relativistickým částicím blízko minima ionizace, zatímco pro proton s hybností p1 by ionizace měla být alespoň 4× vyšší [18]. S velkou pravděpodobností se tedy jedná o rozpad (5.7a).

Zadání příkladu 5.6

Příklad 6.1. V případě SΛ = 12 můžeme úhlové rozdělení zmíněného rozpadu formálně vyjádřit

pict

kde A0,A1 představují amplitudy S a P-vlny a χp je spinová vlnová funkce protonu. Uvažme obecnou orientaci spinu Λ0 vůči kvantovací ose z, tj. jednotlivé polarizační stavy Λ0 12,12 se vyskytují s amplitudami U („up“), D („down“), tedy

Ψ  (𝜃,ϕ) = U χ (1∕2,1∕2) + D χ (1∕2,−1∕2)
  Λ           Λ             Λ
(A.100)

Parametrizujeme-li komplexní amplitudy U,D,A0,A1 standardním způsobem U = |U|eiu (analogicky pro ostatní amplitudy), dostaneme s použitím posledních tří vztahů úhlové rozdělení rozpadu (6.3a)

             1 {
|Ψ Λ(𝜃,ϕ)|2 = --- 1− 2|A0 ||A1 |cos(a0 − a1)⋅
            4π      [(          )                                ]}
                   ⋅  |U|2 − |D |2 cos𝜃 + 2|U ||D |sin𝜃 cos(ϕ + u − d)
(A.101)

Integrací přes azimutální úhel dostaneme výsledný vztah

           {                                         }
|Ψ  (𝜃)|2 = 1- 1− 2|A  ||A |(|U|2 − |D |2)cos(a − a )cos𝜃
  Λ       2         0  1                  0    1
(A.102)

Povšimněme si několika důležitých vlastností:

V případě SΛ = 32 může orbitální moment ve finálním stavu produktů rozpadu (6.3a) nabývat hodnot 1,2 (P a D-vlna), úhlové rozdělení tedy vypadá

pict

Bude-li kvantovací osa rovnoběžná s osou svazku nalétávajících pionů v reakci (6.2), nemůže Λ0 vzniknout s projekcemi spinu ±32. Výpočet kvadrátu vlnové funkce je v tomto případě náročnější, po integraci přes azimutální úhel dostaneme

           1{             (          )
|ΨΛ(𝜃)|2 = --1 + 3cos2𝜃− 2 |U |2 − |D |2 |A1 ||A2|cos(a1 − a2)⋅
           4              (               )}
                         ⋅ 9 cos3𝜃 − 5 cos𝜃
(A.104)

Zadání příkladu 6.1

Příklad 6.2. Vyjdeme ze vztahu (2.22) pro rozpadovou šířku a z definice fázového objemu (2.14). V případě tří částic v koncovém stavu pro fázový objem dostáváme

       -1---d3⃗p1-d3⃗p2-d3⃗p3-(3)
dΦ3 =  (2π )5 2E1  2E2  2E3 δ   (− ⃗p1 − ⃗p2 − ⃗p3)δ(M − E1 − E2 − E3)
(A.105)

Integrací přes d3p2 a zavedením úhlů 𝜃11, 𝜃1313 (polární a azimutální úhly výletu první částice, resp. třetí částice vůči směru letu první částice) dostáváme

        1   p2dp dcos𝜃 dϕ  p2dp dcos 𝜃 d ϕ    1
dΦ3 = ----5 -1--1-----1---1-3--3------13---13----δ(M  − E1 − E2 − E3)
      (2π)       2E1              2E3       2E2
(A.106)

Protože platí E22 = (p1 p3)2 + m22, je

p1p3dcos𝜃13 = E2dE2

Dosazením do vztahu (A.106) a integrací přes dE2 dostáváme

      --1-- p1dp1dcos𝜃1dϕ1-p3dp3dϕ13-1-
dΦ3 = (2π)5      2E1          2E3    2
(A.107)

Protože platí relace p1dp1 = E1dE1, předchozí vztah lze dále upravit

dΦ  = ---1---dE  dE dcos 𝜃 dϕ dϕ
   3  8 (2π)5   1   3     1  1  13
(A.108)

Je-li rozpadající se částice skalár anebo zprůměrujeme-li přes její spinové stavy, můžeme integrovat přes zbývající úhlové proměnné. Po dosazení do vztahu (2.22) dostáváme

        1   |ℳ  fi|2
d Γ = (2π)3 -8M---dE1dE3,
(A.109)

čímž je platnost vztahu (6.9) dokázána.

Zadání příkladu 6.2

Příklad 6.3. Označme Q T1 + T2 + T3 celkovou kinetickou energii, která je v rozpadu k dispozici. Jednoduchou algebraickou úpravou dostaneme

T  = Q − 2T  − √3-T1√−-T2,
 3         2          3
(A.110)

a tedy

         √ -T  − T
T3 ≤ Q −   3--1√---2.
                3
(A.111)

Zákon zachování energie tedy vymezuje oblast rovnostranného trojúhelníku. Je však zřejmé, že zákon zachování hybnosti tuto oblast dále zmenší. Soustředíme se na dva krajní případy: klasický a ultrarelativistický.

Zadání příkladu 6.3

Příklad 6.4. Vyjdeme z výsledku příkladu 6.2, tj. ze vztahu (A.109). Nyní vyjádříme invariantní hmoty pomocí energií E1, E3:

pict

Odsud vyplývá:

pict

Dosazením do vztahu (A.109) dostáváme vztah (6.11).

Zadání příkladu 6.4

Příklad 6.5. V silných interakcích se parita zachovává, proto tato reakce umožňuje určit neznámou paritu pionu:

P (π− ) × P(2H1) × (− 1)li = P (n )2 × (− 1)S+1 × (− 1)lf
(A.118)

Veličiny li, lf jsou orbitální momenty v počátečním a koncovém stavu, S je pak celkový spin soustavy dvou neutronů.

Pion je zachycen deuteronem na K-slupce, reakce tedy probíhá s orbitálním momentem li = 0. Spin pionu je také roven nule (viz oddíl 6.1.3), proto je celkový moment hybnosti v počátečním stavu dán spinem deuteronu J(2H1) = 1.

Vlnová funkce neutronů v koncovém stavu musí být celkově antisymetrická při záměně obou částic. Systém dvou neutronů může mít v principu dvě hodnoty celkového spinu:

První varianta S(nn) = 0 nemůže nastat, neboť nevyhovuje zákonu zachování celkového momentu hybnosti. Druhá varianta umožňuje složit Jf = 1 se spinem S(nn) = 1 a lf = 1. Hledaná parita pionu je tedy podle vztahu (A.118) P(π) = 1, neboť parita deuteronu je kladná (P(2H1) = 1).

Zadání příkladu 6.5

Příklad 6.6. Ze vztahu (2.22) pro rozpadovou šířku vyplývá, že podíl větvicích poměrů bude odpovídat podílu čtverců maticových elementů, neboť fázové objemy jsou v obou případech prakticky totožné. V maticovém elementu pak bude hrát roli výběrové pravidlo (6.28).

Baryon Λ0 je izospinový singlet, tedy |I,I3Λ = |0,0. Proton a neutron spolu tvoří izospinový dublet, zatímco piony představují izospinový triplet. Soustava nukleon–pion je tedy v následujících izospinových stavech:

pict

Podle výběrového pravidla (6.28) se v koncovém stavu realizuje jen část s izospinem I = 12, pro větvicí poměry tedy platí

     0        −      1  1       1  −1   2   2
BR-(Λ--→-p-+-π--)=  |(-∕2∕2-1 −-1|-∕2-∕2)|2-=  ∕3-= 2
BR (Λ0 →  n+ π0 )   |(1∕2− 1∕21 0|1∕2−1∕2)|     1∕3
(A.120)

Experimentální poměr vychází 63,9%35,8% 1,8 [1], což je v rozumném souhlasu s takto jednoduchým modelem.

Zadání příkladu 6.6

Příklad 6.7. Operátor nábojového sdružení Ĉ je unitární, tedy

ˆCa †C ˆ−1 = Ca †,
(A.121)

kde a je kreační operátor plně neutrální částice. Uvažme nyní případ rozpadu (6.32a) a podívejme se na C-paritu dvou fotonů v koncovém stavu. S využitím vztahu (A.121) dostáváme

  (       )
ˆC  a†γa†γ|0⟩  = ˆCa †γ ˆC− 1C ˆa †γCˆ−1Cˆ|0⟩ = C (γ )a†γC (γ)a†γCˆ|0⟩ = C (γ )2a†γa †γ|0⟩
(A.122)

Uvedený příklad bychom snadno rozšířili na libovolný počet částic. Vidíme tedy, že C-parita je multiplikativní kvantové číslo. Z rozpadu (6.32a) tedy ihned plyne

C (π0) = C (γ)2 = 1
(A.123)

Zadání příkladu 6.7

Příklad 6.8. Zmíněná relace je ekvivalentem vztahu pro rotaci v prostoru momentů hybnosti

 −iπˆJ2            j− m
e     |j,m ⟩ = (− 1)  |j,− m ⟩
(A.124)

kde Ĵ2 je operátor druhé komponenty celkového momentu hybnosti a j,m jsou vlastní hodnoty celkového momentu hybnosti J a jeho třetí komponenty.

Snadno nahlédneme, že operátor na levé straně zachovává celkový moment hybnosti, neboť Ĵ2,Ĵ2 komutují. Také je zřejmé, že při rotaci o úhel π se změní znaménko projekce momentu hybnosti. Zbývá tedy určit fázový faktor.

Podívejme se proto obecně na rotaci stavů v prostoru momentu hybnosti. Tyto rotace jsou obecně popsány Wignerovými funkcemi

pict

kde R(n) je operátor rotace o úhel ϕ kolem osy n a α,β,γ jsou standardní Eulerovy úhly. V případě rotace kolem druhé osy se vztah (A.125) redukuje na tvar

 − iβJˆ         ∑m    j          ′
e    2|j,m ⟩ =       dm ′,m(β)|j,m  ⟩
              m′=−m
(A.126)

Tvar Wignerových d-funkcí lze odvodit nejsnáze pomocí Schwingerovy reprezentace. Platí

           ∑             ′ ∘  (j-+-m-)!(j-−-m-)!(j-+-m-′)!(j −-m-′)!
djm ′,m(β) =    (− 1 )k−m+m ------------------------′------------′-×
            k            (j + m − k)!k!(j − k − m )!(k − m + m  )!
             (      )2j−2k+m− m′  (     )2k −m+m ′
           ×   cos β            ×   sin β-
                  2                    2
(A.127)

Suma samozřejmě běží přes všechna k, pro která mají všechny faktoriály nezáporný argument, tedy:

pict

Z podmínek (A.128a), (A.128c) ihned vidíme, že mocnina u kosinu je také nezáporná a proto ve funkci dm,mj(β = π) přispěje pouze člen

       m  − m ′
k = j +-------
          2
(A.129)

Kombinací relací (A.128a), (A.128c) a (A.129) zjistíme, že funkce dm,mj(β = π) je nenulová pouze pro m = m. Celkem tedy dostáváme

pict

čímž je vztah (A.124) dokázán.

Zadání příkladu 6.8

Příklad 6.9. Plně neutrální mezon η0 by se v principu mohl rozpadat vlivem silné interakce na dva, tři nebo čtyři piony.

V rozpadu na dva piony by se nezachovávala parita, neboť JP (η0) = 0, JP (π) = 0. Kvůli zachování celkového momentu hybnosti je i orbitální moment dvou pionů L = 0, parita koncového stavu by tedy byla P = (1)2 × (1)L = 1, což neodpovídá počátečnímu stavu.

Z energetického hlediska by byl možný rozpad na čtyři neutrální piony (dva nabité a dva neutrální piony již mají dohromady příliš velkou hmotu). I tento rozpad však odporuje zákonu zachování parity v silných i elektromagnetických interakcích, proto se v přírodě nevyskytuje.

Zákony zachování parity (a energie) tak umožňují pouze rozpad na tři piony, který skutečně existuje (větvicí poměr přibližně 60%). Aby mohlo jít o silný rozpad, musela by se zachovávat i G-parita. Koncový stav má

G (π+π0 π− ) = G(π+ )G (π0 )G(π− ) = − 1,
(A.131)

ovšem mezon η0 má podle vztahu (6.40) G(η0) = +1, neboť jde o izospinový singlet (to uvidíme v kapitolce 8.2). Rozpad na tři piony sice existuje, je ale kombinací (silně potlačeného) silného rozpadu s nezachováním izospinu (izospinová symetrie v silných interakcích neplatí zcela přesně kvůli vyšší hmotě kvarku s v porovnání s kvarky u,d, viz kapitola 8) a elektromagnetického rozpadu, přičemž i takto potlačený silný rozpad dominuje. Těmto skutečnostem odpovídá i úzká rozpadová šířka, viz [1].

Zadání příkladu 6.9

Příklad 7.1. Střední hodnoty projekce spinu určíme standardním způsobem známým z kvantové mechaniky. S využitím relace pro operátor spinu (7.14) dostáváme:

                         (       )
        ℏ-   ∗    ∗         U(t)
⟨si⟩(t) = 2 (U (t),D (t))σi  D(t)
(A.132)

Po dosazení získáme výsledky:

pict

Projekce spinu do směru magnetického pole zůstává konstantní v čase a její velikost je úměrná polarizaci. Projekce do os x,y konají periodický pohyb, čili v rovině x y rotuje spin s úhlovou rychlostí danou relací (7.20).

Zadání příkladu 7.1

Příklad 8.1. Viz příklad 6.6.

Zadání příkladu 8.1

Příklad 8.2. Vyšetřeme nejprve možné izospinové stavy počátečních i koncových stavů:

pict

Baryonové rezonance Δ tvoří izospinový kvartet, tj. I(Δ) = 32. V silných interakcích se izospin zachovává, proto všechny reakce probíhají pouze přes izospin I = 32, maticový element odpovídající I = 12 dává nulový příspěvek. Protože všechny reakce probíhají při stejné energii, je poměr účinných průřezů dán poměrem čtverců maticových elementů:

σ(8.36a) : σ(8.36b) : σ (8.36c) = 1 : |(1∕2 1∕21 − 1|3∕2− 1∕2)⋅(1∕2−1∕210|3∕2− 1∕2)|2 :
                               |                   |2
                               ||(1∕21∕2 1 − 1 |3∕2−1∕2)2|| =

                           = 1 : 2∕9 : 1∕9 = 9 : 2 : 1

Zadání příkladu 8.2

Příklad 8.3. Izospinový dublet (u,d) se transformuje jako spinor popisující částici se spinem 12, generátorem příslušné grupy SU(2) jsou Pauliho matice. Platí tedy:

(    )         (    )
  u′   = eiφ2⃗σ⋅⃗n   u   .
  d′              d
(A.135)

Tento vztah popisuje otočení o úhel φ kolem osy n na prostoru generátorů grupy. Přejděme nyní k antidubletu pomocí komplexního sdružení:

(    )           (    )
  ¯u′   = e−iφ2⃗σ∗⋅⃗n   ¯u   .
  ¯d′                ¯d
(A.136)

Vynásobíme-li obě strany zleva maticí σ1, dostaneme

(     )     [                 (         )      ](    )
   ¯d′             φ- ∗     -1    φ- ∗    2         ¯u
   ¯u′   = σ1 1 − i2 ⃗σ ⋅⃗n + 2!  − i2 ⃗σ ⋅⃗n  +  ...    ¯d   .
(A.137)

Pomocí antikomutačních relací Pauliho matic lze ukázat, že pro celá čísla k 0 platí

pict

Dalšími úpravami rovnice (A.137) dostaneme relaci

( ¯′ )   (                                   )   (    )
  d′   =  cos φ-+ isin φ-(− σ1n1 − σ2n2 + σ3n3) σ1   ¯u¯   .
  ¯u           2       2                             d
(A.139)

Po vynásobení obou stran zleva maticí σ3 pak dostáváme

(     )                                          (    )
   ¯d′      (   φ-       φ-                   )      ¯d
  − ¯u′   =  cos 2 + isin 2 (σ1n1 + σ2n2 + σ3n3)  σ3   ¯u   ,
(A.140)

a získáváme tak transformaci shodnou se vztahem (A.135), ovšem pro antidublet (d,u):

(    ′ )         (     )
    ¯d    = eiφ2⃗σ⋅⃗n   ¯d    .
   − ¯u′             − ¯u
(A.141)

Zadání příkladu 8.3

Příklad 8.4. Označme mu = md m a vyjádřeme hmoty pseudoskalárních mezonů vystupujících v Gell-Mannově-Okubově formuli:

pict

kde Δ je vazebná energie páru kvark–antikvark. Gell-Mannova-Okubova formule pro pseudoskalární mezony v lineární formě2 zní

       1       3
mK0 =  4 m π0 + 4 m η0,
(A.143)

po dosazení vztahů (8.36a)–(8.36c) do této formule zjistíme, že levá i pravá strana jsou identické.

Zadání příkladu 8.4

Příklad 8.5. Použitím stejného postupu jako pro vektorové mezony (viz oddíl 8.2.2) dostaneme následující relace:

pict

Pro směšovací úhel tedy platí

           2    4  2    1  2
         m-η0 −-3 m-K0-+-3 m-π0-
|tg𝜃P| = 4 m2 0 − 1 m2 0 − m2 0′
         3  K    3   π     η
(A.145)

Výsledkem je |𝜃P| = 11. Vzhledem k tomu, že cos𝜃P = 0,98, změní se kvarkové složení částic η0, η0 jen nepatrně.

Zadání příkladu 8.5

Příklad 8.6. Podle vztahu (2.17) pro fázový objem dvoučásticového rozpadu platí

pict

Z hlediska fázového objemu je preferovaný rozpad (8.37b) faktorem 1,5×, přesto dominuje rozpad (8.37a) kvůli Zweigovu pravidlu, viz kapitolka 8.5.

Zadání příkladu 8.6

Příklad 8.7. Mezony se skládají z páru kvark–antikvark. C-paritu mezonů určíme proto nejsnáze ze vztahu

C = (− 1)L+1 × (− 1)S+1 = (− 1)L+S
(A.147)

pro nábojovou paritu soustavy fermion–antifermion, kde L,S jsou orbitální moment a celkový spin páru fermion–antifermion, v našem případě páru kvark–antikvark. G-paritu plně neutrálních mezonů určíme nejsnáze kombinací vztahů (A.147) a (6.39), tedy:

pict

Mezony ρ se proto rozpadají na dva piony, ω0 na tři.

Mezon ρ0 by se v principu mohl rozpadat jak na pár nabitých, tak na pár neutrálních pionů. V silných interakcích se ale musí zachovávat také izospin, a protože Clebschův-Gordanův koeficient (1010|00) = 0, rozpad na neutrální piony neexistuje.

Tří-pionový rozpad mezonu ω0 má v principu dvě varianty:

pict

Druhý rozpad má ve finálním stavu plně neutrální částice s C-paritou C(π0) = 1, ale ze vztahu (6.35) dostáváme C(ω0) = 1. V přírodě tak existuje pouze rozpad (A.149a), druhý rozpad narušuje C-paritu a tudíž ho nelze realizovat pomocí silné ani elektromagnetické interakce.

Zadání příkladu 8.7

Příklad 8.8. Z oddílu 8.1.2 víme, že kvarkový obsah zmíněné částice je

  −
|Δ   ⟩ = |ddd⟩

Podle vztahu (8.29) pak příslušná část vlnové funkce musí být

               ∘ --(
ψq ⊗ ψc(Δ − ) =  1- |dRdGdB  ⟩− |dRdBdG ⟩+ |dGdBdR ⟩ − |dGdRdB  ⟩+
                 6                        )
                    + |d d  d ⟩ − |d  d d  ⟩
                        B  R G     B  G R

Zadání příkladu 8.8

Příklad 8.9. Nejprve složme spinovou část vlnové funkce tří kvarků se spinem 1/2. Složením dvou kvarků vznikne:

pict

Přidáním třetího kvarku pak dostaneme symetrický kvartet (spin 3/2)

pict

a dva dublety se spinem 1/2. Tyto dublety mají smíšenou symetrii:

pict

Analogicky dostaneme složením tří kvarků u, d kvartet nepodivných baryonů se spinem 3/2 (izospinový multiplet s hypernábojem Y = 1 odpovídající rezonancím Δ) a dva dublety jako součásti dvou oktetů. Správná vlnová funkce protonu s projekcí spinu +12 je pak superpozicí následujících součinů:

pict

Pro vlnovou funkci protonu s projekcí spinu +12 tak podle vztahu (8.32) dostáváme:

pict

Po jednoduchých algebraických úpravách dostaneme hledaný vztah (8.33).

Zadání příkladu 8.9

Příklad 8.10. Tvary vlnových funkcí jsme již odvodili v příkladě 8.9, pro proton s projekcí spinu +12 platí:

pict

Z tvaru těchto funkcí vidíme, že oba kvarky u mají shodně orientovaný spin s pravděpodobností 1/2, se stejnou pravděpodobností i opačně orientovaný spin. Předpokládejme, že magnetické momenty kvarků jsou úměrné jejich nábojům

pict

Potom pro magnetický moment protonu dostaneme

     1              1     1
μp = 2-(2μu − μd)+  2μd = 2-(2⋅2μ0 − (− 1)μ0 − μ0) = 2μ0.
(A.152)

Magnetický moment neutronu získáme ze vztahu (A.152) prostou záměnou u d, tedy:

μn =  1(2μd − μu) + 1μu = 1-(− 2μ0 − 2μ0 + 2μ0) = − μ0 .
      2             2     2
(A.153)

Poměr magnetických momentů neutronu a protonu je v tomto případě roven 12.

Ve skutečnosti je tvar spinové a kvarkové funkce protonu s projekcí spinu +12 dán vztahem (8.33). Z tvaru této vlnové funkce vidíme, že s pravděpodobností 23 mají kvarky u shodně orientovaný spin, s pravděpodobností 13 opačně. Pro magnetické momenty protonu a neutronu tedy platí vztahy (8.34a) a (8.34b). Poměr magnetických momentů neutronu a protonu je tedy μn∕μp = 23.

Zadání příkladu 8.10

Příklad 9.1. Vlnová funkce stabilní částice o energii E0 má tvar

pict

Vlnovou funkci rozpadající se částice lze zapsat

|ψ(t)⟩ = A (t) |ψ (0)⟩ + |ψ ⊥(t)⟩,
(A.155)

kde část |ψ(t)popisuje produkty rozpadu a platí proto ψ(0)|ψ(t)= 0. Amplituda A pak musí splňovat rozpadový zákon, tj. pro t > 0

|A (t)|2 = e− Γtℏ .

Pomocí komplexního sdružení odvodíme tvar amplitudy pro t < 0:

                                       (           )
A(t) = ⟨ψ (0)|ψ(t)⟩ = ⟨ψ (0)|e− iℏHˆt|ψ(0)⟩ = ⟨ψ(0)|e+ iℏ ˆHt |ψ (0)⟩ =
      (                 )
    =   ⟨ψ(0)|e+ iℏ ˆHt|ψ (0)⟩ ∗ = A ∗(− t)

S použitím posledních dvou vztahů můžeme amplitudu A vyjádřit:

pict

Pomocí vložení jednotkového operátoru dE|E⟩⟨E| = 1 vyjádříme amplitudu

        ∞
        ∫          2 − iEt
A (t) =   dE |ψ(E )|e  ℏ ,
       −∞
(A.157)

odkud pomocí Fourierovy transformace a vztahů (A.156a), (A.156b) vyjádříme vlnovou funkci:

               ∞
      2    1   ∫        iEt
|ψ(E )| = 2π-ℏ   dtA (t)e ℏ  =
              −∞
              ( [  Γt i(E−E0)t]0     [   Γt i(E-−E0)t ]∞ )
          -1--(  -e2ℏ+---ℏ---        -e−2ℏ+---ℏ----   )
        = 2π ℏ    Γ-+ i(E−E0)     +  − Γ-+  i(E−-E0)     =
                  2ℏ     ℏ    − ∞      2ℏ      ℏ    0
        = -1---------Γ--------,
          2π (E − E0 )2 + Γ 2∕4

což jsme měli dokázat.

Zadání příkladu 9.1

Příklad 9.2. Protože je rezonance úzká, nelze její šířku změřit přímo z rozdělení účinného průřezu. K určení rozpadové šířky využijeme srovnání experimentálně určené a teoreticky vypočtené plochy pod píkem rezonance. Teoretická hodnota je dána integrálem účinného průřezu (9.5). Je-li rezonance velmi úzká, můžeme člen E2 aproximovat pomocí hmoty rezonance (tj. E2 m2), čímž dostáváme

pict

Ve srážkách ee+ je Γin Γe. Změřením plochy S pod hmotovým píkem v jednotlivých rozpadových kanálech tak získáme celkem tři rovnice o třech neznámých:

pict

Řešením této soustavy získáme hodnoty jednotlivých parciálních rozpadových šířek a tím také celkovou rozpadovou šířku. V původním experimentu tímto způsobem určili Γ = 69 ± 15 keV [35].

Zadání příkladu 9.2

Příklad 9.3. V případě poměru (9.16a) je horní rozpad Cabibbo-potlačený, očekáváme tedy poměr tg 2𝜃C krát faktor z fázového objemu, celkem 0,057. Experimentálně byl určen poměr 0,036 [1].

Ve druhém případě (9.16b) je horní rozpad tzv. 2× Cabibbo-potlačený, očekáváme tedy poměr tg 4𝜃C = 2,8 103. Fázové objemy jsou stejné. Z experimentu vychází 3,8 103, což je dobrý souhlas.

Zadání příkladu 9.3

Příklad 9.4. Nejprve připomeňme kvarkový obsah zmíněných částic:

|B+⟩ = |u¯b⟩,    |D − ⟩ = |d ¯c⟩,   |D+ ⟩ = |c¯d⟩

Protože existuje přechod b c (nikoli b c), bude rozpad (9.17a) preferovaný oproti druhému. Experimentální údaje [1] to potvrzují, poměr větvicích poměrů je

BR-(B+-→--D−-+-X-)-
BR (B+ →  D+ + X ) ≈ 4.

Zadání příkladu 9.4

Příklad 10.1. Z výsledků příkladů 2.4, 2.7 plyne vztah pro maximální energii elektronu v β-rozpadu

  max   m2X-−--(mY--+-m-νe)2-+-m2e
Ee   =           2mX           ,

kde X,Y jsou hmoty mateřského a dceřiného jádra. Odsud již snadno odvodíme vztah (10.2) rozvojem do prvního řádu mνe:

                               2              2                 2
Emax (m ν) − Emax (m ν =  0) = mY-−-(mY--+-m-νe)--= −-2mY-m-νe −-m-νe≃ − m ν mY-
  e      e    e      e              2mX                 2mX              emX

Zadání příkladu 10.1

Příklad 10.2. Nejprve vypočítáme fázový objem tohoto rozpadu. Označme mX,mY hmoty mateřského a dceřiného jádra. Podle vztahů (2.10b), (2.16), (2.17) a (2.19) platí

pict

kde mY νe je invariantní hmota zmíněných částic. Ze vztahu pro energii, resp. maximální energii elektronu v tomto rozpadu (viz též příklady 2.4, 2.7)

pict

vyplývají tři důležité relace, které budeme dále potřebovat:

pict

Dosazením relací (A.162a)–(A.162c) do výrazu pro celkový fázový objem (A.160) dostáváme

pict

S použitím maticového elementu tohoto rozpadu a vztahu (2.22) dostaneme [50, 52]

                         ∘ ------------------------------------
d Γ           ∘  --------                          ( m      )2
----∝ F (Z,Ee )  E2e − m2e   (Emeax (m¯νe = 0)− Ee )2 −   -Y--m¯νe  Ee E ¯νe
dEe                                                  mX
(A.164)

Zanedbáme-li kinetickou energii dceřiného jádra, platí

E ¯ν ≈ Emax − Ee
   e    e
(A.165)

Pro nehmotné antineutrino se vztah (A.164) dále zjednoduší:

 dΓ            ∘ --------     max      2
dE--∝  F(Z,Ee )  E2e − m2e Ee (Ee  − Ee)
   e
(A.166)

V tomto případě je tedy Kurieho grafem přímka. Nenulová hmota antineutrina se projeví jen v koncové části spektra (Ee Eemax), viz obr. 10.2 (graf je zobrazen pro F(Z,Ee) = const).

Zadání příkladu 10.2

Příklad 10.3. Ze zákonu zachování čtyřhybnosti

P  =  P + P
  π    μ    νμ
(A.167)

vyplývá

  2     2             2    2     2
m νμ = Pνμ = (Pπ − P μ) = m π + m μ − 2P π ⋅P μ
(A.168)

Rozpadá-li se pion v klidu, je pravá strana posledního výrazu rovna pravé straně vztahu (10.6).

Zadání příkladu 10.3

Příklad 10.4. Hybnost mionu určíme snadno podle vztahu (2.10b)

pict

Při daném rozlišení detektoru σ(pμ)∕pμ můžeme tedy rozlišit nenulovou hodnotu hmoty neutrina:

                                        2     2          2
σ-(pμ)   pμ(mνμ-=-0)−-p-μ(m-νμ)-    2 -m-π-+-m-μ--  -----mνμ-----
  pμ  ≈       pμ(mνμ = 0)      = m νμ(m2 − m2 )2 ≃ 2 (m π − m μ)2
                                        π    μ
(A.170)

Po dosazení číselných hodnot (pμ(mνμ = 0) = 30MeV, a tedy σ(pμ)∕pμ = 3 106) tak dostaneme odhad na horní hranici hmoty mionového neutrina mνμ 83 keV na úrovni 1σ (věrohodnost 68%).

Zadání příkladu 10.4

Příklad 10.5. Nechť má neutrino vylétající v ose +z kladnou helicitu, tj. Sz(νe) = 12. Vzhledem k nulovému spinu jádra Eu se excitované jádro Sm může nacházet ve stavu s projekcí Sz(Sm) = 0,1 (projekce případného orbitálního momentu je rovna nule, probíhá-li rozpad v ose z). Stejnou projekci by měl mít i foton z rozpadu (10.19b), díky jeho nulové hmotě ovšem nemůže mít projekci spinu rovnou nule, proto Sz(γ) = 1. Je-li foton vyzářen právě ve směru opačném vzhledem ke směru neutrina, má také kladnou helicitu.

Stejnou úvahu můžeme provést i pro opačnou helicitu neutrina.

Zadání příkladu 10.5

Příklad 10.6. Nejprve vyjádříme hmoty atomů pomocí známých veličin:

pict

kde A = 152 je příslušné hmotnostní číslo, mu je atomová hmotnostní jednotka3 a Δ(Sm) je tzv. hmotový přebytek (mass excess) odpovídající danému jádru [53].

Nyní vyjádříme hybnost neutrina v K-záchytu a energii fotonu v následném γ-přechodu, obojí v klidových systémech rozpadajících se částic:

pict

Poznamenejme, že hmota elektronu vstupujícího do K-záchytu stejně jako jeho vazbová energie na K-slupce jsou ve vztahu (A.172) již implicitně zahrnuty, neboť hmotu atomu 152mEu jsme ve vztahu (A.171c) určili relativně vzhledem k základnímu stavu 152 Sm62.

Nyní určíme energii fotonu v laboratorní soustavě, letí-li ve směru odrazu jádra 152 Sm63, tj. má-li maximální možnou energii:

pict

V poslední úpravě jsme použili vztahy (A.172), (A.173). Energii fotonu potřebnou na excitaci základního stavu jádra 152Sm63 určíme opět ze zákonů zachování energie a hybnosti

  exc   m2-(Sm-∗)-−-m2(Sm-)-
Eγ  =       2m (Sm )      .
(A.175)

Snadno nahlédneme, že Eγ < Eγexc, tj. foton z γ-přechodu jádra už nemá dostatek energie na opětovnou excitaci takového jádra. Pro nás je ale důležitá energie fotonu Eγ vzniklého z odraženého jádra Sm, tedy:

            (  m (Eu)        1   )  (                  )
E′γ − Eeγxc=   ---2----∗-−  -------- ⋅ m2 (Sm ∗)− m2 (Sm ) ≈ − 0,36 eV.
             2m  (Sm  )   2m(Sm )
(A.176)

Ani takto vzniklý foton nemůže excitovat jádro 152Sm63, které je v klidu. Určeme proto prahovou energii fotonu Eγexc pro excitaci jádra Sm se započítáním tepelného pohybu tohoto jádra, tj. má-li kinetickou energii T 25 meV. S pomocí Mandelstamova invariantu s vyjádřeného v LAB, resp. CMS dostaneme relaci

               m2 (Sm ∗)− m2 (Sm )
Eexγc′=  -(-------------∘----------------) .
        2 T + m (Sm )+    T2 + 2Tm (Sm )
(A.177)

V tomto případě je rozdíl energií kladný

  ′    exc′
Eγ − E γ  ≈  0,21 eV,
(A.178)

k excitaci takového jádra Sm tedy může dojít.

Kromě tepelného pohybu jader Sm bychom měli vzít v úvahu i nenulovou šířku excitované hladiny Sm. Příslušný poločas rozpadu je T12 = 28,2 fs [53], šířka hladiny Γ je tedy

    ℏc ln 2
Γ = ------≈  0,02 eV.
     cT1∕2
(A.179)

Šířka hladiny tedy nehraje klíčovou roli, podstatný je tepelný pohyb jader Sm.

Zadání příkladu 10.6

Příklad 10.7. Z univerzality leptonů – viz kapitolka 10.7 a relace (10.21), (10.22a) – vyplývá pro parciální rozpadovou šířku τ-leptonu

                                 (    )
    −    −           −     −       m-τ  5
Γ (τ   → e  ντ¯νe) = Γ (μ →  e νμ¯νe)  m μ   .
(A.180)

Protože BR(μ eνμνe) 1, můžeme poslední vztah přepsat

                    (    )5         (    )5
   −    −             m-τ     --ℏc-  -mτ          − 4
Γ (τ → e  ντ¯νe) = Γ μ mμ    = cτ(μ)  m μ    ≈ 4⋅10   eV.
(A.181)

Tato hodnota souhlasí s experimentálním údajem [1]:

                    ℏc
Γ (τ− → e− ντ¯νe) = ----- BR (τ − → e− ν τ¯νe) ≈ 4⋅ 10−4 eV.
                  cτ(τ)
(A.182)

Zadání příkladu 10.7

Příklad 11.1. V případě zachování CP jsou stavy |K0L, |K0Stotožné se stavy |K01, |K0+1. Důkaz provedeme přímo použitím definičních vztahů (11.19a), (11.19b):

pict

Zadání příkladu 11.1

Příklad 11.2. Pro parciální šířku rozpadu K0 f platí

         |         |
Γ  = -1--||⟨f| ˆH |K0 ⟩||2Φ
 f   2M       w        f
(A.183)

Při zachování CP je hamiltonián slabé interakce Ĥw invariantní vůči působení operátoru ĈP:

(    )−1    (    )
  ˆCPˆ    ˆHw  CˆˆP  =  ˆHw
(A.184)

Zapůsobením operátoru ĈP dostaneme výraz

pict

kde Γf je parciální šířka rozpadu K0 f.

Zadání příkladu 11.2

Příklad 11.3. Rozpadová šířka Γ souvisí se střední dobou života vztahem:

        ℏc
Γ S,L = -----
       cτS,L
(A.186)

Z rovnice (11.18) vyplývají vztahy pro rozpadové šířky obou mezonů, po dosazení tedy dostáváme hledané hodnoty parametrů

pict

Zadání příkladu 11.3

Příklad 11.4. Všechny zmíněné mezony mají nulový spin, proto v rozpadu K 2π musí být orbitální moment L = 0. Zatímco pro paritu finálního stavu platí

P = (− 1)2 × (− 1)L = 1,

nábojová parita je podle vztahu (6.35)

        L+S        0+0
C = (− 1)   =  (− 1)    = +1,

a tedy kombinovaná parita CP(2π) = +1.

Situace v rozpadu K 3π je trochu složitější. Označme L vzájemný orbitální moment dvou pionů a l orbitální moment třetího pionu vzhledem ke zmíněné dvojici pionů. Parita takového systému bude vždy

P =  (− 1)3 × (− 1)L+l = − 1,

neboť L + l = SK = 0 a tedy L = l. Jsou-li ve finálním stavu tři neutrální piony, které jsou vlastním stavem nábojové parity (C(π0) = +1), je C(3π0) = +1, a tedy CP(3π0) = 1. V případě finálního stavu π+ππ0 je jeho nábojová parita

C (π+π − π0) = C(π+ π− )C (π0) = (− 1)L × 1 = (− 1)L

Stav s L = 0 bude dominovat, neboť stavy s L > 0 budou potlačeny díky odstředivé bariéře. Dostáváme tedy CP(π+ππ0) ≈−1, přičemž rovnost platí pro L = 0. Celkem tedy také platí CP(3π) ≈−1.

Zadání příkladu 11.4

Příklad 11.5. Členy na hlavní diagonále jsou stejné díky CPT symetrii:

pict

Pro vyjádření nediagonálních členů využijeme CP symetrii, konkrétně vztah (11.5) a CP-paritu dvojice, resp. trojice pionů (viz příklad 11.4):

pict

Vyjádříme nyní rozpadové šířky K0S a K0L v hadronových kanálech. Opět vidíme, že K0L se nerozpadá na dva piony, zatímco K0S se rozpadá téměř výhradně na dva piony:

pict

Zadání příkladu 11.5

Příklad 11.6. Vyjdeme ze vztahů (11.32a)–(11.32b), ze kterých vyplývá

pict

Pro časové vývoje stavů dostaneme

pict

kde jsme pro zjednodušení zápisu označili

        1(   1-     i        1-     i   )
f±(t) ≡ -- e−2ℏΓ Lte− ℏMLt ± e−2ℏΓ Ste− ℏMSt .
        2
(A.192)

Pro pravděpodobnosti přechodů pak vyplývá:

pict

Vidíme tedy, že v případě |q∕p| = 1 (CP-zachování) jsou stejné pravděpodobnosti přechodu PK0K0(t) a PK0K0(t), zatímco rovnost PK0K0(t) PK0K0(t) je důsledkem CPT symetrie:

⟨K0 |K0 (t)⟩ = ⟨K0|e−iˆHt|K0 ⟩ = ⟨K0 |(CˆˆPTˆ)−1e−iˆHt(ˆCPˆˆT)|K0⟩ =
                        ˆ                ˆ
           = ⟨¯K0|ˆT−1e− iHtTˆ|K¯0 ⟩ = ⟨K¯0 |e+iHt|¯K0⟩ = ⟨¯K0|¯K0(t)⟩∗

Zadání příkladu 11.6

Příklad 11.7. Pro periodu oscilací Losc zřejmě platí

2π = (|ML--−-MS-|)t= (|ML-−--MS-|)ct=  (|ML--−-MS-|)Losc-
           ℏ              ℏc               ℏc

a tedy pro rozdíl hmot dostáváme

|M   − M  | = 2πℏc-= 6,28×--197⋅106-eV-×-10−15-m-≈ 3,5 ⋅10−6 eV
  L     S    Losc              0,35 m

Zadání příkladu 11.7

Příklad 11.8. V oddíle 11.1.2 jsme pro pravděpodobnosti přechodů odvodili výrazy (viz též příklad 11.6)

pict

Aby byla intenzita K0 a K0 stejná, musí platit podmínka

|MS-−-ML-|t = π-.
    ℏ         2
(A.195)

V rovnici (A.195) vystupuje vlastní čas (v soustavě spojené s K-mezonem), pro vzdálenost v laboratorním systému proto platí:

            --γ-βπℏc----
l0 = γ βct = 2|MS − ML | ≈ 18 cm,
(A.196)

neboť podle zadání je γβ = 2.

Podle výběrového pravidla (6.23) pro semileptonové rozpady hadronů se v přírodě realizují rozpady K0 + + X, K0 + X. Ve vzdálenosti 2l 03 je

   ( M   − M   )       (π )   1
cos  --S-----Lt  =  cos  -- =  -,
         ℏ              3     2

dosazením do vztahů (A.194a), (A.194b) dostaneme výsledek

                   ||              1        1       1 ΓS+ΓL-||
N-(e− )  PK0→-¯K0-(t)|            e−ℏΓ St +-e−-ℏΓ Lt −-e−ℏ-2-t|
N (e+) = PK0→K0  (t)||     πℏ  =  e− 1ℏΓ St + e− 1ℏΓ Lt + e− 1ℏ ΓS+Γ2Lt|| πℏ ≈
                    t= 3|MS−ML-|                             t=3|MS−-ML|
       ≈ 0,54.

Zadání příkladu 11.8

Příklad 11.9. V obou případech jde o dvoučásticové rozpady částic, jejichž hmoty jsou prakticky stejné. Hmoty částic ve finálním stavu jsou také téměř stejné, fázové objemy obou rozpadů lze tedy považovat za identické. Pro poměr maticových elementů tedy platí

                    ∘ ---------------
|ℳ--fi(K+-→--π+π0-)|-    Γ-(K+--→--π+π0)
 |ℳ fi(K0 →  ππ)|  =     Γ (K0 → ππ)
(A.197)

Dále si musíme uvědomit, že K0 není vlastním stavem slabé interakce, ale superpozicí K0S a K0L, viz vztah (11.20). V oddíle 11.1.2 jsme také zjistili, že na dva piony se rozpadá jen K0S. Vztah (A.197) můžeme tedy upravit

      +     +  0    ∘ ---------------------0-
|ℳ--fi(K---→--π-π-)|-=   BR-(K+--→-π+-π0)cτ(K-S)
 |ℳ  fi(K0 →  ππ)|       12BR (K0S →  ππ)cτ(K+ )
(A.198)

Dosazením experimentálních hodnot větvicích poměrů BR a středních dob života [1] dostaneme výsledek 5,5%.

Zadání příkladu 11.9

Příklad 11.10. V přírodě se realizují jen semileptonové rozpady (11.23a), (11.23b), viz oddíl 11.1.2. Proto platí

    |       |2   |       |2        2        2
    |⟨K0-|K0L⟩|-−-|⟨K¯0-|K0L⟩|--  |1-+-𝜖|-−-|1-−-𝜖|-
δ = ||⟨K0 |K0 ⟩||2 + ||⟨K¯0 |K0 ⟩||2 = |1 + 𝜖|2 + |1 − 𝜖|2 ≃ 2 Re 𝜖
          L           L
(A.199)

Zadání příkladu 11.10

Příklad 11.11. Amplitudu rozpadu K0 rozdělíme na dvě části podle izospinu koncového stavu, viz vztahy (11.47a) a (11.47b). Podle výběrového pravidla (6.28) dominuje amplituda rozpadu do koncového stavu s izospinem I = 0, tj. |𝒜0|≫|𝒜2|. Nejprve odvoďme vztahy pro amplitudy rozpadu K0:

pict

Analogický vztah bude platit pro amplitudu rozpadu do stavu s I = 2. Použitím vztahů (11.37a), (11.37b) snadno určíme jednotlivé amplitudy rozpadu

pict

přičemž pro I = 2 platí analogické vztahy. Koncové stavy složíme pomocí dvou zmíněných izospinových stavů, viz relace (11.46a), (11.46b). Připomeňme, že operace ĈP nemění silnou fázi, neboť silné interakce jsou invariantní vůči CP symetrii. Vzhledem k tomu, že ve zmíněných čtyřech amplitudách vystupují čtyři nezávislé fáze (δ0, δ2 a fáze komplexních amplitud 𝒜0, 𝒜2), lze jednu z nich zvolit reálnou. Uvažujme tedy 𝒜0 ∈ℜ. Pro poměr amplitud η+ pak dostáváme:

pict

Při odvození jsme použili Taylorův rozvoj do prvního řádu v proměnných 𝜖 a 𝒜2𝒜0, neboť je |𝒜0|≫|𝒜2|. Stejným postupem odvodíme vztah (11.48b).

Zadání příkladu 11.11

Příklad 11.12. Vyjděme ze vztahů (11.60a), (11.60b) pro maticové elementy. Hledané pravděpodobnosti jsou pak dány kvadráty těchto elementů. Dostáváme tak:

pict

Zavedeme-li dále Γ L + ΓH)2, ΔM MH ML, ΔΓ = ΓH ΓL, zjednoduší se výše uvedený výraz na tvar

pict

Podobně pro pravděpodobnost rozpadu M0 f dostaneme

pict

U těžkých mezonů D, B je ΔΓ 0, čímž se výše uvedené vztahy dále zjednoduší:

pict

Zadání příkladu 11.12

Příklad 11.13. Vyjdeme z obecné definice (11.59a), (11.59b), odkud vyjádříme

pict

Časový vývoj vyjádříme pomocí vlastních stavů slabé interakce

  0      1-(  − ΓH2ℏt −iMHℏt 0     − ΓL2tℏ −iMLℏt 0 )
|B  (t)⟩ = 2p  e    e     |BH ⟩+ e    e     |BL⟩  .
(A.209)

Označíme-li

       (   Γ t   M t     Γ t   M t)
f±(t) ≡  e−2Lℏ-e−i-Lℏ-± e− 2Hℏ-e−i-Hℏ-  ,
(A.210)

můžeme vyjádřit maticové elementy:

pict

Předpokládejme, že oscilace dominují a zanedbejme vliv přímého CP-narušení. V takovém případě je |q∕p| = 1 a podle pravidla ΔQ = ΔB existují semileptonové rozpady B0 + + X, B0 + X, tedy

pict

podobně pro ostatní kombinace nábojů leptonů. V případě B-mezonů lze zanedbat rozdíl mezi rozpadovými šířkami (ΓH = ΓL = Γ), výraz (A.210) se dále zjednoduší:

pict

Po integraci funkcí f+(t),f(t) (viz vztah (A.212)) dostaneme

                              2     2       2
N (ℓ+ ℓ+)+ N (ℓ− ℓ− )      2ℏ(2Γ2+ΔM--)2--ℏ(Δ2M--)2--
---+--−-------−-+--=  (----2Γ (Γ-+-Δ)M2-)-2Γ( (Γ-+ΔM-)-)2-=
N (ℓ ℓ )+ N (ℓ ℓ  )    ℏ(2Γ 2+2-ΔM2)2  +  ---ℏΔ2M2--2-
                       2Γ( (Γ+ ΔM))     2Γ (Γ( +ΔM ))
                       --2-+-x2-x2--   x2--2+-x2---
                   = 2 (2 + x2)2 + x4 = x4 + 2x2 + 2,

což jsme měli ukázat.

Zadání příkladu 11.13

Příklad 11.14. Stejným postupem jako v příkladech 11.6 či 11.13 dostaneme pro pravděpodobnosti přechodů výrazy:

pict

S použitím definice (11.64) a vztahů (11.65a), (11.65b) dostaneme výraz

         | |2  | |2
         ||pq|| − ||qp||    |p|4 − |q|4
ASL(B) = |-|2--|-|2 = --4-----4 ,
         ||p|| + ||q||    |p| + |q|
          q     p

což jsme měli ukázat. Parametrizujeme-li nepřímé CP narušení pomocí komplexního parametru 𝜖 (viz relace (11.36a), (11.36b)), dostáváme v prvním řádu Taylorova rozvoje

          |1 + 𝜖|4 − |1 − 𝜖|4
ASL (B ) = -----4--------4-≈ 4 Re 𝜖.
          |1 + 𝜖| + |1 − 𝜖|

Zadání příkladu 11.14

Příklad 11.15. Stavy |K0, |K0jsou vlastními stavy operátoru parity s vlastním číslem 1 (viz relace (11.4a)), působením operátoru parity se však změní směr nahoru a dolů (U, D):

Pˆψ(K0,K¯0 ) = √1-(|¯K0⟩D|K0 ⟩U − |K0⟩D |¯K0 ⟩U) =
               2
                1  (  0 U  0 D     0 U  0 D )        0  0
           = − √--- |K¯ ⟩ |K ⟩  − |K  ⟩ |¯K ⟩   = − ψ(K  , ¯K )
                 2

Působení operátoru nábojového sdružení jsme definovali vztahem (11.5). Dostáváme tak

      0  0    -1-(  0 U   0D     0 U   0D )
Cˆψ(K ,K¯ ) = √2- |K ⟩ |¯K ⟩  − |¯K ⟩  |K  ⟩  =
                   (                        )
           =  −√1-- |K¯0 ⟩U|K0⟩D − |K0 ⟩U|¯K0⟩D  = − ψ(K0, ¯K0)
                 2

Zadání příkladu 11.15

Příklad 11.16. Vzhledem k rozpadu ϒ(4S) B0B0 jde o kvantově provázané oscilace. Vyjdeme z vlnové funkce systému B0B0 (11.82) a vyjádříme její časový vývoj:

    0  0           --1---[ − ΓLtU −iMLtU 0 U  − ΓHtD −-iMHtD  0 D
ψ (B L,BH )(tU,tD ) = 2√2pq e  2ℏ e   ℏ  |BL⟩  e  2ℏ e   ℏ   |B H⟩ −
                        ΓHtU- −iMHtU-        ΓLtD- −iMLtD-     ]
                   − e−  2ℏ  e  ℏ   |B0H⟩Ue−  2ℏ e  ℏ   |B0L⟩D .
(A.215)

U B-mezonů můžeme zanedbat rozdíl rozpadových šířek (ΓL = ΓH = Γ). Dále vyjádříme vlastní stavy slabé interakce pomocí |B0,|B0, po algebraických úpravách dostaneme relaci

           --1--  −Γ−-i(MH+ML)(tU +tD )
ψ (tU ,tD ) = √2pq e    2ℏ          ×
             [                                  (             )
           ×  (p2|B0⟩U|B0⟩D − q2|¯B0⟩U|¯B0⟩D )isin   ΔM--(t − t )  +
                                                  2 ℏ  U    D
                                              (             ) ]
                 ( ¯0 U  0 D     0 U ¯0 D)      ΔM--
             + pq |B ⟩ |B ⟩  − |B ⟩ |B ⟩   cos   2ℏ (tU − tD )  .
(A.216)

Předpokládejme pouze oscilace bez narušení CP symetrie. V takovém případě je |q∕p| = 1 a podle pravidla ΔQ = ΔB existují semileptonové rozpady B0 + + X, B0 + X. Pro kvadráty maticových elementů tak dostaneme

pict

Po integraci přes tU,tD dostáváme pro poměr počtu leptonů se „špatným“ a „správným“ znaménkem náboje

   + +        − −     --ℏ2ΔM2---       2
N-(ℓ--ℓ-)+-N-(ℓ-ℓ-)-= -Γ 2(Γ 2+ΔM2-)-=-x----,
N (ℓ+ ℓ− )+ N (ℓ− ℓ+)   ℏ2(22Γ2 2+-ΔM22-)  2+ x2
                      Γ (Γ +ΔM  )

což jsme měli ukázat.

Zadání příkladu 11.16

Příklad 11.17. Energii pozitronů určíme z rovnosti Mandelstamova invariantu s v LAB, resp. CMS. Při zanedbání hmot elektronu/pozitronu platí

((E1,0,0,E1 )+ (E2,0,0,− E2))2 = m2    ,
                                   ϒ(4S)
(A.218)

pro energii pozitronů tak dostáváme

       2
     m-ϒ(4S)-
E2 =  4E1   ≈ 3,5 GeV.

Protože pár B-mezonů vzniká rozpadem rezonance s definovanou CP-paritou, jedná se o oscilace kvantově provázaných mezonů. Příslušné kvadráty amplitud jsme již odvodili v příkladu (11.16), viz vztahy (A.217a), (A.217b). Pravděpodobnost P(B0B0), že v daných časech tU,tD došlo k rozpadu dvou B0-mezonů, je dána poměrem

               |                   |2
    0 0    ----|U⟨B0|D⟨B0-|ψ-(tU,tD-)⟩|-----
P (B B ) =    ∑     |U⟨X |D ⟨Y|ψ(t ,t  )⟩|2 ,
           X,Y=B0,¯B0             U  D
(A.219)

kde jmenovatel představuje úplnou množinu možných variant rozpadu. Použitím výše uvedených vztahů tak dostáváme

pict

Součet všech pravděpodobností je roven jedné. Časy vystupující v uvedených výrazech jsou vlastní časy v klidových systémech jednotlivých B-mezonů. Pro vzdálenost l měřenou v laboratorním systému platí

l = γ βct,
(A.221)

kde β,γ jsou rychlost a odpovídající relativistický faktor B-mezonů a t je vlastní čas. Vzhledem k tomu, že zanedbáváme hybnosti B0, B0 v CMS, jsou jejich β,γ stejné jako u mateřské rezonance ϒ(4S). Platí tedy

pict

Kombinací vztahů (A.220a)–(A.222b) dostaneme výsledky:

pict

Musíme si uvědomit, že stavy B0B0 a B0B0 jsou nerozlišitelné, proto příslušné pravděpodobnosti sčítáme.

Zadání příkladu 11.17

Příklad 12.1. Označme frakci čtyřhybnosti protonu, kterou nese kvark, jako x ∈⟨0,1, obdobně x pro antikvark v antiprotonu. Hodnota invariantu s pro srážku kvarku s antikvarkem pak činí:

                2           2
sq¯q = (x|⃗p|+ ¯x|⃗p|) − (x ⃗p− ¯x⃗p)  = x¯xsp¯p ,
(A.223)

kde p je hybnost protonu v jednom svazku a ve výpočtu jsme zanedbali hmoty částic. Známe-li průběh partonových distribučních funkcí q(x), je pravděpodobnost výskytu kvarku q s frakcí čtyřhybnosti x vyjádřena výrazem xq(x). Hodnota pozorovaného účinného průřezu je pak dána vztahem

               ∫1   ∫1

σp¯p→Z0→ μ+μ− =   dx   d¯xxq (x)¯x¯q(¯x) δ(x¯xsp¯p − sq¯q)σq¯q→Z0 →μ+μ− (sqq¯)
               0    0
(A.224)

Optimální energii svazků můžeme odhadnout z následující úvahy. Protože kvarky u a d v protonu mají dohromady přibližně 1/2 hybnosti protonu, připadá na každý ze tří valenčních kvarků asi x= 16 hybnosti protonu. Obdobně pro antikvarky v antiprotonu. Pro produkci intermediálního bosonu Z0 potřebujeme sqq = mZ2, podle vztahu (A.223) dostáváme pro energii jednoho protonového svazku

                ∘ -----    ∘ -------
     1-√ ---   1- -m2Z-   1-  -m2Z--
Ep = 2   sp¯p = 2  ⟨xx¯⟩ ≃ 2   ⟨x ⟩⟨¯x⟩ ≃ 270 GeV

Zadání příkladu 12.1

Příklad 12.2.

PICT

Obrázek A.2:Feynmanův diagram procesu e + e+ Z0 f + f, v závorkách jsou uvedeny čtyřhybnosti jednotlivých částic použité ve výpočtu maticového elementu.

Feynmanův diagram zmíněného procesu je zobrazen na obr. A.2. Maticový element má tedy tvar

                                            − gμν + (k+p)μ(k2′+p′)ν
iℳ   =i ¯v(p )γμ [(1 − γ5)gL + (1 + γ5)gR]u (k )⋅i------------mZ-----⋅
    fi                                         s− m2Z + imZ Γ Z
       ⋅i¯u(k′)γ [(1 − γ )g  + (1+ γ )g  ]v(p′).
               ν      5  L        5  R
(A.225)

Předpokládejme, že hmoty všech fermionů v interakci (12.23) můžeme zanedbat. Kvadrát maticového elementu zprůměrovaný přes spiny fermionů v počátečním stavu a vysčítaný přes spiny fermionů v koncovém stavu bude mít tvar

pict

kde s,t,u jsou Mandelstamovy invarianty. Při odvození výrazu (A.226) jsme dále použili definici vazbových konstant gL,gR (12.4). Pro úhlové rozdělení platí vztah

  dσ       1  -----2
------ = -----|ℳ fi| .
d cos𝜃   32πs
(A.227)

Vyjádříme-li Mandelstamovy invarianty t,u pomocí vztahů (2.40a), (2.40b), dostaneme po integraci výraz pro celkový účinný průřez interakce (12.23)

         1                         (       ) (       )
        ∫   d σ               πα2s  L2i + R2i   L2f + R2f
σZ0(s) =   dcos𝜃-d cos𝜃 = ----4-----4---[------2-2-----2-2]-.
        −1                3sin 𝜃w cos 𝜃w (s− m Z)  + m ZΓZ
(A.228)

Vyjádřeme nyní úhlové rozdělení pomocí vztahů (A.226)–(A.228). Dostáváme tak výraz

                        ⌊         (        )(        )         ⌋
  d            3                   L2i − R2i L2f − R2f (      )
------σZ0(s) =---2 σZ0(s)⌈u2 + t2 + (------)(--------)  u2 − t2 ⌉ =
dcos𝜃         4s                   L2i + R2i L2f + R2f
                      (                   2     2        )
            = 3-σ 0(s)  1+ 2 cos𝜃L2i −-R2iLf-−-R-f+ cos2𝜃  ,
              8  Z               L2i + R2iL2f + R2f

což jsme měli ukázat.

Zadání příkladu 12.2

Příklad 12.3. Vyjdeme ze vztahu pro úhlové rozdělení (12.24). Pro počty případů F,B zřejmě platí:

pict

Pro předo-zadní asymetrii tak dostáváme výraz

                   2    2 L2 − R2
AfFB ≡ F--−-B =  3L-i −-R-i-f----f-.
      F  + B    4L2i + R2i L2f + R2f
(A.230)

Zadání příkladu 12.3

Příklad 12.4. Účinné průřezy pro interakci neutrin s kvarky lze spočítat v rámci Standardního modelu. Výpočet provedeme při nízkých energiích (s mW2) a při zanedbání hmot kvarků. Pro účinné průřezy neutrin dostaneme následující výrazy:

pict

Pro účinné průřezy antineutrin pak odvodíme:

pict

Ve výše uvedených výrazech jsme již použili L(ν) = 12 a R(ν) = 0, což přímo vyplývá z definic (12.5a), (12.5b), viz též výrazy (12.32), (12.33). Pro terče se stejným počtem protonů a neutronů, tj. kvarků u, d (tzv. izoskalární terče) musí platit

σ νN ∝ σνu + σ νd
(A.233)

Použitím všech výše zmíněných rovnic a definic vazbových konstant L(u), R(u), L(d), R(d) (vztahy (12.5a), (12.5b)) tak dostáváme:

pict

Tím jsou vztahy (12.13), (12.14) prakticky dokázány.

Zadání příkladu 12.4

Příklad 12.5. V limitě nehmotných fermionů má kvark zápornou helicitu (a tedy projekci spinu do osy z Sz = 12), zatímco antikvark kladnou helicitu (a tedy Sz = 12, neboť antikvark letí ve směru záporné osy z). Případný orbitální moment v počátečním stavu by měl nulovou projekci do osy z, proto je Sz(W) = 1.

Úhlové rozdělení rozpadajícího se polarizovaného W lze spočítat několika způsoby:

Otáčení spinu fermionů:
nehmotné leptony v rozpadech W-bosonu mají ostrou hodnotu helicity, tj. projekci spinu do osy svého pohybu, viz obr. A.3. W má ostrou hodnotu projekce spinu v ose z, musíme tedy určit pravděpodobnost, s jakou mají leptony odpovídající projekci spinu do této osy.

Uvažujme fermion se zápornou helicitou pohybující se v kladném směru osy z. Pravděpodobnost kladné projekce spinu do této osy musí být 0%, záporné 100%. Otočíme-li souřadný systém o úhel 𝜃 = π, změní se i projekce spinu do této osy. Ve spinovém prostoru se dvěma možnými projekcemi spinu tato operace tedy odpovídá otočení o úhel 𝜃∕2, neboť oba spinové stavy musí být vzájemně kolmé. Pro fermion se zápornou helicitou tak dostáváme následující pravděpodobnosti P projekcí spinu do osy z: Sz = 12 P = sin2𝜃∕2, Sz = 12 P = cos2𝜃∕2. Pro kladnou helicitu fermionu pak stejnou úvahou dostaneme obrácené pravděpodobnosti.

Kvůli zachování projekce spinu v obou zmíněných rozpadech tak musí mít oba leptony projekce spinů do kvantovací osy Sz = 12. Úhlové rozdělení v každém rozpadu je pak dáno součinem pravděpodobností, že daný lepton má zmíněnou projekci. Dostáváme tak:

pict

PICT      PICT

Obrázek A.3:Kinematické konfigurace rozpadů (12.34a), (12.34b) spolu s helicitami rozpadajícího se W-bosonu a dceřiných fermionů.
Otáčení spinu W-bosonu:
pokud určíme pravděpodobnost projekce spinu bosonu W do osy pohybu dceřiných částic, bude úloha vyřešena (viz výše). Operátor projekce spinu do směru svírajícího s osou z úhel 𝜃 je
 ˆ      −i𝜃ˆS2 ˆ i𝜃Sˆ2
S (𝜃) = e    S3 e   ,
(A.236)

neboť jde o rotaci spinového operátoru kolem osy y. V prostoru jednotkového spinu můžeme operátory Ŝ2,Ŝ3 projekcí spinu do osy y, resp. osy z nahradit maticemi 3 × 3. Vzpomeneme-li si na posunovací operátory

pict

musí v maticové formě platit:

pict

Z posledních dvou vztahů odvodíme maticové tvary S± a z definice (A.237a) i maticový tvar S2. Dále snadno ukážeme

e− i𝜃S2 = 1− iS2sin𝜃 + S22(cos𝜃 − 1)
(A.239)

Má-li W-boson projekci spinu Sz(W) = 1 do osy z, jsou stavy po otočení

      (    )     (            )
         0      1    1−√ cos𝜃
e− i𝜃S2(  0 ) =  -(  −   2sin 𝜃 )
         1      2    1+ cos𝜃
(A.240)

Pravděpodobnost projekce spinu S3(W) = 1 do osy dceřiných částic je tedy úměrná (1 + cos𝜃)24, což je stejný výsledek jako v předešlém postupu, viz vztah (A.235a).

Přímý výpočet maticového elementu
provedeme pro případ d + u W + ν. Příslušný Feynmanův diagram je zobrazen na obr. A.4. Maticový element tohoto procesu má tvar4
pict

kde rovnost platí pro částice s nulovou hmotou. Úhlové rozdělení je dáno kvadrátem maticového elementu

pict

Dostali jsme tak opět stejný výsledek, viz vztah (A.235a). Snadno nahlédneme, že úhlové rozdělení pro rozpad W+ dostaneme záměnou kp, výsledek se shoduje se vztahem (A.235b).

PICT

Obrázek A.4:Feynmanův diagram procesu d + u W + ν, v závorkách jsou uvedeny čtyřhybnosti jednotlivých částic použité ve výpočtu maticového elementu.

Zadání příkladu 12.5

Příklad 12.6. Bosony W vznikající v reakcích (12.15), (12.16) ve srážkách protonů s antiprotony mají helicitu Sz(W) = 1. Odpovídající úhlová rozdělení jsou

pict

viz též příklad 12.5. Při měření invariantní hmoty nelze rozlišit mezi rozpady s úhly 𝜃 a π 𝜃, proto úhlové rozdělení např. pro W lze vyjádřit

                (1 + cos𝜃∗)2   ( 1 + cos(π − 𝜃∗))2   1 + cos2𝜃∗
ψ(W − →  ℓ− ¯ν) ∝ ---------   +   --------------   = ----------
                     2                 2                 2
(A.244)

Snadno nahlédneme, že stejný výsledek dostaneme i pro W+.

Zadání příkladu 12.6

Příklad 12.7. V těžišťové soustavě souvisí příčná invariantní hmota a skutečná invariantní hmota vztahem (12.26). Máme tedy

pict

Přímou integrací zjistíme, že norma tohoto rozdělení je 2/3.

Zadání příkladu 12.7

Příklad 12.8. Zanedbáme-li hmoty leptonů, platí pro invariantní hmotu elektronů i,j

m2  = (P  + P )2 = 2 (pp − ⃗p ⋅⃗p ).
  ij     i   j        ij    i  j
(A.246)

Dosazením zadaných hodnot dostáváme výsledky:

m12 = 78,0 GeV,     m13 = 91,3 GeV,     m23 = 140,9 GeV.

Z rozpadu W-bosonu tedy vznikl elektron č.2, neboť invariantní hmota zbylých dvou elektronů odpovídá hmotě Z0.

Hybnost neutrina odpovídá chybějící hybnosti, složku hybnosti v ose z určíme z relace pro invariantní hmotu W-bosonu:

m2  =  (P   + P  )2 = 2 (p p miss− ⃗p ⋅⃗p miss)
  W      e2    νe        e2 T      e2   T
(A.247)

Vztah (A.247) představuje kvadratickou rovnici v proměnné x, řešením je

x1 = 75,5 GeV,     x2 = 1071,5 GeV.

Druhé řešení je zřejmě nefyzikální, neboť součet složek pz hybností všech leptonů by byl

∑
    pz = 1302,5 GeV > 1 TeV.

Kvark a antikvark, vstupující do interakce (12.35), letí v ose z proti sobě a mají hybnosti v intervalu (0,1) TeV, celková hybnost v této ose tedy nemůže být větší než 1 TeV. Úloha má proto jen jedno řešení, energie neutrina je

E  =  ||⃗p miss||    = 102,9 GeV.
 νe    T   x=x1

Rychlost bosonu W v laboratorním systému je zřejmě

                  ||⃗p  +  ⃗pmiss||
βW  = pW--=  ∘-(---e2----T)--------=  0,948.
      EW        ⃗pe2 + ⃗pmiss2 + m2
                      T         W

Zadání příkladu 12.8

Příklad 13.1. Top-kvark se téměř ve 100% případů rozpadá t W+ + b. Označme P1 (= 19) pravděpodobnost, že se W-boson rozpadne na τ-lepton a jeho (anti)neutrino, a dále P2 (= 0,36) pravděpodobnost, že dojde k leptonovému rozpadu τ. Mohou nastat tyto případy:

  1. Lepton τ vznikne z obou W-bosonů a alespoň jeden se dále rozpadne leptonově. Příslušná pravděpodobnost je
            [            ]
Pa = P 21 1−  (1 − P2)2
    (A.248a)

  2. Pouze jeden W-boson se rozpadne na τ-lepton a ten se rozpadne leptonově. Pravděpodobnost je
    Pb = 2P1(1 − P1)P2
    (A.248b)

Sečtením pravděpodobností a dosazením hodnot P1, P2 dostáváme

Pa + Pb = P1P2(2− P1P2 ) = 7,8 % .

Zadání příkladu 13.1

Příklad 13.2. Označme Ei = |pi|. Hmotu top-kvarku určíme jako invariantní hmotu tří (nehmotných) jetů

  2                 2               2
m t = (Eb + E1 + E2) − (⃗pb + ⃗p1 + ⃗p2) .
(A.249)

Podle zadání jsou všechny tři vektory hybností vzájemně kolmé, vztah (A.249) lze tedy zjednodušit na tvar

      ∘ -----------------------
mt =    2(EbE1 + EbE2  + E1E2 ) = 176,6 GeV.

Opravu energií jetů 1, 2 provedeme pomocí vazbové podmínky na invariantní hmotu mW. Minimalizujeme funkcionál

    ′   ′     ( E1 − E ′1)2   (E2 − E ′2)2     (  ′  ′    2 )
F (E1,E 2,λ ) =  ---σ----   +  ---σ----   + λ  2E1E 2 − m W ,
                    1             2
(A.250)

přičemž ve vazbové podmínce jsme opět využili p1 p2. Parciálními derivacemi dostáváme tři rovnice

pict

Vzhledem k tomu, že E1 = E2, je také σ1 = σ2, rovnice (A.251a) a (A.251b) jsou proto identické a pro opravené energie tedy platí

E′1 = E2′= mW√---
             2
(A.252)

Kombinací vztahů (A.249) a (A.252) dostaneme opravenou hmotu top-kvarku

     ∘ -----------------
  ′      2    √4-
m t =  m W +   2 EbmW   = 170,9 GeV.

Zadání příkladu 13.2

Příklad 13.3. Pro vysoké hmoty Higgsova bosonu stačí vzít v úvahu rozpady na páry intermediálních bosonů W+W, Z0Z0 a pár tt. Jednotlivé rozpadové šířky určíme ze vztahů (13.2a)–(13.2c) na stromové úrovni, celková rozpadová šířka je

Γ H0 ≈ Γ H0→t ¯t + Γ H0→W+W − + Γ H0→Z0Z0 ≈ 114 GeV.

Zadání příkladu 13.3

Příklad 13.4. Dosazením hmot mH,mW,mt do vztahů (13.3)–(13.4c) získáme pro poměr příspěvků diagramů

||     0               ||           2    2
ℳ--fi(H-(ΔW--) →-γ-+-γ)-=  ---F1(4mW-∕m-H-)---≈ 4,5.
|ℳ fi(H0 (Δt) → γ + γ)|    3⋅ 49 ⋅F1∕2(4m2t∕m2H )

K určení příspěvku velmi těžkých částic v trojúhelníkové smyčce potřebujeme Taylorův rozvoj v okolí x = 0

       |
arcsin x| =  x+ 1-x3 + O(x4).
       |0      6
(A.253)

Nyní určíme příslušné limity

pict

Pro poměr příspěvků diagramů rozpadu H0 γ + γ s trojúhelníkovou smyčkou velmi těžkého vektorového bosonu (předpokládáme náboj |Q| = 1), fermionu (počet barev Nc, náboj Q) a skalárního bosonu (|Q| = 1) tak dostáváme

|    |  |      | |     |
|ℳ  fi,1| :|ℳ  fi,1∕2| :|ℳ fi,0| = 7 : 4-Nc Q2 : 1-.
                             3        3

Pro W-boson a top-kvark dostaneme poměr

|     | |      |  |    |      16  1
|ℳ fi,1| :|ℳ fi,1∕2| :|ℳ fi,0| = 7 :---:--.
                              9   3

Zadání příkladu 13.4

Příklad 13.5. Leptony τ z rozpadu Higgsova bosonu mají veliký Lorentzův faktor γ, neboť mH mτ. Díky tomu mají neutrina z rozpadů τ-leptonů

pict

téměř stejný směr jako ostatní produkty rozpadů ( značí nabitý lepton, h jeden či více hadronů s uvedeným celkovým nábojem). Pro hybnosti neutrin tedy platí

⃗pνi = ki ⋅⃗pm,i,
(A.256)

kde pm,i jsou celkové naměřené hybnosti ostatních produktů rozpadu odpovídajícího τi (i = 1,2) a pνi je neznámá hybnost neutrina (v případě leptonového rozpadu (A.255a) jde o součet hybností obou neutrin). V kolineární aproximaci zanedbáváme hmoty τ-leptonů i produktů jejich rozpadů. Neznámé hybnosti neutrin pak určíme porovnáním s chybějící příčnou hybností ∕pT:

⃗∕p  = k1 ⋅ ⃗pm,1 + k2 ⋅⃗pm,2
 T
(A.257)

Tato relace platí pochopitelně jen v osách x,y a reprezentuje tak dvě rovnice o dvou neznámých k1,k2. Aby měly tyto rovnice řešení, nesmějí h∕ℓ z rozpadů obou τ-leptonů letět v jedné přímce v projekci do azimutální roviny detektoru. Obvykle požadujeme, aby pro jejich vzájemný azimutální úhel platilo

cos (Δ ϕ1,2) > − 0,9
(A.258)

Navíc uvažujeme jen řešení s ki > 0. Hmotu Higgsova bosonu pak určíme jako invariantní hmotu produktů rozpadu:

pict

kde 𝜃1,2 je vzájemný úhel pm,1 a pm,2. Spektrum rekonstruované hmoty Higgsova bosonu v kolineární aproximaci je zobrazeno na obr. A.5.

PIC

Obrázek A.5:Rekonstruovaná hmota Higgsova bosonu v rozpadu H0 τ+ + τ s použitím kolineární aproximace. Analýza byla provedena na úrovni generátoru Pythia [2] s hmotou mH = 125GeV, rozlišení a ostatní efekty detektoru nebyly započítány. Šířka píku tak reprezentuje rozlišení vlastní metody, které se škáluje s počtem neutrin ve finálním stavu. Vybírány byly případy splňující ∕pT > 40GeV a podmínku (A.258).

Zadání příkladu 13.5

Příklad 13.6. Hmotu Higgsova bosonu určíme jako invariantní hmotu čtyř mionů

m2H = (P1 + P2 + P3 + P4)2,
(A.260)

kde Pi = (pi,pi) jsou čtyřhybnosti jednotlivých mionů (hmotu mionů zanedbáváme). Technicky nejjednodušší je vyjádření hybností v kartézských souřadnicích, přičemž platí:

pict

Dosazením zadaných hodnot do vztahů (A.260)–(A.261d) dostaneme výsledek

mH  = 123,5 GeV.

Invariantní hmotu dvou částic i,j lze vyjádřit pomocí veličin pT,η,ϕ poměrně jednoduchým výrazem. Použitím vztahů (A.261a)–(A.261d) dostáváme

pict

Z hlediska nábojů mionů existují dvě možné kombinace přiřazení k mateřským Z-bosonům, dosazením zadaných hodnot do vztahu (A.262) dostáváme

pict

Rozdělení hmot všech nestabilních částic splňuje Breitovo-Wignerovo rozdělení, které má následující vlastnost: součin dvou takových rozdělení BW(m1) BW(M m1) je funkce se dvěma stejně vysokými maximy v bodech x1 = m1 a x2 = M m1. Rozpadá-li se tedy nějaká částice na dvě jiné nestabilní částice, přičemž mateřská částice má hmotu pod prahem produkce (např. v rozpadu H0 Z0Z0 je mH < 2mZ), vzniká jedna částice s hmotou blízkou své nominální hmotě (tzv. „on-shell“) a druhá s menší hmotou („off-shell“), nikoli dvě dceřiné částice s hmotou odpovídající polovině hmoty mateřské částice. První kombinace dává m13 mZ, což odpovídá výše zmíněné vlastnosti Breitova-Wignerova rozdělení, proto se realizuje tato kombinace.

Zadání příkladu 13.6

Příklad 14.1. V klidové soustavě rozpadajícího se pionu je energie a hybnost neutrina podle vztahů (2.10a), (2.10b)

           2     2
E = |⃗p| = mπ-−-m-μ-
            2m π

Zanedbáme-li hmotu neutrina, podle vztahu (2.8a) je jeho energie v laboratorní soustavě:

Elab = γπE (1 + βπcos𝜃) ≃ γπE (1+  cos 𝜃)
(A.264)

Nyní odvoďme vztah mezi úhlem emise 𝜃 neutrina v klidové soustavě pionu a v laboratorní soustavě (𝜃lab):

                                                         √--------
               p⊥,lab       E sin𝜃            sin 𝜃         1 − cos𝜃
𝜃lab ≃ tg 𝜃lab = p----= γ-E-(β--+-cos𝜃) ≃ γ-(1+-cos-𝜃) = γ-√1-+-cos𝜃-
                ∥,lab    π    π            π              π
(A.265)

Z tohoto vztahu snadno vyjádříme úhel v klidové soustavě pionu

                 2
cos 𝜃 = 1−-(γπ𝜃lab)-
       1+ (γπ𝜃lab)2
(A.266)

Pro energii neutrina v laboratorní soustavě dostáváme kombinací vztahů (A.264), (A.266)

          2γπE
Elab ≃ ----------2-
       1+ (γπ𝜃lab)
(A.267)

Jsou-li energie pionů v určitém intervalu (viz zadání), platí pro relativistický Lorentzův faktor γπ ∈⟨γπminπmax. Neutrina emitovaná ve směru pohybu pionů pak mají energii v intervalu

Elab(𝜃lab = 0) ∈ 2E⟨γmπin,γmπax⟩

Při vhodném laboratorním úhlu 𝜃lab můžeme docílit, aby energie neutrin odpovídající γπmin a γπmax byly stejné:

     min              max
---2γπ--E-----= ----2γπ--E----
1+ (γmπin𝜃lab)2   1 + (γmπax𝜃lab)2
(A.268)

Řešením této rovnice dostáváme

       ----1------  ----m-π-----
𝜃lab = ∘ γminγmax = ∘ Emin Emax
          π   π         π   π
(A.269)

Umístěním detektoru pod úhlem 𝜃lab vůči směru letu pionů tak lze připravit téměř monoenergetické svazky neutrin. Takové neutrinové experimenty nazýváme „off-axis“, příkladem jsou experimenty T2K v Japonsku a NOvA v USA.

Zadání příkladu 14.1

Příklad 14.2.

pict

kde jsme použili

∑                       ∑  (                  )∗
    U∗gjUfjUgiU∗fie−iϕij =     U ∗gjUfjUgiU ∗fie− iϕij
i>j                     i<j
(A.271)

Díky unitaritě PMNS matice platí

     ∑
δgf =    U ∗giUfi
      i

a tedy

      ∑    ∗        ∗   ∑    ∗        ∗   ∑  (  ∗        ∗        ∗  ∗   )
δgf =    UgiUfiUgjUfj =    U giUfiUgiU fi +     UgjUfjUgiU fi + UgjUfjUgiUfi
      i,j                 i                i<j
(A.272)

Dosazením rozvoje (A.272) do vztahu (A.270) dostáváme

pict

což jsme měli dokázat.

Zadání příkladu 14.2

Příklad 14.3. Rozdíl fází je třeba určit ve stejném čase t, který souvisí s L:

L =  ⟨β ⟩ct,
(A.273)

kde βje střední hodnota grupové rychlosti. Ukážeme, že v reálném případě pi mi je možné vzít prakticky libovolnou hodnotu mezi βi a βj:

       wpi + (1 − w )pj
⟨β ⟩ = wE--+-(1-−-w-)E-- , 0 ≤ w ≤ 1
         i           j
(A.274)

Úpravou dostáváme

pict

Dosazením do výrazu pro fázi dostaneme:

pict

Důležitá poznámka! Nelze porovnávat rozdíl fází pro různé časy. Častou chybou, která nesprávně předpovídá dvojnásobnou hodnotu rozdílu fází, je výpočet rozdílu fází v bodě L, ale pro různé časy ti a tj, které odpovídají rozdílným grupovým rychlostem neutrin:

pict

Zadání příkladu 14.3

Příklad 14.4. Invariance členu δgf je zřejmá. Podívejme se na záměnu f g u druhého členu:

   (            )      [(            ) ]     (             )
Re  U ∗fjUgjUfiU ∗gi = Re   U∗gjUfjUgiUf∗i ∗ =  Re U ∗gjUfjUgiU ∗fi
(A.278)

Vidíme, že i tento člen je invariantní vůči záměně f g.

Záměna ν ν se projeví v komplexním sdružení jednotlivých prvků PMNS matice, z poslední rovnosti ve vztahu (A.278) ihned vidíme, že zmíněný člen je invariantní i vůči této záměně.

Zadání příkladu 14.4

Příklad 14.5. Narušení CP, resp. T-symetrie v oscilacích neutrin by se projevilo v nenulovém rozdílu pravděpodobností Pνfνg(L) Pνfνg(L ), resp. Pνfνg(L) Pνgνf(L). Ze vztahu (14.11) vyplývá

pict

neboť první i druhý člen ve výrazu (14.11) jsou invariantní vůči záměně f g i ν ν, viz příklad 14.4. Jsou-li vůně počátečního a koncového stavu stejné (f = g), je

                          ∑      (           )   (     2  )
Pν → ν (L)− P ¯ν→ ¯ν (L) = 4    Im  |Ufj |2 |Ufi|2 sin  Δm--ijL-  = 0,
  f  f         f  f        i<j                       2ℏcE

žádný rozdíl v oscilacích tedy nebudeme pozorovat. Zmíněné pravděpodobnosti jsou stejné kvůli CPT-invarianci, viz příklad 14.6.

Dokažme nyní vztah (14.36). Podle příkladu 14.4 je pro rozdíl pravděpodobností Pνfνg(L ) Pνgνf(L ) relevantní pouze poslední člen ve vztahu (14.11). Označme

            (            )
Im (i,j) ≡ Im Ug∗jUfjUgiU ∗fi
(A.280)

a vyšetřeme vzájemné vztahy mezi Im(i,j):

pict

kde jsme využili unitaritu PMNS matice. Stejným způsobem lze ukázat platnost relace

Im (2,3) = Im (1,2)
(A.281b)

S použitím vztahů (14.37a), (14.37b) a (A.281a), (A.281b) dostáváme

pict

Člen Im(1,2) vyjádříme pro f = 1,g = 2:

pict

Snadno se přesvědčíme, že stejný výraz až na znaménko dostaneme i pro ostatní kombinace f,g. Platnost relace (14.36) pak přímo vyplývá ze složení vztahů (A.279), (A.282) a (A.283).

Zadání příkladu 14.5

Příklad 14.6. První dva členy ve výrazu (14.11) jsou CP i T-symetrické (viz příklad 14.4), jsou proto i CPT-symetrické. Soustřeďme se proto jen na poslední člen.

V případě T-symetrie je záměna počátečního a koncového stavu identická se záměnou sčítacích indexů a poslední člen má proto opačné znaménko:

pict

Poslední rovnost je důsledkem platnosti relace (A.271). Dostáváme tak:

                          ∑     (             )   ( Δm2  L)
Pνf→ νg (L)− P νg→ νf (L) = 4   Im  U ∗gjUfjUgiU∗fi sin   ---ij--
                          i<j                        2ℏcE
(A.285)

Stejným postupem zjistíme, že v případě symetrie CP se rovněž změní znaménko posledního členu:

pict

Výsledkem je opět vztah se stejnou pravou stranou jako v relaci (A.285), tj.

                          ∑     (            )   ( Δm2  L )
Pνf→νg (L) − P¯νf→ ¯νg (L ) = 4  Im  Ug∗jUfjUgiU ∗fisin  ----ij--  .
                          i<j                       2ℏcE
(A.287)

Pomocí relací (A.285) a (A.287) již snadno dokážeme CPT invarianci výrazu pro pravděpodobnost oscilace neutrin:

pict

neboť součet imaginárních částí dvou vzájemně komplexně sdružených čísel je roven nule.

Zadání příkladu 14.6

Příklad 14.7. Řešíme-li soustavu diferenciálních rovnic (14.19) s okrajovými podmínkami νf1(x = 0) = 1f2(x = 0) = 0, dostaneme

pict

Vzhledem k výše uvedeným okrajovým podmínkám představují tato řešení amplitudy přechodu νf1 νf1, resp. νf1 νf2. Příslušné pravděpodobnosti oscilací jsou pak dány kvadrátem absolutních hodnot těchto amplitud, tedy:

pict

Vztahy (14.20a), (14.20b) jsou tímto dokázány. Pochopitelně platí

P νf1→ νf1(x) + Pνf1→ νf2(x ) = 1 ,

neboť jsme uvažovali pouze dvě vůně neutrin f1,f2.

Zadání příkladu 14.7

Příklad 14.8. Vyjdeme ze vztahu (14.26). Od hamiltoniánu můžeme odečíst libovolný násobek jednotkové matice, aniž by to ovlivnilo vlastní oscilace. Odečteme-li násobek jednotkové matice, dostaneme

      (       )           (                         )  (        )
        νe(x)       Δm212-   − cos2𝜃 + V    sin2𝜃         νe(x)
iℏc∂x   νf (x)  = −   4E        sin 2𝜃     cos2𝜃 − V   ⋅   νf (x)
(A.290)

Po triviální úpravě hamiltoniánu na pravé straně rovnice (A.290)

                               (                                        )
   Δm2  ∘ ---------------------   − √----cos2𝜃−2V--2--- √------sin2𝜃2---2--
−  ---12- (cos2𝜃 − V )2 + sin2 2𝜃(   --(cos2𝜃s−inV2𝜃)+sin-2𝜃  --(cos2c𝜃o−sV2𝜃)−-+Vsin-2𝜃 )
    4E                             √ (cos2𝜃−-V)2+sin22𝜃-  √ (cos2𝜃−V)2+sin22𝜃

je již platnost soustavy rovnic (14.29) zřejmá.

Zadání příkladu 14.8

Příklad 14.9. Podle definice PMNS matice (14.16) platí mezi stavy s definovanou vůní a stavy s definovanou hmotou ve vakuu vztah:

(     )   (               )  (    )
   νe   =     cos 𝜃   sin 𝜃   ⋅  ν1
   νf        − sin 𝜃  cos 𝜃      ν2
(A.291)

Zcela analogický vztah platí i mezi stavy s definovanou vůní a stavy s definovanou hmotou v hmotném prostředí. Důkaz provedeme přímo složením obou zmíněných vztahů:

( ν     )    (  cos𝜃      sin 𝜃    )−1  ( ν  )
   1,mat   =         mat       mat     ⋅    e   =
  ν2,mat      ( − sin 𝜃mat  cos𝜃mat )  (   νf         )  (     )
               cos𝜃mat  − sin 𝜃mat       cos𝜃   sin𝜃       ν1
          =    sin𝜃mat   cos𝜃mat    ⋅  − sin𝜃  cos𝜃   ⋅   ν2   =
             (                              )  (     )
          =     cos(𝜃 − 𝜃mat)  sin (𝜃 − 𝜃mat)  ⋅   ν1
               − sin (𝜃 − 𝜃mat) cos(𝜃 − 𝜃mat)      ν2

Zadání příkladu 14.9

Příklad 14.10. Nejprve vypočteme hustotu elektronů Ne v jednotkách fm3:

      ρ [g ⋅cm −3]Z         −1   (  − 13       )3
Ne  = ---------−1- NA [mol  ]×  10    [cm∕fm ]
      A  [g ⋅mol  ]

Hustoty obou prostředí známe. Na povrchu Země je Z∕A 0,5, zatímco jádro Slunce obsahuje přibližně 75% vodíku a 25% helia, tedy

Z ∕A = 0,75× 1 + 0,25× 0,5 = 0,875

Dosazením získáme výsledky Ne 7,51016 fm3 (povrch Země), resp. Ne 7,91014 fm3 (jádro Slunce). Hodnoty dodatečného členu v hamiltoniánu V získáme řešením jednoduché rovnice V = cos2𝜃, rezonanční energie pak prostým dosazením do vztahu (14.25):

       -2E--√ --            3
V  ≡ − Δm212  2Ne (x)GF (ℏc) .

Numerické výsledky jsou shrnuty v tabulce 14.2.

Zadání příkladu 14.10

Příklad 14.11. Experiment IMB naměřil 8 případů neutrin v krátkém časovém intervalu odpovídajícím výbuchu této supernovy [89], viz tabulka A.4. Vidíme, že jako první byly zaznamenány případy 33162, 33164 a 33167 s průměrnou energií E1 = 38MeV, jako poslední případy 33179 a 33184 s průměrnou energií E2 = 22MeV. Tyto události dělí časový interval Δt 5 s.

Nehmotná neutrina se pohybují rychlostí světla a jsou-li emitována při výbuchu supernovy současně, dorazí k Zemi ve stejném čase nezávisle na jejich energii. Mají-li ale neutrina nenulovou hmotu, budou neutrina s menší energií mírně zpožděna. Pro rozdíl časů dostáváme:

pict

kde l je vzdálenost supernovy od Země a m je hmota neutrina. Za předpokladu, že všechna neutrina byla emitována ze supernovy současně, je celý rozdíl časů jejich detekce v experimentu zapříčiněn jejich nenulovou hmotou. Odsud odhadneme horní hranici hmoty neutrin

     ∘ --------------
       2cΔt  E2 E2
m  <   -------21-2-2
         l  E1 − E 2
(A.293)

Po dosazení do vztahu (A.293) dostaneme hodnotu m < 39 eV.

PIC
Tabulka A.4:Naměřené případy neutrin v detektoru IMB odpovídající výbuchu supernovy SN1987A [89].

Zadání příkladu 14.11

Příklad 14.12. Neutrina vznikají z rozpadu pionů

π ± → μ ± + ν ∕¯ν .
            μ   μ

Energii neutrina v laboratorní soustavě vyslaného pod úhlem 𝜃lab vůči směru pohybu pionů jsme odvodili v příkladu 14.1:

  lab      2γπE ν
E ν  ≈ 1-+-(γ-𝜃--)2 .
             π lab
(A.294)

Energii neutrina Eν v CMS určíme podle vztahu (2.10a) pro energii částice ve dvoučásticovém rozpadu

      m2 − m2
E ν = --π----μ-.
        2m π
(A.295)

Je-li energie pionů rozdělena rovnoměrně, platí pro střední energii neutrin

                     ∫ Emaπx
⟨Elab⟩ = -----1------       ElabdEπ
   ν     Emaπx − Emiπn   Emπin   ν
(A.296)

Použitím vztahů (A.294)–(A.296) tak dostáváme výsledek

             m2  − m2        ||      max        2||
⟨Elνab⟩ = ------π-----μ--2--ln||1+--(E-πmin𝜃lab∕m-π)2|| = 2,1 GeV.
         2(Emπax − Emπin)𝜃lab    1 + (Eπ  𝜃lab∕m π)

Zadání příkladu 14.12

1Relace (3.12) platí pouze v nerelativistickém přiblížení a proto ji obecně nemůžeme použít.

2Pracujeme na kvarkové úrovni, a protože kvarky jsou fermiony, použijeme lineární formu Gell-Mannovy - Okubovy formule podobně jako pro baryony.

3Definována jako 1/12 hmoty atomu 12C 6.

4Tento maticový element je formálně shodný s maticovým elementem procesu e+ ν e W e+ ν e s výměnou W v s-kanále, viz např. [64].