Kvantová mechanika I a II

Kdo při studiu kvantové mechaniky netrpěl pocitem závrati, ten ji doopravdy nepochopil.   (Niels Bohr, 1885-1962)
Kvantovou mechaniku nechápe nikdo.   (Richard Feynman, 1918-1988)


Rozsah a určení:
4/2 Z,Zk zimní semestr
4/2 Z,Zk letní semestr
Přednášky jsou určeny primárně pro posluchače 3. ročníku bakalářského studia na MFF UK, kteří již mají potřebné matematické základy, ale mohou si je zapsat i studenti navazujícího magisterského studia
Jde o detailní kurs nerelativistické kvantové mechaniky doporučený především zájemcům o magisterské studium oborů Teoretická fyzika a Jaderná a subjaderná fyzika
Předpokládá se návaznost kursů relativistické kvantové teorie, kvantové teorie pole a dalších specializovaných přednášek v 1. ročníku magisterského studia

Konání ZS 2017-18:
Úterý 13:10 - 14:40 (přednáška)
Středa 10:40 - 12:10 (cvičení)
Čtvrtek 10:40 - 12:10 (přednáška)
Posluchárna ÚČJF 3 (Trója, 9. poschodí, místnost 945)

Vyučující:
Přednášky: Pavel Cejnar
Cvičení: Pavel Stránský
Konzultace podle individuální domluvy
Probrané úlohy a domácí úkoly z cvičení najdete ZDE1 a ZDE2

Zkoušky a zápočty:
Kvantová mechanika I: termíny nevypsány
Kvantová mechanika II: termíny nevypsány
Zápočty: podmínkou je dosažení jistého minimálního sumárního počtu bodů za (a) průběžné vypracovávání domácích úkolů z cvičení a (b) řešení písemné zápočtové práce na konci semestru.
Zkoušky se skládají ze společné písemné části (1 příklad) a individuální ústní části (1 hlavní otázka, 1 vedlejší otázka, v případě nerozhodnosti examinátora 1-2 tzv. "nástřelné" otázky).
Zápis na zkoušku (případně zrušení zápisu) probíhá prostřednictvím SIS (přihlášení zde). Poslední změna možná den před termínem. Maximální počet zapsaných posluchačů je zpravidla 5-6.



A Condensed Course of Quantum Mechanics (Karolinum Press, Prague 2013), ISBN 978-80-246-2321-4, ISBN 978-80-246-2349-8 (pdf) ... dedikovaná "učebnice" k tomuto kursu     
Essential Formulae .PDF ... soupis základních pojmů a formulek (incomplete & for tough guys only!)
Kvantové hlavolamy: část I .PDF, II .PDF, III .PDF , IV .PDF, V .PDF ... série popularizačních článků (jako předkrm)

Kvantová mechanika I

0. Úvod (1 přednáška)
  • Kvantová úroveň, Planckova konstanta [kritérium pro použití kvantové mechaniky založené na změnách akce při přechodech mezi rozlišitelnými trajektoriemi].
  • Dvouštěrbinový experiment a jeho modifikace ["interference" a "which-path" uspořádání, rozlišení drah pomocí polarizace částice, experiment se zpožděnou volbou, "kvantový vymazávač"].
  • Koncepční důsledky [vlnový charakter částic, vliv měření na kvantový systém, kontextualita...].
  • Princip superpozice, vlnová funkce.

  • Biják (.PDF ~4MB)

    1a. Prostor stavů kvantového systému (1 přednáška)
  • Hilbertův prostor: pojem stavového prostoru, rozlišitelnost stavů, stavy jako vektory [kvantová neurčitost, princip superpozice].
  • Skalární součin jako amplituda pravděpodobnosti [pravděpodobnost "rozeznání stavu 1 ve stavu 2"].
  • Prostory L2 a l2, izomorfie separabilních Hilberových prostorů [kvadraticky integrabilní funkce, "nekonečné sloupečky", jejich vzájemné zobrazení, bázové vektory].
  • Diracova notace, bra a ket vektory, projekční operátory [duální prostor lineárních forem, obecný zápis lineárních operátorů, vlastnosti a obecný tvar projektorů].
  • Direktní součet prostorů [rozklad prostoru na alternativní stavové podprostory].
  • Direktní součin prostorů, provázané ("entangled") stavy [vícesložkové systémy (různé stupně volnosti, soustavy složené z více částí); subsystémy vícesložkového systému se nemusejí nacházet v definovaných (čistých) kvantových stavech].

  • 1b. Příklady stavových prostorů (1 přednáška)
  • Stavový prostor bezstrukturní částice ve 3D [komplexní vlnové funkce] a stavový prostor pro spin 1/2 [2-dim komplexní vektory].
  • Částice se spinem 1/2 ve 3D, spinory [2-dim "sloupečky" funkcí, alias funkce spojité + diskrétní proměnné, provázanost spinu s polohou].
  • Soustava 2, příp. N rozlišitelných částic [direktní součin 1-částicových prostorů].
  • Soustava 2 nerozlišitelných částic, bosony a fermiony, Pauliho princip a jeho důsledky [provázanost a interferenční jevy způsobené nerozlišitelností a jejich vymizení pro vzdálené částice].
  • Soustava N nerozlišitelných částic, bosonové a fermionové vlnové funkce [symetrizované a antisymetrizované stavové vektory, projektory do příslušných prostorů, Slaterův determinant]
  • Soustavy s proměnným počtem částic, Fokův prostor [separabilita versus neseparabilita prostoru].

  • 2a. Reprezentace fyzikálních veličin (1.5 přednášky)
  • Samosdružené ("hermitovské") operátory, jejich přiřazení pozorovatelným veličinám [momenty statistického rozdělení veličiny v daném stavu, rozdíly mezi hermitovskými, samosdruženými a symetrickými operátory v nekonečnědim. prostorech].
  • Vlastní čísla a vlastní vektory [bezdisperzní stavy, vlastní čísla coby "naměřitelné" hodnoty dané veličiny]
  • Vlastnosti vlastních čísel/vektorů samosdružených operátorů [reálnost, ortogonalita a úplnost systému vlastních vektorů].
  • Spektrální rozklad operátoru [degenerovaný a nedegenerovaný případ]. Pravděpodobnosti výsledků měření [odvození z výrazu pro momenty statistického rozdělení].
  • Operárory se spojitým spektrem: "rigged Hilbert space", spektrální funkce operátoru, zobecněný spektrální rozklad [příklad: spektrum nekonečněrozměrné tridiagonální matice, Gelfandův triplet v případě l2].

  • 2b. Příklady kvantových operátorů (2.5 přednášky)
  • Spin 1/2, Pauliho matice [vlastní čísla/vektory projekce spinu do libovolného směru, konstrukce vlastních vektorů stereografickou projekcí z Blochovy sféry].
  • Souřadnice [delta funkce coby vlastní stavy, definiční obor operátoru souřadnice, spojité spektrum, tvar spektrální funkce].
  • Hybnost [rovinné vlny a jejich modifikace (např. kulové vlny) coby vlastní stavy, obecný diferenciální tvar operátoru hybnosti, příklad: radiální hybnost].
  • Orbitální moment hybnosti [vyjádření ve sférických souřadnicích, vlastní čísla komponenty ve směru z].
  • Hamiltonián částice v potenciálu, 1D a 3D případ, stacionární Schrödingerova rovnice
  • Separabilní potenciály, převedení na 1D problém [akce operátorů na direktním součinu prostorů, příklady separ. systémů: částice v krabici, izotropní harmonický oscilátor].
  • Sféricky symetrické potenciály, separace radiálních a úhlových stupňů volnosti, radiální Schrödingerova rovnice, kulové funkce [úpravy Schrödingerovy rovnice ve sférických souřadnicích, okrajové podmínky pro radiální funkci, radiální a rotační kinetická energie].
  • Vázané a nevázané stavy, diskrétní a spojité spektrum energie [závislost na asymptotice potenciálu].
  • Přehled řešení stacionární Schrödingerovy rovnice v některých jednoduchých 3D systémech [vodík, harmonický oscilátor, hlavní a radiální kvantové číslo, degenerace stavů, nekonečná pravoúhlá jáma, Morseho potenciál].
  • Hamiltonián částice v elektromagnetickém poli, Pauliho rovnice [tvar v homogenním poli, zanedbatelnost členu s A2, Zeemanovo štěpení spektrálních čar].
  • Kalibrační invariance Pauliho rovnice [neměnnost spektra při kalibračních transformacích pole, kalibrační transformace vlnových funkcí].

  • Diracova delta funkce .PDF
    Konečná pravoúhlá potenciálová jáma 1D .PDF

    3a. Kompatibilní a nekompatibilní veličiny (2 přednášky)
  • Komutující a nekomutující operátory, vlastnosti komutátorů.
  • Současná diagonalizace komutujících operátorů [operátory komutují právě když všechny projektory na jednotlivé vlastní podprostory komutují].
  • Úplná množina pozorovatelných [báze číslovaná úplnou množinou vlastních hodnot, lib. další komutující operátor je funkcí ostatních].
  • Obecná relace neurčitosti pro nekompatibilní veličiny [přes Schwarzovu nerovnost].
  • Analogie komutátorů a Poissonových závorek [implikace nenulovosti Poissonovy závorky v klasické mechanice, Diracovo kvantování pomocí Poissonových závorek].
  • Ekvivalentní reprezentace kvantové mechaniky (diskrétní, spojité, smíšené) [vyjádření stavových vektorů pomocí "sloupečků" a/nebo funkcí, vyjádření lineárních operátorů pomocí matic a/nebo integrálních operátorů].

  • 3b. Příklady (ne)komutujících operátorů (3 přednášky)
  • Souřadnice a hybnost, komutační relace, Heisenbergovy relace [obecný diferenciální tvar operátorů x a p, příklad maticové reprezentace].
  • Kanonická versus mechanická hybnost, komutační relace složek mechanické hybnosti částice v magnetickém poli [Složky rychlosti nejsou kompatibilní].
  • Příklady úplných množin komutujících operátorů pro bezstrukturní částici (se spinem) ve 3D [a) 3 souřadnice, b) 3 hybnosti, c) radiální hybnost + kvadrát a složka momentu hybnosti, d) sféricky symetrický hamiltonián + kvadrát a složka moment hybnosti; to vše možno doplnit projekcí spinu].
  • Souřadnicová a impulsová reprezentace, jejich transformace [Fourierova transformace vlnových funkcí, vyjádření operátorů x a p v impulsové reprezentaci, gaussovské vlnové balíky].
  • Orbitální a spinový moment hybnosti, komutační relace složek, celkový moment hybnosti [kvadrát momentu hybnosti je kompatibilní se všemi komponentami, relace neurčitosti pro lib. 2 komponenty závisejí na střední hodnotě zbývající komponenty].
  • Obecný moment hybnosti, posunovací operátory, kontrukce spekter operátorů J2 a Jz [výběrová pravidla pro kvantová čísla j a m].
  • Skládání 2 momentů hybnosti [součinový Hilbertův prostor pro dvojici "spinů", množiny komutujících operátorů, výběrová pravidla pro celkové j a m, transformace mezi vázanou a nevázanou bází].
  • Clebsh-Gordanovy koeficienty, jejich základní vlastnosti [relace ortogonality, záměna indexů, změna znamének, 3j-symboly, konstrukce CG koeficientů z rekurentních relací (příklad: tripletní a singletní stavy 2 částic se spinem 1/2)].
  • Skládání 3 a více momentů hybnosti [alternativní množiny komutujících operátorů, konstrukce z nevázaných stavů pomocí CG koeficientů].

  • 4a. Reprezentace fyzikálních transformací (1.5 přednášky)
  • Unitární operátory a jejich vlastnosti. [zachování skalárního součinu, vzájemné transformace ortonormálních bází, vlastnosti vlastních čísel/vektorů, spektrální rozklad, zápis ve formě exponenciály hermitovského operátoru].
  • Fyzikální transformace jako unitární (antiunitární) zobrazení [transformace mezi "vztažnými soustavami", zachování pravděpodobností, antilinearita antiunitárních operátorů], unitární transformace operátorů pozorovatelných veličin [zachování vlastností transformovaných operátorů].
  • Symetrie v "širším" a "užším" pojetí [invariance kvantové mechaniky vůči dané transformaci (zaručena současnou transformací vektorů i operátorů), invariance hamiltoniánu vůči dané transformaci (degenerace spektra)].
  • Lieovy grupy a algebry (základní pojmy), generátory transformací jako pozorovatelné veličiny, teorém Noetherové [definice Lieovy grupy, (i)reducibilní reprezentace, algebra generátorů (uzavřenost vzhledem ke komutacím), (ne)abelovské grupy, Casimirovy operátory].

  • 4b. Základní časoprostorové transformace (2.5 přednášky)
  • Prostorová translace, hybnost [obecná komutační relace posunovacího operátoru, generátory translací, infinitesimální a konečné translace].
  • Diskrétní translace, kvazihybnost, Blochův teorém [vlastní funkce diskrétních translací, krystaly].
  • Prostorová rotace pro skalární vlnové funkce, orbitální moment hybnosti [odvození tvaru operátorů orbitálního momentu hybnosti z infinitesimálních rotací].
  • Prostorová rotace pro vektorové a spinorové vlnové funkce, spin 1 a 1/2 [spin 1: odvození tvaru spinových matic z transformací vektorových funkcí, spin 1/2: odvození transformačního zákona spinorů z tvaru spinových matic].
  • Zrcadlení prostoru, parita [parita jako pozorovatelná, skalární a pseudoskalární, vektorové a axiálně vektorové veličiny].
  • Posun času, hamiltonián [evoluční operátor].
  • Inverze času [důkaz antiunitarity a její důsledky, sudé a liché operátory vzhledem k inverzi času].
  • Dynamické symetrie, "náhodná" degenerace [vyšší symetrie hamiltoniánu, existence dodatečných komutujících operátorů pro vodík a harmonický oscilátor].

  • Biják .PDF (přednáška pro 2.ročník)
    Symetrie v mikrosvětě .PDF (popularizační článek)

    5a. Spontánní evoluce kvantového systému ("proces U") (4.5 přednášky)
  • Evoluční operátor, nestacionární Schrödingerova rovnice [požadavky na evoluční operátor, vyjádření pomocí dif. rovnice, stacionární stavy].
  • Tok pravděpodobnosti, rovnice kontinuity [odvození pro částici ve skalárním + vektorovém potenciálu, vyjádření toku pomocí operátoru rychlosti, gradient fáze vlnové funkce, otázka vírovosti proudění].
  • Zákony zachování a symetrie [konstantnost stat.rozdělení dané veličiny a podmínka [A,H]=0, vztah k teorému Noetherové, "operátor" časové derivace, jeho analogie s Poissonovou závorkou].
  • Exponenciální a neexponenciální rozpad [vyjádření pravděpodobnosti přežití počátečního stavu pomocí Fourierovy transformace jeho energetického profilu (lib.časy) a pomocí energetické disperze (malé časy), příklady: gaussovský a breit-wignerovský energetický profil, modifikace exponenciálního rozpadového zákona pro malé časy].
  • "Relace neurčitosti" pro energii a čas [vztah mezi energetickou šířkou stavu a rychlostí jeho evoluce, Tamm-Mandelstamova formulace, potíže se zavedením časového operátoru v kvantové mechanice].
  • Hamiltoniány závisející na čase, Dysonova řada pro evoluční operátor [nestac.Schrödingerova rovnice pro časově závislé hamiltoniány, tvar evolučního operátoru v případě [H(t),H(t')]=0 a [H(t),H(t')]≠0, časově uspořádaný součin].
  • Schrödingerův, Heisenbergův a Diracův popis časového vývoje [pohybové rovnice pro vektory a operátory v jednotlivých reprezentacích, přechody mezi reprezentacemi].
  • Ehrenfestův teorém pro částici ve vnějším poli, klasická limita [kvantová "Newtonova rovnice", klasické pohybové rovnice pro vývoj vlnových balíků, ztráta klasického chování na dlouhých časových škálách].
  • Základní myšlenka poruchového přístupu, rozvoj evolučního operátoru v interakčním parametru [v Diracově reprezentaci je interakční Hamiltonián časově závislý a lze předpokládat, že vyšší členy jeho Dysonovy řady jsou malé].
  • Greenův operátor, propagátor a jejich vyjádření ve formě řady [definiční rovnice pro Greenův operátor, tvar pro hamiltonián nezávisející na čase, jednočásticová Greenova funkce (propagátor), její "interakční interpretace", znovu poruchový přístup].

  • 5b. Příklady časového vývoje (1.5 přednášky)
  • Propagátor volné částice, evoluce vlnových balíků, meze použitelnosti nerelativistické QM [volný propagátor a klasická akce, gaussovský vlnový balík, fázová vs. grupová rychlost, rozplývání balíku, nefyzikální (nadsvětelná) rychlost rozplývání při lokalizaci částice menší než její Comptonova vlnová délka].
  • Koherentní stavy harmonického oscilátoru [vlastní stavy anihilačního operátoru, jejich vyjádření v x-reprezentaci a v energetické bázi oscilátoru, vzájemný překryv koherentních stavů, časový vývoj, vztah ke klasické dynamice oscilátoru].
  • Evoluce 2-hladinového systému, oscilace [vyjádření obecného 2-stavového evolučního operátoru pomocí Pauliho matic].
  • Magnetická rezonance, evoluce spinu v rotujícím magnetickém poli [Larmorova precese ve stacionárním mg.poli, stáčení spinu rotujícím polem, přesné řešení nestac.Schrödingerovy rovnice].

  • 6. Kvantové měření ("proces R") (1 přednáška)
  • Postulát redukce stavového vektoru [zda a proč jej potřebujeme?], předpokládané vlastnosti procesu R [indeterminismus, neunitarita, nelinearita].
  • Dynamický důsledek nekompatibility veličin [pravděpodobnost výsledků závisí na pořadí měření, u kompatibilních veličin naopak nezávisí].
  • Měření na složených systémech, EPR situace [korelace výsledků lokálních měření pro separabilní a provázané stavy složeného systému, nemožnost využití korelací k nadsvětelné komunikaci, "no-cloning" teorém].
  • Interpretační otázky ["realistické" vs. "korelační" přístupy k redukci stavu při měření, původní formulace EPR argumentu].

  • 7. Smíšené stavy (3 přednášky)
  • Kvantové statistické soubory, operátor (matice) hustoty [paralela s klasickými statistickými soubory, "klobouk kouzelníka Pokustóna" a jeho operátor, rozdělení pravděpodobnosti v celém Hilbertově prostoru, diagonalizovaná forma matice hustoty].
  • Čisté s smíšené stavy, rozlišení pomocí stopy kvadrátu matice hustoty a Von Neumannovy entropie [vlastnosti operátotu hustoty, obecné pojetí kvantového stavu coby operátoru hustoty, statistické vs. kvantové fluktuace].
  • Dynamika matice hustoty pro izolovaný systém, kvantová Liouvillova rovnice [neměnnost entropie, analogie s klasickou Liouvillovou rovnicí].
  • Otevřené systémy a smíšené stavy "druhého druhu", stavy podsystémů složeného systému, parciální stopa, Schmidtův rozklad stavu složeného systému [vyjádření matice hustoty podsystému pomocí parciální stopy celkového operátoru hustoty, současná diagonalizace parciálních matic hustoty].
  • Evoluce smíšených stavů "druhého druhu", dekoherence, důsledky pro otevřené systémy [pohybová rovnice pro matici hustoty podsystému, neunitární evoluce, "systém" a "prostředí", ztráta kvantové koherence systému, rovnost entropií systému a prostředí, ireversibilita].
  • Příklad: 2-hladinový systém (spin 1/2) [vyjádření matice hustoty pomocí Pauliho matic, střední spinová polarizace, evoluce pro interakci s prostředím, která nemění spinovou projekci, dekoherence bez disipace].

  • 8. Přibližné metody řešení Schrödingerovy rovnice I: Variační metoda (0.5 přednášky)
  • Variační princip pro nestacionární a stacionární Schrödingerovu rovnici [variační formulace kvantové mechaniky, nezávislá variace bra a ketů].
  • Ritzova variační metoda pro stacionární stavy [minimum energetického funkcionálu na třídě testovacích vlnových funkcí, nalezení základních a vzbuzených stavů, zahrnutí vazbových podmínek (normalizace, příp. ortogonalita k níže ležícím stavům, Lagrangovy multiplikátory)].

  • 9. Přibližné metody řešení Schrödingerovy rovnice II: Stacionární poruchová metoda (2.5 přednášky)
  • Princip poruchového přístupu [rozklad energií a vlnových funkcí do mocninné řady v parametru poruchového členu].
  • Opravy pro nedegenerované spektrum [detailní odvození oprav do 2.řádu pro energii a 1.řádu pro vlnovou funci, obecné vztahy pro odvození oprav N-tého řádu].
  • Opravy pro degenerované spektrum [diagonalizace poruchy v podprostoru degenerace, sejmutí degenerace, opravy 1., 2. a vyšších řádů].
  • Aplikace v atomové fyzice, jemná struktura spekter [lineární a kvadratický Starkův jev, jemná struktura atomových čar (spin-orbitální interakce, relativistická korekce), Zeemanův jev, spinová závislost energií atomu helia (efekt nerozlišitelnosti částic)].


  • Kvantová mechanika II

    10. Přibližné metody řešení Schrödingerovy rovnice III: Nestacionární poruchová metoda (3 přednášky)
  • Obecný formalismus, typologie aplikací, S-matice [interakční reprezentace, Dysonova poruchová řada pro amplitudy přechodů mezi vlastními stavy neporušeného hamiltoniánu, škála dlouhých a krátkých časů, asymptotické řešení a S-matice, příklady použití: přechody indukované proměnným vnějším polem, rozpady, rozptyl].
  • Skoková porucha: Fermiho "zlaté" pravidlo [pravděpodobnosti přechodů v 1. a 2. řádu, Fermiho zlaté pravidlo].
  • Exponenciální porucha [adiabatická limita].
  • Periodická porucha [rezonance, absorbce a vynucená emise].
  • Aplikace: Stimulované elektromagnetické přechody v atomech a jádrech [interakce systému nabitých kvantových částic s klasickou elektromagnetickou vlnou, účinný průřez absorbce (excitace systému polem), dipólová aproximace, dynamická interpretace dipólového přechodu].

  • 11. Ireducibilní tenzorové operátory (1.5 přednášky)
  • Wignerovy D-funkce [faktorizace operátoru rotace pomocí Eulerových úhlů, transformace vlastních vektorů momentu hybnosti při rotacích, rozklad obecného rotačního operátoru podle kvantového čísla j, ireducibilní reprezentace grupy rotací, Clebsh-Gordanova řada pro D-funkce].
  • Sférické tenzory a jejich skládání [kartézské tenzory a jejich (reducibilní) transformace, definice sférických tenzorů a jejich (ireducibilní) transformační vlastnosti, tenzorový a skalární součin].
  • Wigner-Eckartův teorém, výběrová pravidla [faktorizace maticových elementů sférického tenzorového operátoru v bázi momentu hybnosti, výběrová pravidla pro j a m, důkaz použitím rekurentní relace pro CG koeficienty].

  • Obrázek k Eulerovým úhlům (.PDF)

    12. Srážky částic - elementární popis a iterativní přístupy
  • Rozptyl na pevném potenciálu, stacionární formulace rozptylové úlohy pro potenciál "krátkého dosahu" [stacionární řešení s asymptotikou "rovinná + rozbíhavá kulová vlna", amplituda rozptylu, účinný průřez].
  • Problém 2 částic, oddělení těžišťových stupňů volnosti [operátory relativních a těžišťových stupňů volnosti, přechod mezi laboratorní do těžišťovou soustavou].
  • Efekty nerozlišitelnosti částic při rozptylu, Mottův rozptyl [modifikace účinného průřezu při rozptylu identických částic (spin 0 a 1/2)].
  • Typologie rozptylových procesů [pružný, nepružný rozptyl, rekace].
  • Lippmann-Schwingerova rovnice [její odvození ze stacionární a z nestacionární Schrödingerovy rovnice, vyjádření v souřadnicové reprezentaci pro obyčejný potenciál, vyjádření amplitudy rozptylu].
  • T-matice a Bornova řada [iterativní řešení Lippmann-Schwingerovy rovnice, vyjádření amplitudy rozptylu pomocí T-matice, Bornova řada pro amplitudu rozptylu].
  • První Bornovo přiblížení [odvození prvního Bornova přiblížení z nestacionární poruchové teorie, souvislost se "zlatým" pravidlem]. Použití na Yukawův potenciál [Rutherfordova formule jako limitní případ].
  • Vyšší členy Bornova přiblížení [interpretace jednotlivých členů iterativního rozvoje].

  • 13. Srážky částic - metoda parciálních vln
  • Parciální vlny pro rozptyl částice na sféricky symetrickém potenciálu [rozklad vlnové funkce do kulových vln s ostrou hodnotou orbitálního impulsmomentu, vyjádření amplitudy rozptylu, srovnání s klasickým popisem pomocí impaktního parametru].
  • Amplitudy parciálních vln, fázové posuny, S-matice [ekvivalentní vyjádření účinných průřezů přes amplitudy parciálních vln, fázové posuny parciálních vln a elementy S-matice].
  • Pružný rozptyl [podmínka unitarity, určení fázových posunutí z řešení stacionární Schrödingerovy rovnice].
  • Potenciál konečného dosahu [určení fázových posunutí ze spojitého sešívání vlnových funkcí]. Příklad: rozptyl na tvrdé kouli, nízkoenergetická a vysokoenergetická limita, stínový rozptyl.
  • Zahrnutí nepružného rozptylu [vyjádření elementů S-matice pružného rozptylu za přítomnosti nepružných kanálů, výrazy pro celkový účinný průřez pružného a nepružného rozptylu a jejich vzájemný vztah].
  • Optický teorém [odvození v rámci metody parciálních vln, obecnější význam].
  • Coulombický rozptyl [modifikace rozptylové úlohy pro coulombický potenciál (tj. potenciál "dlouhého dosahu")].
  • Rozptyl při velmi nízkých energiích [rozptylová délka, role vázaných stavů].
  • Rezonance [maxima účinného průřezu odpovídající kvazi vázaným stavům, póly matice S v rovině komplexní energie].

  • 14. Systémy nerozlišitelných částic
  • Reprezentace obsazovacích čísel pro nerozlišitelné částice [projektory na bosonový a fermionový podprostor, projekce stavů separabilní N-částicové báze, Slaterův determinant].
  • Kreační a anihilační operátory pro bosony a fermiony [zavedení kreačních a anihilačních operátorů, odvození jejich komutačních / antikomutačních relací].
  • Operátory počtu částic [celkový počet částic a obsazovací čísla jednočásticových stavů, dvoučásticové korelace v mnohočásticové vlnové funkci].
  • "Vztah mezi spinem a statistikou", bifermion vs. boson [které částice jsou bosony a které fermiony, kdy je dvojice fermionů bosonem].
  • Vyjádření n-částicových operátorů pomocí kreačních a anihilačních operátorů [explicitní odvození pro 1- a 2-částicové operátory].
  • "Druhé kvantování" [vyjádření kreačních a anihilačních operátorů v libovolné 1-částicové bázi, kreační a anihilační operátory v souřadnicové reprezentaci, jejich použití k vyjádření celkové energie].
  • Kvantování elektromagnetického pole [fotonové kreační a anihilační operátory, vyjádření hustoty energie, emise a absorbce fotonu].

  • 15. Přibližné metody řešení Schrödingerovy rovnice IV: Mnohočásticové techniky
  • Hartree-Fokova metoda, koncept středního (selfkonzistentního) pole [1- + 2-částicový fermionový hamiltonián, variční metoda s vlnovými funkcemi typu Slaterova determinantu, rovnice středního pole, vyjádření v souřadnicové reprezentaci].
  • Hartree-Boseho metoda, kvantové kondenzáty [1- + 2-částicový bosonový hamiltonián, variační metoda s vlnovými funkcemi kondenzátového typu].
  • Párování a teorie BCS, kvazičástice [fermionové zbytkové interakce velmi krátkého dosahu, párování, metoda BCS (Bardeen-Cooper-Schrieffer), Bogoljubovova transformace, přechod mezi mezi normálním a supravodivým řešením].

  • 16. Kvantově-klasická korespondence (4 přednášky)
  • Semiklasická aproximace, metoda WKB pro částici ve vnějším poli [Hamilton-Jacobiho formulace klasické mechaniky, odvození WKB rovnic z časové Schrödingerovy rovnice, statistická interpretace a "pilotní vlna", podmínky zanedbání členu s h2].
  • Použití WKB metody k výpočtu semiklasických stacionárních stavů a transmisních koeficientů [obcházení klasických bodů obratu, Bohr-Sommerfeldova kvantovací podmínka, harmonický oscilátor a nekonečná pravoúhlá jáma, aproximace transmisních koeficientů].
  • Základní myšlenka Feynmanova integrálu [vyjádření jednočásticového propagátoru pro volnou částici a částici v potenciálu jako funkcionálního integrálu přes trajektorie, aplikace na dvouštěrbinový experiment, efekt magnetického pole - Aharonov-Bohmův jev].
  • Semiklasická teorie hustoty kvantových stavů [vyjádření hustoty stavů pomocí propagátoru, výpočet hladké části hustoty stavů pomocí dostupného objemu fázového prostoru, oscilující část hustoty stavů jako suma přes periodické trajektorie].
  • Kvantová mechanika ve fázovém prostoru, Wignerova funkce [obecný tvar Wignerovy funkce, její vyjádření pomocí matice hustoty v x-reprezentaci, "neklasičnost" Wignerovy funkce (možnost záporných hodnot), dekoherence, příklad superpozice 2 vlnových balíků].

  • Biják (.PDF,~5 MB)
    →"Show your classical apparatus!" .PDF
    Dekoherence .PDF

    17. Kvantová nelokalita a informace (2 přednášky)
  • Experiment Einsteina-Podolskeho-Rosena (EPR) [2 částice se spinem 1/2, pozorovatelé A a B měří projekci spinů svých částic ve vzájemně různých směrech, korelace výsledků].
  • Bellovy nerovnosti a jejich narušení [pokus o popis korelací mezi měřením A a B v EPR experimentu pomocí klasického pravděpodobnostního modelu, odvození Bellových nerovností z předpokladu lokality, narušení Bellových nerovností v kvantové mechanice].
  • Další paradoxy spojené s kolapsem vlnové funkce [Schrödingerova kočka, bezinterakční měření, Zenónův jev].
  • Od paradoxů k aplikacím: kvantová teleportace, kvantová kryptografie, kvantové počítání [základní principy].

  • Kolaps vlnové funkce .PDF
    Kryptografie & teleportace .PDF
    Kvantové počítání .PDF
    Kvantová nelokalita .PDF (popularizační článek)
    Dilbert on quantum computing


    18. Kvantová statistická fyzika
  • Operátor hustoty pro kanonický a grandkanonický soubor [stacionární soubor s maximem entropie při zadané střední energii a počtu částic, partiční funkce, vyjádření střední energie, disperse energie a měrného tepla pomocí partiční funkce].
  • Dvouhladinový systém při konečné teplotě [teplotní závislost střední polarizace].
  • Harmonický oscilátor při konečné teplotě, měrné teplo pevných látek [partiční funkce, střední energie, měrné teplo].
  • Bosonový a fermionový plyn [obsazovací pravděpodobnosti jednočásticových stavů].
  • Vztah partiční funkce a hustoty kvantových stavů [inverzní Laplaceova transformace partiční funkce, hustota stavů jednokomponentního Fermiho plynu].

  • 19. Parametricky závislé vázané systémy
  • Dynamika hladin, skutečná a odvrácená křížení hladin [hamiltoniány s diskrétním spektrem závisející lineárně na proměnném parametru, změny energií a vlastních stavů s parametrem, analogie s coulombickým plynem].
  • Hnané systémy, adiabatická limita, Berryho fáze [systémy s časově závislými vnějšími parametry, přesné rovnice pro časový vývoj, adiabatická aproximace, dynamický a geometrický fázový faktor].

  • Dynamika hladin v proměnném dvoujámovém potenciálu (.PDF,~1.2 MB)




    Literatura:

    Učebnice:
    P. Cejnar: A Condensed Course of Quantum Mechanics (Karolinum, 2013) …dedikovaná učebnice k tomuto kursu
    J. Formánek: Úvod do kvantové teorie (Academia, 1983, 2004).
    J.J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics (Addison-Wesley, 1985, 1994).
    J.J. Sakurai, J.J. Napolitano: Modern Quantum Mechanics (Addison-Wesley, 2011).
    G. Auletta, M. Fortunato, G. Parisi: Quantum Mechanics (Cambridge Univ. Press, 2009).
    L.E. Ballantine: Quantum Mechanics. A Modern Development (World Scientific, 1998).
    J. Pišút, L. Gomolčák, V. Černý: Úvod do kvantovej mechaniky (Alfa, 1983).
    A. Peres: Quantum Theory: Concepts and Methods (Kluwer, 1995)
    A. Bohm: Quantum Mechanics: Foundations and Applications (Springer, 1979, 1993)
    W. Greiner: Quantum Mechanics: An Introduction (Springer, 1989)
    W. Greiner: Quantum Mechanics: Special Chapters (Springer, 1998)
    W. Greiner, B. Müller: Quantum Mechanics: Symmetries (Springer, 1989)
    E. Merzbacher: Quantum Mechanics (Wiley, 1961, 1998)

    Příklady:
    J. Pišút, V. Černý, P. Prešnajder: Zbierka úloh z kvantovej mechaniky (Alfa-SNTL, 1985).
    S. Flügge: Practical Quantum Mechanics (Springer, 1971, 1999).



    Poslední aktualizace: 01.03.2018