KVANTOVÁ TEORIE
Kdo při studiu kvantové mechaniky netrpěl pocitem závrati, ten ji doopravdy nepochopil. (Niels Bohr, 1885-1962)
Kvantovou mechaniku nechápe nikdo. (Richard Feynman, 1918-1988)
Rozsah a určení:
Kvantová teorie I:
4/2 Z,Zk zimní semestr NOFY076 povinný předmět
Kvantová teorie II:
3/1 Z,Zk letní semestr NOFY079 povinně volitelný předmět
Kvantová teorie - vybraná témata:
1/1 Z,Zk letní semestr NJSF179 doporučený volitelný předmět
Přednášky jsou určeny primárně pro posluchače 3. ročníku bakalářského studia obecné fyziky na MFF UK, ale mohou si ji zapsat i studenti 2. ročníku, mají-li potřebné matematické základy, a studenti navazujícího magisterského studia.
Jde o detailní kurs nerelativistické kvantové mechaniky, doporučený především zájemcům o studium magisterských programů Teoretická fyzika a Částicová a jaderná fyzika, kteří budou pokračovat v hlubším studiu mikrosvěta.
Předpokládá se návaznost kursů relativistické kvantové teorie, kvantové teorie pole a dalších specializovaných přednášek v 1. ročníku magisterského studia.
Kvantová teorie I je povinný předmět bakalářského studia, který lze splnit buď absolvováním tohoto předmětu NOFY076, nebo absolvováním alternativního předmětu NOFY075.
Kvantová teorie II je povinně volitelný předmět, jehož absolvování se předpokládá u zájemců o magisterské programy Teoretická fyzika a Částicová a jaderná fyzika.
Kvantová teorie - vybraná témata je doporučený volitelný předmět, jehož absolvování je vhodné pro všechny zájemce o hlubší studium kvantové teorie.
Konání v zimním semestru 2021-22:
Úterý 14:50 - 16:20 (přednáška) posluchárna T1 (Troja)
Středa 09:00 - 10:30 (přednáška) posluchárna T2 (Troja)
Středa 10:40 - 12:10 (cvičení) posluchárna T8 (Troja)
Vyučující:
Přednášky:
Pavel Cejnar
Cvičení:
Pavel Stránský
Konzultace podle individuální domluvy.
Probrané úlohy a domácí úkoly z cvičení najdete ZDE1 a ZDE2
Zkoušky a zápočty:
Termíny zkoušek jsou vypsány v SIS: přihlášení ZDE
Zápočty: podmínkou je dosažení jistého minimálního sumárního počtu bodů za (a) průběžné vypracovávání domácích úkolů z cvičení a (b) řešení písemné zápočtové práce na konci semestru.
Zkoušky se zpravidla skládají z 1 výpočetního příkladu (odpuštěn studentům s vysokým skóre z cvičení) a 2 teoretických otázek (hlavní na cca 20 min a vedlejší na cca 10 min).
Zápis na zkoušku (případně zrušení zápisu) probíhá prostřednictvím SIS. Poslední změna možná den před termínem. Maximální počet zapsaných posluchačů na jeden termín je zpravidla 10.
Kvantová teorie I
VZOREČÁNKY .PDF (shrnutí látky zimního semestru)
OTÁZKY U ZKOUŠKY Z KT-1 .PDF (studentem vždy náhodně vytažena 1 dvojotázka)
0. Úvod
(1 přednáška)
Kvantová úroveň, Planckova konstanta [kritérium pro použití kvantové mechaniky založené na změnách akce při přechodech mezi rozlišitelnými trajektoriemi].
Dvouštěrbinový experiment a jeho modifikace ["interference" a "which-path" uspořádání, rozlišení drah pomocí polarizace částice, experiment se zpožděnou volbou, "kvantový vymazávač"].
Koncepční důsledky [vlnový charakter částic, vliv měření na kvantový systém, kontextualita...].
Princip superpozice, vlnová funkce.
→Biják (.PDF ~4MB)
1a. Prostor stavů kvantového systému
(1 přednáška)
Hilbertův prostor: pojem stavového prostoru, rozlišitelnost stavů, stavy jako vektory [kvantová neurčitost, princip superpozice].
Skalární součin jako amplituda pravděpodobnosti [pravděpodobnost "rozeznání stavu 1 ve stavu 2"].
Prostory L2 a l2, izomorfie separabilních Hilberových prostorů [kvadraticky integrabilní funkce, "nekonečné sloupečky", jejich vzájemné zobrazení, bázové vektory].
Diracova notace, bra a ket vektory, projekční operátory [duální prostor lineárních forem, obecný zápis lineárních operátorů, vlastnosti a obecný tvar projektorů].
Direktní součet prostorů [rozklad prostoru na alternativní stavové podprostory].
Direktní součin prostorů, provázané ("entangled") stavy [vícesložkové systémy (různé stupně volnosti, soustavy složené z více částí); subsystémy vícesložkového systému se nemusejí nacházet v definovaných (čistých) kvantových stavech].
1b. Příklady stavových prostorů
(1 přednáška)
Stavový prostor bezstrukturní částice ve 3D [komplexní vlnové funkce] a stavový prostor pro spin 1/2 [2-dim komplexní vektory].
Částice se spinem 1/2 ve 3D, spinory [2-dim "sloupečky" funkcí, alias funkce spojité + diskrétní proměnné, provázanost spinu s polohou].
Soustava 2, příp. N rozlišitelných částic [direktní součin 1-částicových prostorů].
Soustava 2 nerozlišitelných částic, bosony a fermiony, Pauliho princip a jeho důsledky [provázanost a interferenční jevy způsobené nerozlišitelností a jejich vymizení pro vzdálené částice].
Soustava N nerozlišitelných částic, bosonové a fermionové vlnové funkce [symetrizované a antisymetrizované stavové vektory, projektory do příslušných prostorů, Slaterův determinant]
Soustavy s proměnným počtem částic, Fokův prostor [separabilita versus neseparabilita prostoru].
2a. Reprezentace fyzikálních veličin
(1.5 přednášky)
Samosdružené ("hermitovské") operátory, jejich přiřazení pozorovatelným veličinám [momenty statistického rozdělení veličiny v daném stavu, rozdíly mezi hermitovskými, samosdruženými a symetrickými operátory v nekonečnědim. prostorech].
Vlastní čísla a vlastní vektory [bezdisperzní stavy, vlastní čísla coby "naměřitelné" hodnoty dané veličiny]
Vlastnosti vlastních čísel/vektorů samosdružených operátorů [reálnost, ortogonalita a úplnost systému vlastních vektorů].
Spektrální rozklad operátoru [degenerovaný a nedegenerovaný případ]. Pravděpodobnosti výsledků měření [odvození z výrazu pro momenty statistického rozdělení].
Operárory se spojitým spektrem: "rigged Hilbert space", spektrální funkce operátoru, zobecněný spektrální rozklad [příklad: spektrum nekonečněrozměrné tridiagonální matice, Gelfandův triplet v případě l2].
2b. Příklady kvantových operátorů
(3 přednášky)
Spin 1/2, Pauliho matice [vlastní čísla/vektory projekce spinu do libovolného směru, konstrukce vlastních vektorů stereografickou projekcí z Blochovy sféry].
Souřadnice [delta funkce coby vlastní stavy, definiční obor operátoru souřadnice, spojité spektrum, tvar spektrální funkce].
Hybnost [rovinné vlny a jejich modifikace (např. kulové vlny) coby vlastní stavy, obecný diferenciální tvar operátoru hybnosti, příklad: radiální hybnost].
Orbitální moment hybnosti [vyjádření ve sférických souřadnicích, vlastní čísla komponenty ve směru z].
Hamiltonián částice v potenciálu, 1D a 3D případ, stacionární Schrödingerova rovnice
Separabilní potenciály, převedení na 1D problém [akce operátorů na direktním součinu prostorů, příklady separ. systémů: částice v krabici, izotropní harmonický oscilátor].
Sféricky symetrické potenciály, separace radiálních a úhlových stupňů volnosti, radiální Schrödingerova rovnice, kulové funkce [úpravy Schrödingerovy rovnice ve sférických souřadnicích, okrajové podmínky pro radiální funkci, radiální a rotační kinetická energie].
Vázané a nevázané stavy, diskrétní a spojité spektrum energie [závislost na asymptotice potenciálu].
Přehled řešení stacionární Schrödingerovy rovnice v některých jednoduchých 3D systémech [vodík, harmonický oscilátor, hlavní a radiální kvantové číslo, degenerace stavů, nekonečná pravoúhlá jáma, Morseho potenciál].
Hamiltonián částice v elektromagnetickém poli, Pauliho rovnice [tvar v homogenním poli, zanedbatelnost členu s A2, Zeemanovo štěpení spektrálních čar].
Kalibrační invariance Pauliho rovnice [neměnnost spektra při kalibračních transformacích pole, kalibrační transformace vlnových funkcí].
Ritzova variační metoda hledání stacionárních stavů [minimum energetického funkcionálu na třídě testovacích vlnových funkcí, nalezení základních a vzbuzených stavů, zahrnutí vazbových podmínek (normalizace, příp. ortogonalita k níže ležícím stavům, Lagrangovy multiplikátory), důležitá metoda hledání základního stavu pro mnohočásticové hamiltoniány, čast používaná v kombinaci s dalšími aproximacemi].
→Diracova delta funkce .PDF
→Konečná pravoúhlá potenciálová jáma 1D .PDF
3a. Kompatibilní a nekompatibilní veličiny
(1.5 přednášky)
Komutující a nekomutující operátory, vlastnosti komutátorů.
Současná diagonalizace komutujících operátorů [operátory komutují právě když všechny projektory na jednotlivé vlastní podprostory komutují].
Úplná množina pozorovatelných [báze číslovaná úplnou množinou vlastních hodnot, lib. další komutující operátor je funkcí ostatních].
Obecná relace neurčitosti pro nekompatibilní veličiny [přes Schwarzovu nerovnost].
Analogie komutátorů a Poissonových závorek [implikace nenulovosti Poissonovy závorky v klasické mechanice, Diracovo kvantování pomocí Poissonových závorek].
Ekvivalentní reprezentace kvantové mechaniky (diskrétní, spojité, smíšené) [vyjádření stavových vektorů pomocí "sloupečků" a/nebo funkcí, vyjádření lineárních operátorů pomocí matic a/nebo integrálních operátorů].
3b. Příklady (ne)komutujících operátorů
(3 přednášky)
Souřadnice a hybnost, komutační relace, Heisenbergovy relace [obecný diferenciální tvar operátorů x a p, příklad maticové reprezentace].
Kanonická versus mechanická hybnost, komutační relace složek mechanické hybnosti částice v magnetickém poli [Složky rychlosti nejsou kompatibilní].
Příklady úplných množin komutujících operátorů pro bezstrukturní částici (se spinem) ve 3D [a) 3 souřadnice, b) 3 hybnosti, c) radiální hybnost + kvadrát a složka momentu hybnosti, d) sféricky symetrický hamiltonián + kvadrát a složka moment hybnosti; to vše možno doplnit projekcí spinu].
Souřadnicová a impulsová reprezentace, jejich transformace [Fourierova transformace vlnových funkcí, vyjádření operátorů x a p v impulsové reprezentaci, gaussovské vlnové balíky].
Orbitální a spinový moment hybnosti, komutační relace složek, celkový moment hybnosti [kvadrát momentu hybnosti je kompatibilní se všemi komponentami, relace neurčitosti pro lib. 2 komponenty závisejí na střední hodnotě zbývající komponenty].
Obecný moment hybnosti, posunovací operátory, kontrukce spekter operátorů J2 a Jz [výběrová pravidla pro kvantová čísla j a m].
Skládání 2 momentů hybnosti [součinový Hilbertův prostor pro dvojici "spinů", množiny komutujících operátorů, výběrová pravidla pro celkové j a m, transformace mezi vázanou a nevázanou bází].
Clebsh-Gordanovy koeficienty, jejich základní vlastnosti [relace ortogonality, záměna indexů, změna znamének, 3j-symboly, konstrukce CG koeficientů z rekurentních relací (příklad: tripletní a singletní stavy 2 částic se spinem 1/2)].
Skládání 3 a více momentů hybnosti [alternativní množiny komutujících operátorů, konstrukce z nevázaných stavů pomocí CG koeficientů].
4a. Reprezentace fyzikálních transformací
(1.5 přednášky)
Unitární operátory a jejich vlastnosti. [zachování skalárního součinu, vzájemné transformace ortonormálních bází, vlastnosti vlastních čísel/vektorů, spektrální rozklad, zápis ve formě exponenciály hermitovského operátoru].
Fyzikální transformace jako unitární (antiunitární) zobrazení [transformace mezi "vztažnými soustavami", zachování pravděpodobností, antilinearita antiunitárních operátorů],
unitární transformace operátorů pozorovatelných veličin [zachování vlastností transformovaných operátorů].
Symetrie v "širším" a "užším" pojetí [invariance kvantové mechaniky vůči dané transformaci (zaručena současnou transformací vektorů i operátorů), invariance hamiltoniánu vůči dané transformaci (degenerace spektra)].
Lieovy grupy a algebry (základní pojmy), generátory transformací jako pozorovatelné veličiny, teorém Noetherové [definice Lieovy grupy, (i)reducibilní reprezentace, algebra generátorů (uzavřenost vzhledem ke komutacím), (ne)abelovské grupy, Casimirovy operátory].
4b. Základní časoprostorové transformace
(2.5 přednášky)
Prostorová translace, hybnost [obecná komutační relace posunovacího operátoru, generátory translací, infinitesimální a konečné translace].
Diskrétní translace, kvazihybnost, Blochův teorém [vlastní funkce diskrétních translací, krystaly].
Prostorová rotace pro skalární vlnové funkce, orbitální moment hybnosti [odvození tvaru operátorů orbitálního momentu hybnosti z infinitesimálních rotací].
Prostorová rotace pro vektorové a spinorové vlnové funkce, spin 1 a 1/2 [spin 1: odvození tvaru spinových matic z transformací vektorových funkcí, spin 1/2: odvození transformačního zákona spinorů z tvaru spinových matic].
Zrcadlení prostoru, parita [parita jako pozorovatelná, skalární a pseudoskalární, vektorové a axiálně vektorové veličiny].
Posun času, hamiltonián [evoluční operátor].
Inverze času [důkaz antiunitarity a její důsledky, sudé a liché operátory vzhledem k inverzi času].
Dynamické symetrie, "náhodná" degenerace [vyšší symetrie hamiltoniánu, existence dodatečných komutujících operátorů pro vodík a harmonický oscilátor].
→Biják .PDF (přednáška pro 2.ročník)
→Symetrie v mikrosvětě .PDF (popularizační článek)
5a. Spontánní evoluce kvantového systému ("proces U")
(4.5 přednášky)
Evoluční operátor, nestacionární Schrödingerova rovnice [požadavky na evoluční operátor, vyjádření pomocí dif. rovnice, stacionární stavy].
Tok pravděpodobnosti, rovnice kontinuity [odvození pro částici ve skalárním + vektorovém potenciálu, vyjádření toku pomocí operátoru rychlosti, gradient fáze vlnové funkce, otázka vírovosti proudění].
Zákony zachování a symetrie [konstantnost stat.rozdělení dané veličiny a podmínka [A,H]=0, vztah k teorému Noetherové, "operátor" časové derivace, jeho analogie s Poissonovou závorkou].
Exponenciální a neexponenciální rozpad [vyjádření pravděpodobnosti přežití počátečního stavu pomocí Fourierovy transformace jeho energetického profilu (lib.časy) a pomocí energetické disperze (malé časy), příklady: gaussovský a breit-wignerovský energetický profil, modifikace exponenciálního rozpadového zákona pro malé časy].
"Relace neurčitosti" pro energii a čas [vztah mezi energetickou šířkou stavu a rychlostí jeho evoluce, Tamm-Mandelstamova formulace, potíže se zavedením časového operátoru v kvantové mechanice].
Hamiltoniány závisející na čase, Dysonova řada pro evoluční operátor [nestac.Schrödingerova rovnice pro časově závislé hamiltoniány, tvar evolučního operátoru v případě [H(t),H(t')]=0 a [H(t),H(t')]≠0, časově uspořádaný součin].
Schrödingerův, Heisenbergův a Diracův popis časového vývoje [pohybové rovnice pro vektory a operátory v jednotlivých reprezentacích, přechody mezi reprezentacemi].
Ehrenfestův teorém pro částici ve vnějším poli, klasická limita [kvantová "Newtonova rovnice", klasické pohybové rovnice pro vývoj vlnových balíků, ztráta klasického chování na dlouhých časových škálách].
Základní myšlenka poruchového přístupu, rozvoj evolučního operátoru v interakčním parametru [v Diracově reprezentaci je interakční Hamiltonián časově závislý a lze předpokládat, že vyšší členy jeho Dysonovy řady jsou malé].
Greenův operátor, propagátor a jejich vyjádření ve formě řady [definiční rovnice pro Greenův operátor, tvar pro hamiltonián nezávisející na čase, jednočásticová Greenova funkce (propagátor), její "interakční interpretace", znovu poruchový přístup].
5b. Příklady časového vývoje
(1.5 přednášky)
Propagátor volné částice, evoluce vlnových balíků, meze použitelnosti nerelativistické QM [volný propagátor a klasická akce, gaussovský vlnový balík, fázová vs. grupová rychlost, rozplývání balíku, nefyzikální (nadsvětelná) rychlost rozplývání při lokalizaci částice menší než její Comptonova vlnová délka].
Koherentní stavy harmonického oscilátoru [vlastní stavy anihilačního operátoru, jejich vyjádření v x-reprezentaci a v energetické bázi oscilátoru, vzájemný překryv koherentních stavů, časový vývoj, vztah ke klasické dynamice oscilátoru].
Evoluce 2-hladinového systému, oscilace [vyjádření obecného 2-stavového evolučního operátoru pomocí Pauliho matic].
Magnetická rezonance, evoluce spinu v rotujícím magnetickém poli [Larmorova precese ve stacionárním mg.poli, stáčení spinu rotujícím polem, přesné řešení nestac.Schrödingerovy rovnice].
6. Kvantové měření ("proces R")
(1 přednáška)
Postulát redukce stavového vektoru [zda a proč jej potřebujeme?], předpokládané vlastnosti procesu R [indeterminismus, neunitarita, nelinearita].
Dynamický důsledek nekompatibility veličin [pravděpodobnost výsledků závisí na pořadí měření, u kompatibilních veličin naopak nezávisí].
Měření na složených systémech, EPR situace [korelace výsledků lokálních měření pro separabilní a provázané stavy složeného systému, nemožnost využití korelací k nadsvětelné komunikaci, "no-cloning" teorém].
Interpretační otázky ["realistické" vs. "korelační" přístupy k redukci stavu při měření, původní formulace EPR argumentu].
7. Smíšené stavy
(3 přednášky)
Kvantové statistické soubory, operátor (matice) hustoty [paralela s klasickými statistickými soubory, "klobouk kouzelníka Pokustóna" a jeho operátor, rozdělení pravděpodobnosti v celém Hilbertově prostoru, diagonalizovaná forma matice hustoty].
Čisté s smíšené stavy, rozlišení pomocí stopy kvadrátu matice hustoty a Von Neumannovy entropie [vlastnosti operátotu hustoty, obecné pojetí kvantového stavu coby operátoru hustoty, statistické vs. kvantové fluktuace].
Dynamika matice hustoty pro izolovaný systém, kvantová Liouvillova rovnice [neměnnost entropie, analogie s klasickou Liouvillovou rovnicí].
Otevřené systémy a smíšené stavy "druhého druhu", stavy podsystémů složeného systému, parciální stopa, Schmidtův rozklad stavu složeného systému [vyjádření matice hustoty podsystému pomocí parciální stopy celkového operátoru hustoty, současná diagonalizace parciálních matic hustoty].
Evoluce smíšených stavů "druhého druhu", dekoherence, důsledky pro otevřené systémy [pohybová rovnice pro matici hustoty podsystému, neunitární evoluce, "systém" a "prostředí", ztráta kvantové koherence systému, rovnost entropií systému a prostředí, ireversibilita].
Příklad: 2-hladinový systém (spin 1/2) [vyjádření matice hustoty pomocí Pauliho matic, střední spinová polarizace, evoluce pro interakci s prostředím, která nemění spinovou projekci, dekoherence bez disipace].
8. Stacionární poruchová metoda
(2 přednášky)
Princip poruchového přístupu [rozklad energií a vlnových funkcí do mocninné řady v parametru poruchového členu].
Opravy pro nedegenerované spektrum [detailní odvození oprav do 2.řádu pro energii a 1.řádu pro vlnovou funci, obecné vztahy pro odvození oprav N-tého řádu].
Opravy pro degenerované spektrum [diagonalizace poruchy v podprostoru degenerace, sejmutí degenerace, opravy 1., 2. a vyšších řádů].
Aplikace v atomové fyzice, jemná struktura spekter [lineární a kvadratický Starkův jev, jemná struktura atomových čar (spin-orbitální interakce, relativistická korekce), Zeemanův jev, spinová závislost energií atomu helia (efekt nerozlišitelnosti částic)].
VZOREČÁNKY .PDF (shrnutí látky zimního semestru)
OTÁZKY U ZKOUŠKY Z KT-1 .PDF (studentem vždy náhodně vytažena 1 dvojotázka)
Kvantová teorie II
OTÁZKY U ZKOUŠKY Z KT-2 .PDF (studentem vždy náhodně vytažena 1 otázka)
9. Nestacionární poruchová metoda
Obecný formalismus, typologie aplikací, S-matice [interakční reprezentace, Dysonova poruchová řada pro amplitudy přechodů mezi vlastními stavy neporušeného hamiltoniánu, škála dlouhých a krátkých časů, asymptotické řešení a S-matice, příklady použití: přechody indukované proměnným vnějším polem, rozpady, rozptyl].
Skoková porucha: Fermiho "zlaté" pravidlo [pravděpodobnosti přechodů v 1. a 2. řádu, Fermiho zlaté pravidlo].
Exponenciální porucha [adiabatická limita].
Periodická porucha [rezonance, absorbce a vynucená emise].
Aplikace: Stimulované elektromagnetické přechody v atomech a jádrech [interakce systému nabitých kvantových částic s klasickou elektromagnetickou vlnou, účinný průřez absorbce (excitace systému polem), dipólová aproximace, dynamická interpretace dipólového přechodu].
10. Srážky částic - elementární popis a iterativní přístupy
Rozptyl na pevném potenciálu, stacionární formulace rozptylové úlohy pro potenciál "krátkého dosahu" [stacionární řešení s asymptotikou "rovinná + rozbíhavá kulová vlna", amplituda rozptylu, účinný průřez].
Problém 2 částic, oddělení těžišťových stupňů volnosti [operátory relativních a těžišťových stupňů volnosti, přechod mezi laboratorní do těžišťovou soustavou].
Efekty nerozlišitelnosti částic při rozptylu, Mottův rozptyl [modifikace účinného průřezu při rozptylu identických částic (spin 0 a 1/2)].
Typologie rozptylových procesů [pružný, nepružný rozptyl, rekace].
Lippmann-Schwingerova rovnice [její odvození ze stacionární a z nestacionární Schrödingerovy rovnice, vyjádření v souřadnicové reprezentaci pro obyčejný potenciál, vyjádření amplitudy rozptylu].
T-matice a Bornova řada [iterativní řešení Lippmann-Schwingerovy rovnice, vyjádření amplitudy rozptylu pomocí T-matice, Bornova řada pro amplitudu rozptylu].
První Bornovo přiblížení [odvození prvního Bornova přiblížení z nestacionární poruchové teorie, souvislost se "zlatým" pravidlem]. Použití na Yukawův potenciál [Rutherfordova formule jako limitní případ].
Vyšší členy Bornova přiblížení [interpretace jednotlivých členů iterativního rozvoje].
11. Srážky částic - metoda parciálních vln
Parciální vlny pro rozptyl částice na sféricky symetrickém potenciálu [rozklad vlnové funkce do kulových vln s ostrou hodnotou orbitálního impulsmomentu, vyjádření amplitudy rozptylu, srovnání s klasickým popisem pomocí impaktního parametru].
Amplitudy parciálních vln, fázové posuny, S-matice [ekvivalentní vyjádření účinných průřezů přes amplitudy parciálních vln, fázové posuny parciálních vln a elementy S-matice].
Pružný rozptyl [podmínka unitarity, určení fázových posunutí z řešení stacionární Schrödingerovy rovnice].
Potenciál konečného dosahu [určení fázových posunutí ze spojitého sešívání vlnových funkcí]. Příklad: rozptyl na tvrdé kouli, nízkoenergetická a vysokoenergetická limita, stínový rozptyl.
Zahrnutí nepružného rozptylu [vyjádření elementů S-matice pružného rozptylu za přítomnosti nepružných kanálů, výrazy pro celkový účinný průřez pružného a nepružného rozptylu a jejich vzájemný vztah].
Optický teorém [odvození v rámci metody parciálních vln, obecnější význam].
Coulombický rozptyl [modifikace rozptylové úlohy pro coulombický potenciál (tj. potenciál "dlouhého dosahu")].
Rozptyl při velmi nízkých energiích [rozptylová délka, role vázaných stavů].
Rezonance [maxima účinného průřezu odpovídající kvazi vázaným stavům, póly matice S v rovině komplexní energie].
→
video 32min
12. Systémy nerozlišitelných částic
Reprezentace obsazovacích čísel pro nerozlišitelné částice [projektory na bosonový a fermionový podprostor, projekce stavů separabilní N-částicové báze, Slaterův determinant].
Kreační a anihilační operátory pro bosony a fermiony [zavedení kreačních a anihilačních operátorů, odvození jejich komutačních / antikomutačních relací].
Operátory počtu částic [celkový počet částic a obsazovací čísla jednočásticových stavů, dvoučásticové korelace v mnohočásticové vlnové funkci].
"Vztah mezi spinem a statistikou", bifermion vs. boson [které částice jsou bosony a které fermiony, kdy je dvojice fermionů bosonem].
Vyjádření n-částicových operátorů pomocí kreačních a anihilačních operátorů [explicitní odvození pro 1- a 2-částicové operátory].
"Druhé kvantování" [vyjádření kreačních a anihilačních operátorů v libovolné 1-částicové bázi, kreační a anihilační operátory v souřadnicové reprezentaci, jejich použití k vyjádření celkové energie].
Kvantování elektromagnetického pole [fotonové kreační a anihilační operátory, vyjádření hustoty energie, emise a absorbce fotonu].
→
video 42min
13. Mnohočásticové přibližné metody
Hartree-Fokova metoda, koncept středního (selfkonzistentního) pole [1- + 2-částicový fermionový hamiltonián, variční metoda s vlnovými funkcemi typu Slaterova determinantu, rovnice středního pole, vyjádření v souřadnicové reprezentaci].
Hartree-Boseho metoda, kvantové kondenzáty [1- + 2-částicový bosonový hamiltonián, variační metoda s vlnovými funkcemi kondenzátového typu].
Párování a teorie BCS, kvazičástice [fermionové zbytkové interakce velmi krátkého dosahu, párování, metoda BCS (Bardeen-Cooper-Schrieffer), Bogoljubovova transformace, přechod mezi mezi normálním a supravodivým řešením].
Rovnovážné stavy otevřených mnohočásticových systémů [kanonické a grandkanonické rozdělení, partiční funkce, grankanonická partiční funkce bosonového a fermionového plynu, hustota stavů jako Laplaceova inverze partiční funkce, hustota stavů fermionového plynu].
→
video 74min
14. Ireducibilní tenzorové operátory
Wignerovy D-funkce [faktorizace operátoru rotace pomocí Eulerových úhlů, transformace vlastních vektorů momentu hybnosti při rotacích, rozklad obecného rotačního operátoru podle kvantového čísla j, ireducibilní reprezentace grupy rotací, Clebsh-Gordanova řada pro D-funkce].
Sférické tenzory a jejich skládání [kartézské tenzory a jejich (reducibilní) transformace, definice sférických tenzorů a jejich (ireducibilní) transformační vlastnosti, tenzorový a skalární součin].
Wigner-Eckartův teorém, výběrová pravidla [faktorizace maticových elementů sférického tenzorového operátoru v bázi momentu hybnosti, výběrová pravidla pro j a m, důkaz použitím rekurentní relace pro CG koeficienty].
→
video 34min
→Obrázek k Eulerovým úhlům (.PDF)
OTÁZKY U ZKOUŠKY Z KT-2 .PDF (studentem vždy náhodně vytažena 1 otázka)
Kvantová teorie - vybraná témata
15. Kvantová nelokalita a informace
Experiment Einsteina-Podolskeho-Rosena (EPR) [2 částice se spinem 1/2, pozorovatelé A a B měří projekci spinů svých částic ve vzájemně různých směrech, korelace výsledků].
Bellovy nerovnosti a jejich narušení [pokus o popis korelací mezi měřením A a B v EPR experimentu pomocí klasického pravděpodobnostního modelu, odvození Bellových nerovností z předpokladu lokality, narušení Bellových nerovností v kvantové mechanice].
Další paradoxy spojené s kolapsem vlnové funkce [Schrödingerova kočka, bezinterakční měření, Zenónův jev].
Od paradoxů k aplikacím: kvantová teleportace, kvantová kryptografie, kvantové počítání [základní principy].
→Přednáška o kvantové nelokalitě a informaci v rámci předmětu "Fyzika jako dobrodružství poznání" YouTube video 116min
→Přednáška o kvantovém provázání a nelokalitě v rámci cyklu "Pátečníci" YouTube video 122min
→Kolaps vlnové funkce .PDF
→Kryptografie & teleportace .PDF
→Kvantové počítání .PDF
→Kvantová nelokalita .PDF (popularizační článek)
16. Kvantově-klasická korespondence
Semiklasická aproximace, metoda WKB pro částici ve vnějším poli [Hamilton-Jacobiho formulace klasické mechaniky, odvození WKB rovnic z časové Schrödingerovy rovnice, statistická interpretace a "pilotní vlna", podmínky zanedbání členu s h2].
Použití WKB metody k výpočtu semiklasických stacionárních stavů a transmisních koeficientů [obcházení klasických bodů obratu, Bohr-Sommerfeldova kvantovací podmínka, harmonický oscilátor a nekonečná pravoúhlá jáma, aproximace transmisních koeficientů].
Základní myšlenka Feynmanova integrálu [vyjádření jednočásticového propagátoru pro volnou částici a částici v potenciálu jako funkcionálního integrálu přes trajektorie, aplikace na dvouštěrbinový experiment, efekt magnetického pole - Aharonov-Bohmův jev].
Semiklasická teorie hustoty kvantových stavů [vyjádření hustoty stavů pomocí propagátoru, výpočet hladké části hustoty stavů pomocí dostupného objemu fázového prostoru, oscilující část hustoty stavů jako suma přes periodické trajektorie].
Kvantová mechanika ve fázovém prostoru, Wignerova funkce [obecný tvar Wignerovy funkce, její vyjádření pomocí matice hustoty v x-reprezentaci, "neklasičnost" Wignerovy funkce (možnost záporných hodnot), dekoherence, příklad superpozice 2 vlnových balíků].
→
video 45min
→Přednáška o kvantově-klasické korespondenci v rámci předmětu "Fyzika jako dobrodružství poznání" YouTube video 115min
→Dekoherence .PDF
17. Kvantová statistická fyzika
Operátor hustoty pro kanonický a grandkanonický soubor [stacionární soubor s maximem entropie při zadané střední energii a počtu částic, partiční funkce, vyjádření střední energie, disperse energie a měrného tepla pomocí partiční funkce].
Dvouhladinový systém při konečné teplotě [teplotní závislost střední polarizace].
Harmonický oscilátor při konečné teplotě, měrné teplo pevných látek [partiční funkce, střední energie, měrné teplo].
Bosonový a fermionový plyn [obsazovací pravděpodobnosti jednočásticových stavů].
Vztah partiční funkce a hustoty kvantových stavů [inverzní Laplaceova transformace partiční funkce, hustota stavů jednokomponentního Fermiho plynu].
18. Parametricky závislé vázané systémy
Dynamika hladin, skutečná a odvrácená křížení hladin [hamiltoniány s diskrétním spektrem závisející lineárně na proměnném parametru, změny energií a vlastních stavů s parametrem, analogie s coulombickým plynem].
Hnané systémy, adiabatická limita, Berryho fáze [systémy s časově závislými vnějšími parametry, přesné rovnice pro časový vývoj, adiabatická aproximace, dynamický a geometrický fázový faktor].
→Dynamika hladin v proměnném dvoujámovém potenciálu (.PDF,~1.2 MB)
Literatura:
Učebnice:
P. Cejnar: A Condensed Course of Quantum Mechanics (Karolinum, 2013) …dedikovaná učebnice k tomuto kursu
J. Formánek: Úvod do kvantové teorie (Academia, 1983, 2004).
J.J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics (Addison-Wesley, 1985, 1994).
J.J. Sakurai, J.J. Napolitano: Modern Quantum Mechanics (Addison-Wesley, 2011).
G. Auletta, M. Fortunato, G. Parisi: Quantum Mechanics (Cambridge Univ. Press, 2009).
L.E. Ballantine: Quantum Mechanics. A Modern Development (World Scientific, 1998).
J. Pišút, L. Gomolčák, V. Černý: Úvod do kvantovej mechaniky (Alfa, 1983).
A. Peres: Quantum Theory: Concepts and Methods (Kluwer, 1995)
A. Bohm: Quantum Mechanics: Foundations and Applications (Springer, 1979, 1993)
W. Greiner: Quantum Mechanics: An Introduction (Springer, 1989)
W. Greiner: Quantum Mechanics: Special Chapters (Springer, 1998)
W. Greiner, B. Müller: Quantum Mechanics: Symmetries (Springer, 1989)
E. Merzbacher: Quantum Mechanics (Wiley, 1961, 1998)
Příklady:
J. Pišút, V. Černý, P. Prešnajder: Zbierka úloh z kvantovej mechaniky (Alfa-SNTL, 1985).
S. Flügge: Practical Quantum Mechanics (Springer, 1971, 1999).
Poslední aktualizace: 29.04.2024
