Kvantová mechanika I a II

Kdo při studiu kvantové mechaniky netrpěl pocitem závrati, ten ji doopravdy nepochopil.   (Niels Bohr, 1885-1962)
Kvantovou mechaniku nechápe nikdo.   (Richard Feynman, 1918-1988)


Rozsah: 4/2 Z,Zk zimní semestr, 4/2 Z,Zk letní semestr
Určení: pro posluchače 3. ročníku (doporučeno především zájemcům o magisterské studium se specializací na teoretickou, částicovou a jadernou fyziku)

Konání ZS 2011:
Konání LS 2012: úterý 13:10-14:40, čtvrtek 12:20-13:50, 14:00-15:30 + 20 minut (náhrada za odpadlé přednášky)
posluchárna ÚČJF1 (Trója, 8.poschodí, místnost 836)
Spíše nepravidelné střídání přednášek a cvičení


Přednášky:
Pavel Cejnar ... místnost A 934 (9.poschodí, Trója), tel.2472
Konzultace: podle individuální domluvy

Cvičení:
Marián Kolesár ... místnost A 932 (9.poschodí, Trója), tel.2484
Konzultace: podle individuální domluvy
Probrané úlohy a domácí úkoly z minulých let (Pavel Stránský) najdete ZDE

Zkoušky:
Kvantová mechanika I: 19.1., 26.1, 2.2., 9.2., 13.2., 16.2. 2012. Dodatečný termín 18.4. 2012.
Kvantová mechanika II: 21.5., 1.6., 7.6. 2012 (budou ještě vypsány 1-2 termíny po 8.6.)
Podmínky: Zkoušky se konají od 9:00 hodin v Troji, 9.poschodí. Po společné písemné části (1 příklad) následuje individuální ústní část. Zápis na zkoušku (případně zrušení zápisu) probíhá prostřednictvím SIS (link níže). Poslední změna možná den před termínem. Maximální počet zapsaných posluchačů je zpravidla 5-6. Zkouší se níže popsaná témata z kvantové mechaniky I / II.
Přihlášení do studijního informačního systému: SIS-LOGIN



Kvantová mechanika I


→ Essential Formulae .PDF ... soupis základních pojmů a formulek (in English & construction)
→ Kvantové hlavolamy: část I .PDF, II .PDF, III .PDF , IV .PDF, V .PDF ... série popularizačních článků



0. Úvod
(1 přednáška)

  • Kvantová úroveň, Planckova konstanta. [Kdy je nutné přejít ke kvantovému popisu?]
  • Dvouštěrbinový experiment a jeho modifikace [experiment se zpožděnou volbou, kvantový "vymazávač"].
  • Koncepční důsledky [vlnový charakter částic, vliv měření na kvantový systém, "kvantová logika"].
  • Vlnová funkce. Princip superpozice [fundamentální kvantový princip!].

    • →Biják (.PDF ~4MB)
    →ESSENTIAL FORMULAE .PDF


    Provázané kapitoly:
    1. Formalismus kvantové teorie
    2. Jednoduché kvantové systémy
    (cca 24 přednášek)

    1.1. Prostor stavů kvantového systému
  • Pojem stavového prostoru. Fázový prostor versus Hilbertův prostor [důsledek principu superpozice].
  • Skalární součin jako amplituda pravděpodobnosti [pravděpodobnost "rozeznání stavu 1 ve stavu 2"].
  • Bra a ket vektory, Diracova notace [duální prostor lineárních forem].
  • Projekční operátory [vlastnosti, obecný tvar].
  • Prostory L2 [kvadraticky integrabilní funkce] a l2 ["nekonečné sloupečky"]. Izomorfie separabilních Hilb.prostorů.
  • "Rigged Hilbert space" [hierarchie vnořených prostorů v případě l2 a L2].
  • Direktní součet prostorů [rozklad prostoru na alternativní stavové podprostory].
  • Direktní součin prostorů [vícesložkové systémy: různé stupně volnosti, soustavy složené z více částí].
  • Provázané ("entangled") stavy. [Subsystémy vícesložkového systému, který je sám v čistém kvantovém stavu, se nemusejí nacházet v čistých stavech!]

    • 2.1. Příklady stavových prostorů
  • Částice ve 3D [komplexní vlnové funkce].
  • Spin 1/2 [2D komplexní vektory].
  • Částice se spinem 1/2 ve 3D (spinory) ["sloupečky" funkcí, alias funkce spojité+diskrétní proměnné].
  • Soustava 2 (příp. N) částic (direktní součin 1-částicových prostorů).
  • Soustava 2 (příp. N) nerozlišitelných částic, bosonové a fermionové vlnové funkce (symetrizované a antisymetrizované stavové vektory). [Praktická (ne)zjistitelnost kvantové provázanosti nerozlišitelných částic.]
  • Soustavy s proměnným počtem částic, Fokův prostor. Separabilita versus neseparabilita prostoru.

    • →ESSENTIAL FORMULAE .PDF


    1.2. Reprezentace fyzikálních veličin
  • Přiřazení hermitovských operátorů pozorovatelným [momenty statistického rozdělení veličiny v daném stavu].
  • Vlastní čísla a vlastní vektory [bezdisperzní stavy, vlastní čísla coby "naměřitelné" hodnoty dané veličiny].
  • Vlastnosti vlastních čísel/vektorů hermitovských operátorů. Spektrální rozklad operátoru [degenerovaný a nedegenerovaný případ]. Pravděpodobnosti výsledků měření [odvození z výrazu pro střední hodnotu].

    • 2.2. Příklady kvantových operátorů
  • Pauliho matice (spin 1/2) [vlastní čísla/vektory projekce spinu do libovolného směru, konstrukce přes Riemannovu sféru].
    • Souřadnice a hybnost [spojité spektrum, delta-funkce a rovinné vlny, rozšíření Hilbertova prostoru].
  • Orbitální moment hybnosti [vyjádření ve sférických souřadnicích, vlastní čísla komponenty ve směru z].
  • Hamiltonián částice v potenciálu [ukázka mechanismu kvantování energie: 1D konečná pravoúhlá potenciální jáma].
  • Stacionární Schrödingerova rovnice [rovnice pro vlastní stavy hamiltoniánu].
  • Separace radiálních a úhlových stupňů volnosti v případě rotačně symetrického 3D potenciálu, kulové funkce [úpravy Schrödingerovy rovnice ve sférických souřadnicích, okrajové podmínky pro radiální funkci, radiální a rotační kinetická energie, radiální hybnost, kulové vlny].
  • Přehled řešení stacionární Schrödingerovy rovnice v některých jednoduchých 3D systémech [vodík, harmonický oscilátor, hlavní a radiální kvantové číslo, degenerace stavů, nekonečná pravoúhlá jáma, Morseho potenciál].
  • Hamiltonián částice v elektromagnetickém poli, Pauliho rovnice. Tvar Pauliho rovnice v homogenním poli, Zeemanovo štěpení spektrálních čar [zanedbatelnost členu s A2]. Kalibrační invariance Pauliho rovnice [neměnnost spektra při kalibračních transformacích pole, kalibrační transformace vlnových funkcí].

    • →ESSENTIAL FORMULAE .PDF
    →Diracova delta funkce .PDF
    →Konečná pravoúhlá potenciálová jáma 1D .PDF


    1.3. Kompatibilní a nekompatibilní veličiny
  • Komutující a nekomutující operátory, vlastnosti komutátorů.
  • Současná diagonalizace komutujících operátorů [operátory komutují právě když všechny projektory na jednotlivé vlastní podprostory komutují].
  • Úplná množina pozorovatelných [báze číslovaná úplnou množinou vlastních hodnot, lib. další komutující operátor je funkcí ostatních].
  • Obecná relace neurčitosti pro nekompatibilní veličiny [přes Schwarzovu nerovnost].
  • Analogie komutátorů a Poissonových závorek [implikace nenulovosti Poissonovy závorky v klasické mechanice, Diracovo kvantování pomocí Poissonových závorek].
  • Ekvivalentní reprezentace kvantové mechaniky (diskrétní, spojité, smíšené) [vyjádření stavových vektorů pomocí "sloupečků" a/nebo funkcí, vyjádření lineárních operátorů pomocí matic a/nebo integrálních operátorů].

    • 2.3. Příklady (ne)komutujících operátorů
  • Souřadnice a hybnosti, Heisenbergovy relace [obecný diferenciální tvar operátorů x a p, příklad maticové reprezentace].
  • Komutační relace složek orbitálního a spinového momentu hybnosti [kvadrát momentu hybnosti je kompatibilní se všemi komponentami, relace neurčitosti pro lib. 2 komponenty závisejí na střední hodnotě zbývající komponenty].
  • Komutační relace složek mechanické hybnosti částice v magnetickém poli. [Složky rychlosti nejsou kompatibilní!]
  • Příklady úplných množin komutujících operátorů pro bezstrukturní částici (se spinem) ve 3D [a) 3 souřadnice, b) 3 hybnosti, c) radiální hybnost + kvadrát a složka momentu hybnosti, d) sféricky symetrický hamiltonián + kvadrát a složka moment hybnosti; to vše možno doplnit projekcí spinu].
  • Souřadnicová a impulsová reprezentace [Fourierova transformace vlnových funkcí, vyjádření operátorů x a p v impulsové reprezentaci, gaussovské vlnové balíky].

    • →ESSENTIAL FORMULAE .PDF


    1.4. Reprezentace fyzikálních transformací
  • Unitární operátory a jejich vlastnosti. [zachování skalárního součinu, vzájemné transformace ortonormálních bází, vlastnosti vlastních čísel/vektorů, spektrální rozklad, zápis ve formě exponenciály hermitovského operátoru].
  • Fyzikální transformace jako unitární (antiunitární) zobrazení [transformace mezi "vztažnými soustavami", zachování pravděpodobností, antilinearita antiunitárních operátorů].
  • Unitární transformace operátorů pozorovatelných veličin [zachování vlastností transformovaných operátorů].
  • Symetrie v "širším" a "užším" pojetí [invariance kvantové mechaniky vůči dané transformaci (zaručena současnou transformací vektorů i operátorů), invariance hamiltoniánu vůči dané transformaci (degenerace spektra)].
  • Lieovy grupy a algebry (základní pojmy) [diskrétní a spojité grupy, definice Lieovy grupy, (i)reducibilní reprezentace, algebra generátorů (uzavřenost vzhledem ke komutacím), (ne)abelovské grupy, Casimirovy operátory, generátory transformací jako pozorovatelné veličiny].

    • 2.4. Základní časoprostorové transformace
  • Prostorová translace, hybnost [obecná komutační relace posunovacího operátoru, generátory translací, infinitesimální a konečné translace]. Diskrétní translace, kvazihybnost [vlastní funkce diskrétních translací, krystaly].
  • Prostorová rotace pro skalární vlnové funkce, orbitální moment hybnosti. Prostorová rotace pro vektorové a spinorové vlnové funkce, spin 1 a 1/2 [spin 1: odvození tvaru spinových matic z transformací vektorových funkcí, spin 1/2: odvození transformačního zákona spinorů z tvaru spinových matic].
  • Zrcadlení prostoru, parita [parita jako pozorovatelná, skalární a pseudoskalární, vektorové a axiálně vektorové veličiny].
  • Dynamické symetrie, "náhodná" degenerace [vyšší symetrie hamiltoniánu, existence dodatečných komutujících operátorů pro vodík a harmonický oscilátor].
  • Posun času, hamiltonián [evoluční operátor].
  • Inverze času [důkaz antiunitarity a její důsledky, sudé a liché operátory vzhledem k inverzi času].

    • →ESSENTIAL FORMULAE .PDF
    →Biják .PDF (přednáška pro 2.ročník)
    →Symetrie v mikrosvětě .PDF (popularizační článek)


    1.5. Evoluce kvantového systému ("proces U")
  • Evoluční operátor, nestacionární Schrödingerova rovnice [požadavky na evoluční operátor, vyjádření pomocí dif. rovnice, stacionární stavy].
  • Tok pravděpodobnosti, rovnice kontinuity [odvození pro částici ve skalárním + vektorovém potenciálu, vyjádření toku pomocí operátoru rychlosti, gradient fáze vlnové funkce, otázka vírovosti proudění].
  • Zákony zachování a symetrie [konstantnost stat.rozdělení dané veličiny a podmínka [A,H]=0, vztah k teorému Noetherové, "operátor" časové derivace, jeho analogie s Poissonovou závorkou].
  • "Relace neurčitosti" pro energii a čas, neexponenciální rozpad [kvantová pravděpodobnost rozpadu, vyjádření pomocí Fourierovy transformace energetického spektra (lib.časy) a pomocí disperze energie (malé časy), rozpad stavu s gaussovským energetickýcm spektrem, Breit-Wignerovo rozdělení a exponenciální rozpad].
  • Hamiltoniány závisející na čase, Dysonova řada pro evoluční operátor [nestac.Schrödingerova rovnice pro časově závislé hamiltoniány, tvar evolučního operátoru v případě [H(t),H(t')]=0 a [H(t),H(t')]≠0, časově uspořádaný součin].
  • Schrödingerův, Heisenbergův a Diracův popis časového vývoje [pohybové rovnice pro vektory a operátory v jednotlivých reprezentacích, přechody mezi reprezentacemi].
  • Greenův operátor, propagátor [definiční rovnice pro Greenův operátor, jeho vyjádření ve formě řady, tvar pro hamiltonián nezávisející na čase, jednočásticová Greenova funkce (propagátor), její "interakční interpretace"].

    • 2.5. Příklady časového vývoje
  • Evoluce 2-hladinového systému, oscilace [vyjádření obecného 2-stavového evolučního operátoru pomocí Pauliho matic].
  • Volná částice ve 3D, Greenova funkce, pohyb vlnových balíků [propagátor volné částice, evoluce gaussovského vlnového balíku: fázová versus grupová rychlost, rozplývání vlnové funkce].
  • Koherentní stavy harmonického oscilátoru [vlastní stavy anihilačního operátoru, jejich vyjádření v x-reprezentaci a v energetické bázi oscilátoru, vzájemný překryv koherentních stavů, časový vývoj, vztah ke klasické dynamice oscilátoru].
  • Evoluce spinu v proměnném magnetickém poli [magnetický moment v rotujícím mag.poli, přesné řešení nestac.Schrödingerovy rovnice, magnetická rezonance].

    • →ESSENTIAL FORMULAE .PDF


    1.6. Kvantové měření ("proces R")
  • Postulát kolapsu vlnové funkce [proč jej potřebujeme?], předpokládané vlastnosti kolapsu [indeterminismus, neunitarita, nelinearita].
  • Dynamický důsledek nekompatibility veličin [pravděpodobnost výsledků závisí na pořadí měření nekomp.veličin].
  • Nelokalita (akauzalita) kolapsu, EPR situace [formulace EPR problému pro 2 částice se spinem 1/2, diskuse volby inerciální vztažné soustavy, nemožnost využití k nadsvětelnému šíření zpráv (no cloning teorém)].
  • Interpretační otázky [paradoxy spojené s kolapsem (EPR, Schrödingerova kočka, bezinterakční měření, Zenónův jev), základní typy interpretačních východisek (kodaňská škola, kolaps jako reálný proces, "bezkolapsová" formulace kvantové mechaniky)].

    • 2.6. Důsledky a aplikace kvantového měření
  • Polarizace fotonu [souvislost spinových a polarizačních stavů fotonu], kvantová kryptografie [základní schéma].
  • Bellovy nerovnosti a jejich narušení [pokus o popis EPR situace pomocí klasického pravděpodobnostního modelu, odvození Bellových nerovností z předpokladu lokality, narušení Bellových nerovností v kvantové mechanice].
  • Kvantová teleportace [základní princip].

    • →ESSENTIAL FORMULAE .PDF
    →Kolaps vlnové funkce .PDF
    →Kryptografie & teleportace .PDF
    →Kvantové počítání .PDF
    →Kvantová nelokalita .PDF (popularizační článek)
    →Dilbert on quantum computing
    →"Show your classical apparatus!" .PDF


    1.7. Kvantová statistická fyzika
  • Kvantové statistické soubory, čisté s smíšené stavy, operátor (matice) hustoty [vlastnosti operátotu hustoty, rozlišení stavů podle stopy kvadrátu matice hustoty].
  • Von Neumannova entropie, kanonický operátor hustoty [stacionární soubor s maximem entropie při zadané střední energii, partiční funkce, vyjádření střední energie, disperse energie a měrného tepla pomocí partiční funkce].
  • Dynamika matice hustoty [kvantová Liouvillova rovnice, neměnnost entropie].
  • Kvantová mechanika ve fázovém prostoru, Wignerova funkce [obecný tvar Wignerovy funkce, její vyjádření pomocí matice hustoty v x-reprezentaci, "neklasičnost" Wignerovy funkce (možnost záporných hodnot)].
  • Smíšené stavy 2.druhu [vyjádření matice hustoty podsystému pomocí parciální stopy celkového operátoru hustoty, diagonalizace parciální matice hustoty a Schmidtův rozklad provázaných stavových vektorů].
  • Kvantová evoluce otevřených systémů [pohybová rovnice pro matici hustoty podsystému, neunitární evoluce bez postulátu kolapsu].

    • 2.7. Příklady statistických souborů
  • Čistý stav typu superpozice dvou vlnových balíků [vyjádření odpovídající matice hustoty v x-reprezentaci a Wignerovy funkce ve fázovém prostoru].
  • Čisté a smíšené stavy 2-hladinového systému [vyjádření matice hustoty pomocí Pauliho matic, střední spinová polarizace (spin 1/2), dvouhladinový systém při konečné teplotě (výrazy pro partiční funkci, střední energii...)].
  • Dekoherence pro dvouhladinový systém (spin 1/2) [schématický výpočet dekoherence za předpokladu, že inerakce s prostředím nemění spinovou projekci].
  • Harmonický oscilátor při konečné teplotě, měrné teplo pevných látek [partiční funkce, střední energie, měrné teplo].

    • →ESSENTIAL FORMULAE .PDF
    →Dekoherence .PDF


    Kvantová mechanika II


    3. Kvantově-klasická korespondence
    (cca 4 přednášky)

    3.1. Klasická limita kvantové mechaniky
  • Redukce fyzikálních teorií [příklady: speciální relativita → klasická mechanika, statistická fyzika → termodynamika, kvantová mechanika → klasická mechanika].
  • Některé singulární vlastnosti limity h → 0 [příklady: excitované stavy harmonického oscilátoru, transmisní koeficient pro průchod potenciálovou bariérou/jámou, kvantový rotátor (chování stopy evolučního operátoru)].
  • Ehrenfestův teorém [kvantová "Newtonova rovnice", klasické pohybové rovnice pro vývoj vlnových balíků].
  • Ztráta klasického chování na dlouhých časových škálách a role dekoherence [odhad času pro ztátu klasického chování pomocí rozplývání vlnového balíku či postupného zjemňování struktur ve fázovém prostoru, vliv dekoherence na udržení kvantově-klasické korespondence].
  • Dekoherence a kvantové měření [možná "bezkolapsová interpretace" kvantového měření].

    • 3.2. Semiklasická aproximace
  • Hamilton-Jacobiho formulace klasické mechaniky [akce jako funkce souřadnic a času, analogie paprskové formulace vlnové optiky].
  • WKB aproximace kvantové mechaniky [odvození WKB rovnic z časové Schrödingerovy rovnice, zanedbání členu s h2, použití k výpočtu semiklasických vlnových funkcí stacionárních stavů (obcházení klasických bodů obratu), Bohr-Sommerfeldova kvantovací podmínka (příklady: harmonický oscilátor a nekonečná pravoúhlá jáma), aproximace transmisních koeficientů].
  • Interpretace a podmínky použitelnosti [souborová interpretace kvantové mechaniky, podmínky zanedbání členu s h2 ve WKB rovnici, kvantový potenciál a teorie pilotní vlny (nelokalita "in flagranti")].

    • 3.3. Feynmanův integrál
  • Formulace kvantové mechaniky pomocí trajektorií [vyjádření jednočásticového propagátoru pro volnou částici a částici v potenciálu jako funkcionálního integrálu přes trajektorie, dominance příspěvku klasických trajektorií].
  • Dvouštěrbinový experiment a Aharonov-Bohmův jev [výpočet interferenčního obrazce pomocí klasických akcí, jeho modifikace za přítomnosti magnetického pole].
  • Kvaziklasická teorie hustoty kvantových stavů [vyjádření hustoty stavů pomocí propagátoru, oscilující část hustoty stavů jako suma přes periodické trajektorie, výpočet hladké části hustoty stavů pomocí trajektorií nulové délky, dostupný objem fázového prostoru].

    • →ESSENTIAL FORMULAE .PDF
    →BIJÁK (.PDF,~5 MB)


    4. Moment hybnosti
    (cca 4 přednášky)

    4.1. Vlastnosti a skládání momentu hybnosti
  • Konstrukce a použití posunovacích operátorů momentu hybnosti [možné hodnoty vlastních čísel j a m].
  • Skládání 2 momentů hybnosti [množiny komutujících operátorů, výběrová pravidla pro celkové j a m, transformace mezi vázanou a nevázanou bází, Clebsh-Gordanovy koeficienty].
  • Základní vlastnosti Clebsh-Gordanových koeficientů [relace ortogonality, záměna indexů, změna znamének, 3j-symboly, konstrukce CG koeficientů z rekurentních relací (příklad: tripletní a singletní stavy 2 částic se spinem 1/2)].
  • Skládání 3 momentů hybnosti [alternativní množiny komutujících operátorů, 6j-symboly].

    • 4.2. Ireducibilní tenzorové operátory
  • Wignerovy D-funkce [faktorizace operátoru rotace pomocí Eulerových úhlů, transformace vlastních vektorů momentu hybnosti při rotacích, rozklad obecného rotačního operátoru podle kvantového čísla j, ireducibilní reprezentace grupy rotací, Clebsh-Gordanova řada pro D-funkce].
  • Sférické tenzory [kartézské tenzory a jejich (reducibilní) transformace, definice sférických tenzorů a jejich (ireducibilní) transformační vlastnosti, skládání sférických tenzorů, tenzorový a skalární součin].
  • Wigner-Eckartův teorém [faktorizace maticových elementů sférického tenzorového operátoru v bázi momentu hybnosti, výběrová pravidla pro j a m, důkaz použitím rekurentní relace pro CG koeficienty].

    • →ESSENTIAL FORMULAE .PDF
    →Obrázek k Eulerovým úhlům (.PDF)


    5. Přibližné metody
    (cca 5 přednášek)

    5.1. Variační metody
  • Variační princip pro nestacionární a stacionární Schrödingerovu rovnici [variační formulace kvantové mechaniky, nezávislá variace bra a ketů].
  • Ritzova variační metoda pro stacionární stavy [minimum energetického funkcionálu na třídě testovacích vlnových funkcí, nalezení základních a vzbuzených stavů, zahrnutí vazbových podmínek (normalizace, příp. ortogonalita k níže ležícím stavům, Lagrangovy multiplikátory)].

    • 5.2. Stacionární poruchová teorie
  • Princip poruchového přístupu [rozklad energií a vlnových funkcí do mocninné řady v parametru poruchového členu].
  • Opravy pro nedegenerované spektrum [detailní odvození oprav do 2.řádu pro energii a 1.řádu pro vlnovou funci, obecné vztahy pro odvození oprav N-tého řádu].
  • Opravy pro degenerované spektrum [diagonalizace poruchy v podprostoru degenerace, sejmutí degenerace, opravy 1., 2. a vyšších řádů].
  • Aplikace poruchové metody v atomové fyzice [lineární a kvadratický Starkův jev, jemná struktura atomových čar (spin-orbitální interakce, relativistická korekce), Zeemanův jev, spinová závislost energií atomu helia (efekt nerozlišitelnosti částic)].
  • Parametrická závislost kvantových spekter [dynamika energetických spekter pro hamiltoniány závisející lineárně na vnějším parametru, skutečná a odvrácená křížení hladin].

    • 5.3. Nestacionární poruchová teorie
  • Obecný formalismus a typologie aplikací [interakční reprezentace, Dysonova poruchová řada pro amplitudy přechodů mezi vlastními stavy neporušeného hamiltoniánu, škála dlouhých a krátkých časů, asymptotické řešení a S-matice, příklady použití: přechody indukované proměnným vnějším polem, rozpady, rozptyl].
  • Skoková porucha: Fermiho zlaté pravidlo [pravděpodobnosti přechodů v 1. a 2. řádu, Fermiho zlaté pravidlo].
  • Exponenciální porucha [adiabatická limita].
  • Periodická porucha [rezonance, absorbce a vynucená emise].
  • Aplikace: elektromagnetické přechody v atomech a jádrech [interakce nabité kvantové částice s klasickým elektromagnetickým polem, dipólová aproximace, multipólová řada, výběrová pravidla pro jednotlivé typy přechodů].

    • →ESSENTIAL FORMULAE .PDF
    →Dynamika hladin v proměnném dvoujámovém potenciálu (.PDF,~1.2 MB)


    6. Srážky částic
    (cca 5 přednášek)

    6.1. Elementární popis pružných srážek
  • Rozptyl na pevném potenciálu [stacionární řešení s asymptotikou "rovinná + rozbíhavá kulová vlna", amplituda rozptylu, účinný průřez].
  • Problém 2 částic [oddělení těžišťových stupňů volnosti ve Schrödingerově rovnici, přechod z laboratorní do těžišťové soustavy].
  • Efekty nerozlišitelnosti částic při rozptylu [modifikace účinného průřezu při rozptylu identických částic (spin 0 a 1/2)].
  • Typologie rozptylových procesů [pružný, nepružný rozptyl, rekace].

    • 6.2. Perturbativní přístup k rozptylové úloze
  • Lippmann-Schwingerova rovnice [její odvození ze stacionární a z nestacionární Schrödingerovy rovnice, vyjádření v souřadnicové reprezentaci pro obyčejný potenciál, vyjádření amplitudy rozptylu].
  • T-matice a Bornova řada [iterativní řešení Lippmann-Schwingerovy rovnice, vyjádření amplitudy rozptylu pomocí T-matice, Bornova řada pro amplitudu rozptylu].
  • První Bornovo přiblížení [odvození prvního Bornova přiblížení z nestacionární poruchové teorie, použití na Yukawův potenciál, Rutherfordova formule jako limitní případ].
  • Vyšší členy Bornova přiblížení [interpretace jednotlivých členů iterativního rozvoje].

    • 6.3. Metoda parciálních vln
  • Parciální vlny [rozklad vlnové funkce do kulových vln s ostrou hodnotou orbitálního impulsmomentu, vyjádření amplitudy rozptylu, srovnání s klasickým popisem pomocí impaktního parametru].
  • Analýza fázových posunutí [zavedení elementů S-matice, podmínka unitarity pro pružný rozptyl, vyjádření účinného průřezu pomocí fázových posunutí, určení fázových posunutí z řešení Schrödingerovy rovnice].
  • Potenciál konečného dosahu [určení fázových posunutí ze spojitého sešívání vlnových funkcí, příklad: rozptyl na tvrdé kouli, nízkoenergetická a vysokoenergetická limita, stínový rozptyl].
  • Nepružný rozptyl [vyjádření elementů S-matice pružného rozptylu za přítomnosti nepružných kanálů, výrazy pro celkový účinný průřez pružného a nepružného rozptylu a jejich vzájemný vztah].
  • Optický teorém [odvození v rámci metody parciálních vln].
  • Coulombický rozptyl [modifikace rozptylové úlohy pro coulombický potenciál].
  • Rozptyl při velmi nízkých energiích [rozptylová délka, role vázaných stavů].
  • Rezonance [maxima účinného průřezu odpovídající kvazi vázaným stavům, póly matice S v rovině komplexní energie].

    • →ESSENTIAL FORMULAE .PDF


    7. Mnohočásticové systémy
    (cca 5 přednášek)

    7.1. Formalismus kreačních / anihilačních operátorů
  • Reprezentace obsazovacích čísel pro nerozlišitelné částice [projektory na bosonový a fermionový podprostor, projekce stavů separabilní N-částicové báze, Slaterův determinant].
  • Kreační a anihilační operátory pro bosony a fermiony [zavedení kreačních a anihilačních operátorů, odvození jejich komutačních / antikomutačních relací].
  • Operátory počtu částic [celkový počet částic a obsazovací čísla jednočásticových stavů, dvoučásticové korelace v mnohočásticové vlnové funkci].
  • Vztah mezi spinem a statistikou [které částice jsou bosony a které fermiony, kdy je dvojice fermionů bosonem].
  • Vyjádření n-částicových operátorů pomocí kreačních a anihilačních operátorů [explicitní odvození pro 1- a 2-částicové operátory].
  • "Druhé kvantování" [vyjádření kreačních a anihilačních operátorů v libovolné 1-částicové bázi, kreační a anihilační operátory v souřadnicové reprezentaci, jejich použití k vyjádření celkové energie].

    • 7.3. Mnohočásticové techniky
  • Hartree-Fokova metoda [1- + 2-částicový fermionový hamiltonián, variční metoda s vlnovými funkcemi typu Slaterova determinantu, koncept středního (selfkonzistentního) pole].
  • Hartree-Boseho metoda [1- + 2-částicový bosonový hamiltonián, variační metoda s vlnovými funkcemi kondenzátového typu].
  • Párování a teorie BCS [fermionové zbytkové interakce velmi krátkého dosahu, párování, metoda BCS (Bardeen-Cooper-Schrieffer), Bogoljubovova transformace, kvazičástice].

    • →ESSENTIAL FORMULAE .PDF



    Literatura:

    Učebnice:
    J. Formánek: Úvod do kvantové teorie (Academia, Praha, 1983, 2004).
    J.J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics (Addison-Wesley, Reading, 1985, 1994).
    J.J. Sakurai, J.J. Napolitano: Modern Quantum Mechanics (Addison-Wesley, 2011).
    G. Auletta, M. Fortunato, G. Parisi: Quantum Mechanics (Cambridge Univ. Press, 2009).
    L.E. Ballantine: Quantum Mechanics. A Modern Development (World Scientific, Singapore, 1998).
    J. Pišút, L. Gomolčák, V. Černý: Úvod do kvantovej mechaniky (Alfa, Bratislava, 1983).
    E. Merzbacher: Quantum Mechanics (Wiley, New York, 1961, 1998)

    Příklady:
    J. Pišút, V. Černý, P. Prešnajder: Zbierka úloh z kvantovej mechaniky (Alfa-SNTL, Bratislava-Praha, 1985).
    S. Flügge: Practical Quantum Mechanics (Springer, Berlin, 1971, 1999).


    Poslední aktualizace: 03.05.2012