Bosonizace fermionů

Pavel Cejnar

Ústav částicové a jaderné fyziky, MFF UK, Praha

Mnohočásticové soustavy vzájemně interagujících fermionů (např. atomová jádra) vykazují řadu bosonových vlastností. Jejich původ lze hledat jak v interakcích, které fermiony svazují do párů, tak v kvantování vibračních a rotačních kolektivních módů pohybu. Interakce bosonových a fermionových stupňů volnosti mohou představovat faktickou realizaci supersymetrie v mnohočásticové fyzice. O přesný mikroskopický popis těchto jevů se snaží techniky bosonového mapování.

Fermiony versus bosony

Kdyby existovaly jen bosony, byl by svět beznadějně nudný. Bez Pauliho vylučovacího principu by elektrony v atomech obsazovaly jen nejnižší energetickou slupku, čímž by v podstatě vymizely rozdíly mezi prvky. Vyhořelým hvězdám by nic nebránilo se gravitačně zhroutit do nekonečně hustých singularit, takže vesmír by byl plný černých děr... Naopak, absencí bosonových rysů chování částic bychom byli ochuzeni o mnoho zajímavých jevů, k nimž patří především supratekutost a supravodivost - snad nejpodivuhodnější projevy kvantových zákonů v makroskopickém měřítku. Zdá se, že bosony zodpovídají také za všechny kolektivní pohyby kvantových systémů, tedy v jistém smyslu za existenci klasické fyziky.

Základní rozdíl mezi fermiony a bosony - tj. částicemi řídícími se Fermi-Diracovou, resp. Bose-Einsteinovou statistikou - tkví v typu symetrie vlnové funkce při záměně částic: zatímco vlnová funkce dvojice nerozlišitelných bosonů je vůči záměně částic symetrická, tj. její hodnota se při prohození proměnných první a druhé částice zachová, Y(x₁ ,x₂) = Y(x₂ ,x₁), vlnová funkce dvojice nerozlišitelných fermionů je vůči této záměně naopak antisymetrická, Y(x₁ ,x₂) = -Y(x₂ ,x₁). Změnu fáze vlnové funkce obecným faktorem e^if („anyony“), která by také zaručovala nerozlišitelnost částic, lze na obecné úrovni vyloučit argumentem, že dvojí záměna musí obnovit původní funkci (tato možnost se však může uplatnit v určitých speciálních situacích).

Ještě obecnější než symetrie dvoučásticové vlnové funkce jsou základní algebraické vlastnosti bosonových a fermionových operátorů. Např. pro kreační operátory b_i⁺, resp. a_i⁺ , které do N-částicové vlnové funkce Y º Y(x₁ ,..., x_N) „přidávají“ jeden další boson, resp. fermion v i-tém jednočásticovém kvantovém stavu, platí

(1) b_i⁺b_j⁺ - b_j⁺b_i⁺ º [b_i⁺, b_j⁺] = 0,

(2) a_i⁺a_j⁺ + a_j⁺a_i⁺ º {a_i⁺, a_j⁺} = 0.

Zatímco v prvním případě se jedná o komutační relaci (na pořadí kreace bosonů ve stavech i a j nezáleží), druhá rovnice vyjadřuje relaci antikomutační (pro fermiony indukuje přehození pořadí kreace znaménko minus). Z druhé rovnice vyplývá identita (a_i⁺)² = 0, což je jednoduché vyjádření Pauliho principu. Stejné vztahy platí také pro anihilační operátory b_i , resp. a_i , jež z vlnové funkce naopak „ubírají“ částice v příslušných stavech. Důležitá jsou také relace

(3) [b_i, b_j⁺] = d_ij ,

(4) {a_i , a_j⁺} = d_ij ,

které charakterizují změnu pořadí kreace a anihilace a vedou k vyjádření počtu částic ve stavu i pomocí operátorů n_i =b_i⁺b_i , resp N_i = a_i⁺a_i.

K bosonům patří částice s celočíselným spinem, tedy kvanta základních interakcí - foton, W^±, Z, gluony a snad i dosud nepozorovaný graviton. Fermiony jsou naopak částice s polocelým spinem, tedy všechny částice „hmoty“ - leptony a kvarky - a jejich antičástice. Vzniká proto otázka, odkud se berou bosonové atributy řady objektů složených z fermionů, např. supratekutost atomových jader a neutronových hvězd nebo kondenzace fermionových kapalin? Jak vysvětlit úspěch algebraických bosonových modelů v jaderné a molekulární fyzice?

Kdy může být bifermion bosonem?

Na první pohled se zdá se, že plně bosonové rysy chování musí vykazovat dvojice fermionů, nebo obecněji soustavy složené ze sudého počtu fermionů. Při výměně dvou takových bifermionů (případně 2N-fermionů) se totiž faktory minus pocházející od záměny jednotlivých fermionů uvnitř složené částice vždy vzájemně kompenzují, což vede k výsledné symetrii celkové vlnové funkce. Tento závěr je podporován i skutečností, že sudý počet fermionů s polocelými spiny může složit jen částici se spinem celým, tedy „cosi“ bosonové povahy. Zpravidla proto pokládáme za zcela jasné, že např. mezony - totiž částice, které se skládají z dvojice kvarku a antikvarku – jsou plnokrevnými bosony. Jiným podobným, dosti široce sdíleným „příběhem“ je interpretace supravodivosti a supratekutosti fermionových kapalin (včetně atomových jader) pomocí bosonové kondenzace Cooperových párů, tedy dvojic korelovaných (antikorelovaných) fermionů.

Skutečnost je však taková, že dvojice fermionů není bosonem. Již z jednoduchého náhledu vyplývá nemožnost usadit dva bifermiony ve zcela stejném kvantovém stavu – brání tomu Pauliho vylučovací princip platný pro jednotlivé fermionové konstituenty. Je sice pravda, že pro výše uvedený příklad s mezony jen stěží narazíme na situace, kdy by se odlišnosti od bosonového chování skutečně projevily – dvojice mezonů zpravidla pozorujeme v dobře oddělených stavech, kdy jednotlivé kvarky a antikvarky nemají šanci demonstrovat svou fermionovou „nesnášenlivost,“ ale s Cooperovými páry je to složitější. V kondenzovaných soustavách typu atomových jader totiž jednotlivé částice sdílejí prakticky stejnou oblast stavového prostoru, takže představa nezávislých bosonů je pro takto nahuštěné fermionové páry jen velmi hrubou aproximací.

Tyto argumenty se dají zformulovat i poněkud exaktněji. Operátor, který ve vlnové funkci systému kreuje jeden bifermion, lze zavést jako obecnou superpozici všech možných dvojic fermionů, tj.

(5) A⁺ = ½ S_i,j a_ij a_i⁺a_j⁺ ,

kde a_ij představují libovolné číselné koeficienty, splňující podmínku danou vhodnou (ne nutně jednotkovou) normalizací dvoufermionového stavu Y_pár = A⁺ Ψ_vac (zde Ψ_vac značí stav s nulovým počtem částic - vakuum). Pro anihilační operátor bifermionu tak dostáváme hermitovsky sdružený vztah A = ½ S a_ij* a_j a_i . S využitím rovnic (2) a (4) není těžké odvodit vztah

(6) [A, A⁺] = 1 - S_i,j (S_k a_ki a_kj*) a_i⁺a_j ,

který zřejmě není totožný s bosonovou komutační relací (3). Suma na pravé straně, jíž se výraz právě liší od bosonového komutátoru, má vzrůstající vliv s rostoucí hustotou zaplnění jednočásticového stavového prostoru.

Bosonové mapování

Koncepčně jednoduché řešení problému nebosonových členů v komutátoru (6) navrhli v roce 1962 Beljaev a Zelevinskij [1]. Využili při tom mapování bifermionových operátorů A⁺ na předem neznámé funkce f (b⁺,b) podle schématu

(7) A⁺ ® b⁺ S_n c_n (b⁺b)ⁿ ,

(8) A ® S_n c_n* (b⁺b)ⁿ b ,

kde volné parametry c_n jsou určeny právě tak, aby zároveň se vztahem (6) byla splněna také bosonová relace [b, b⁺]=1. V tomto přístupu nejsou bosony ztotožněny přímo s bifermiony, ale s komplikovanějšími objekty, zahrnujícími také čtyř- a vícefermionové korelace. Uvedené práce založily dnes již poměrně rozsáhlý obor bosonového mapování [2].

Teprve o několik let později vyšlo najevo, že jednu z nejjasnějších ilustrací Beljaev-Zelevinského mapování lze najít již v práci Holsteina a Primakoffa z roku 1940 [3]. Zde byla navržena bosonová realizace spinové algebry SU(2), tj. algebry tvořené trojicí operátorů J₊, J_- a J₀ splňujících známé komutační relace úhlového momentu:

[J₊, J_-] = 2J₀ ,

(9) [J₀, J₊,] = J₊ ,

[J₀, J_-] = -J_- .

Je známo, že tyto relace mohou popisovat také tzv. kvazispinové operátory fermionových párů s nulovým celkovým momentem hybnosti, které zaplňují slupku s jednofermionovým (polocelým) impulsmomentem j. K tomu stačí položit

(10) J₊ = ½ S_m (-1) ^j-m a_m⁺a_-m⁺ ,

J_- = (J₊)⁺ (hermitovsky sdružený výraz), a J₀=½N-Ω, kde operátor a_m⁺ kreuje fermion s projekcí m úhlového momentu j a N je operátor celkového počtu fermionů (slupka pojme maximálně 2j+1º 2Ω fermionů). Bosonová realizace spinové (kvazispinové) algebry navržená Holsteinem a Primakoffem spočívá v následujícím mapování:

J₊ ® b⁺ (Ω -b⁺b)^½ ,

(11) J_- ® (Ω -b⁺b)^½ b ,

J₀ ® b⁺b - ½Ω .

Bosonové výrazy na pravé straně splňují stejné komutační relace jako původní spinové operátory, takže tvoří ekvivalentní uskutečnění algebry SU(2).Vidíme, že odmocninový člen v prvních dvou výrazech odpovídá sečtené Beljaev-Zelevinského řadě ze vztahů (7) a (8).

Nevýhodou mapování podle právě nastíněného schématu je obecná nekonečnost bosonových rozvojů na pravé straně formulí (7) a (8), resp. (11). S ní jsou spojené vážné komplikace při mapování mnohočásticových operátorů. Např. dvoučásticový interakční hamiltonián, pokud může být vyjádřen (viz dále) pomocí nějaké sady bifermionových operátorů A_μ⁺ a A_ν ve tvaru sumy členů ε_μν A_μ⁺A_ν (kde ε_μν jsou konstanty), se sice dá převést na odpovídající ryze bosonový hamiltonián, ale za cenu objevení se tří- a vícečásticových interakcí. Tento problém částečně řeší Dysonovo mapování [4], které má pro jednoduchou algebru SU(2) následující tvar:

J₊ ® b⁺ (Ω -b⁺b) ,

(12) J_- ® b ,

J₀ ® b⁺b - ½Ω .

Je jasné, že daní za odstranění nepříjemné odmocniny z výrazů (11) je asymetrie prvního a druhého výrazu (12) vůči operaci hermitovského sdružení. Při mapování stavového prostoru tato asymetrie indukuje nutnost oddělení tzv. pravých a levých obrazů vlnových funkcí. Pokud jsou výpočty fyzikálních pozorovatelných v bosonovém prostoru prováděny konzistentně (tj. se zřetelem k pravým a levým obrazům), jsou jejich předpovědi zcela ekvivalentní odpovídajícím výpočtům ve fermionovém prostoru. Explicitní asymetrie vůči hermitovskému sdružení však znesnadňuje přímé porovnání bosonových operátorových obrazů s některými fenomenologickými modely. „Léčení“ této asymetrie (pomocí určitých podobnostních transformací) je bohužel dosti obtížné a v mnoha případech do problému opět vnáší bosonové členy vyšších řádů, jejichž odstranění bylo právě hlavní motivací zavedení reprezentace (12). Přes tyto problémy Dysonův typ mapování v některých případech poskytuje nejvýhodnější metodu „bosonizace.“

Obecným pravidlem při použití všech metod bosonového mapování je nutnost oddělovat fyzikální stavy v bosonovém prostoru od stavů nefyzikálních - tzv. nepravých. Pracujeme-li s konečnou slupkou jednofermionových stavů, je díky Pauliho principu také prostor všech N-fermionových vlnových funkcí konečný. Naproti tomu bosonový stavový prostor je v počtu částic zjevně neomezený, takže musí obsahovat nefyzikální část. Např. u výše diskutované algebry SU(2) je stav s maximálním počtem fermionů N = 2Ω zobrazen na stav s počtem bosonů rovným n = Ω (stav s N=0 je triviálně mapován na n=0) a všechny bosonové stavy s  n > Ω jsou nefyzikální. Opravdu – ze vztahů (11) a (12) vidíme, že pokusíme-li se vykreovat v systému více než Ω bifermionů, výrazy v závorkách na pravé straně mapování zajistí „destrukci“ (vynulování) odpovídající vlnové funkce. Tyto výrazy tedy představují jakési Pauliho korekční členy v bosonovém prostoru. Ačkoliv se dá jednoduše ukázat, že bosonový hamiltonián získaný mapováním mikroskopického fermionového hamiltoniánu nikdy nepropojuje fyzikální stavy s nepravými, existence nefyzikální části bosonového prostoru může v některých případech nepříjemně ovlivnit vyšetřování vlastností bosonových obrazů.

Interagující bosony v jádrech

Ideální laboratoří pro studium jevů fermionové bosonizace jsou atomová jádra. Dvoučásticové síly mezi nukleony (které jsou v jistém smyslu jakýmsi zbytkovým působením silné interakce mezi kvarky) vedou především ke vzniku silného jednočásticového potenciálu uvnitř jader, tzv. středního pole. Tento mechanismus je podobný ustavení středního elektromagnetického pole v mnohoelektronových atomech a dává také vzniknout analogickým slupkovým efektům. Na rozdíl od atomů však k jednočásticovým silám v jádrech existují relativně významné korekce - zbytkové síly především dvoučásticové povahy. Jednu jejich část tvoří přitažlivé síly velmi krátkého dosahu, které sdružují nukleony s opačně orientovanými momenty hybnosti do Cooperových párů (odtud supravodivé, resp. supratekuté vlastnosti jader). Druhou část tvoří zbytkové síly dlouhého dosahu, jež jsou zodpovědné za různé formy kolektivních pohybů jader (jaderné vibrace). Oba typy zbytkových interakcí jsou příčinou toho, že dvoufermionové stupně volnosti hrají v jádrech opravdu velmi důležitou roli.

Teoretický popis jaderné struktury zpravidla vychází od předem daného středního pole a zbytkových interakcí. Protože jejich stanovení z „prvních principů,“ tj. ze známých mezinukleonových interakcí, je velmi obtížné, takže se většinou používají určité fenomenologické modely. Standardní jaderný hamiltonián se zapisuje jako

(13) H = S_i,j u_ij a_i⁺a_j + S_i,jkl v_ijkl a_i⁺a_j⁺a_k a_l ,

kde operátory a_i⁺ kreují nukleony v jednotlivých stavech z okolí Fermiho energie středního pole. První suma ve vztahu (13) obsahuje jednočásticové členy, tj. kinetickou energii a střední pole (součin kreačního a anihilačního operátoru popisuje jednočásticový proces změny stavu nukleonu), zatímco druhá suma odpovídá zbytkovým dvočásticovým interakcím (součin dvou kreačních a dvou anihilačních operátorů představuje změnu stavu dvojice nukleonů); hodnoty u_ij a v_ijk jsou interakční konstanty. Tří- a vícečásticové zde interakce neuvažujeme.

Pro určení vlastností hamiltoniánu (13) se používají různá přiblížení. V mikroskopické teorii jaderné struktury je standardním postupem aplikace metody známé z teorie supravodivosti (tzv. BCS, podle iniciál autorů Bardeena, Coopera a Schieffera [5]) k oddělení zbytkových interakcí krátkého dosahu a následné použití tzv. aproximace náhodné fáze (RPA), v podstatě oscilátorového přiblížení, pro započtení dlohodosahových zbytkových interakcí. V určitých zjednodušených situacích je však alternativní možností algebraizace problému a využití technik bosonového mapování.

Výchozím bodem je identifikace vhodné dynamické soustavy bifermionů A_μ⁺ a zápis hamiltoniánu (13) ve formě

(14) H´ = h₀ + S_μν ω_μν [A_ν , A_μ⁺] + S_μν, ε_μν A_μ⁺ A_ν ,

kde h₀ je aditivní konstanta a ω_μν , resp. ε_μν nové parametry středního pole, resp. zbytkových interakcí - možnost vyjádření středního pole bifermionovým komutátorem vyplývá např. ze vztahu (6). Již jen algebraické vyjádření problému (daná soustava bifermionů a jejich komutátorů vždy uzavírá algebru) přináší značné výhody. Mezi ně patří především možnost exaktního řešení v určitých speciálních situacích (dynamické symetrie), ale také rigorózní zavedení „geometrie,“ tj. relevantních kolektivních proměnných systému. Mapování operátorů na pravé straně (14) do bosonového prostoru navíc nahrazuje obtížné fermionové korelace koncepčně snad poněkud jednoduššími korelacemi bosonovými.

Nejznámějším jaderným bosonovým modelem je tzv. IBM - model interagujících bosonů [6]. V současné době se spíše jedná o celou rodinu vzájemně provázaných fenomenologických modelů, vhodných k popisu nízkoležících kolektivních excitací sudo-sudých jader. Hlavním předpokladem IBM v jeho základní podobě je existence dynamických párů valenčních nukleonů s momenty hybnosti 0 a 2, tedy bosonů s a d. Bosonový hamiltonián obsahuje nejvýše dvoučásticové interakce a splňuje určité základní symetrie. Množina operátorů typu s⁺d, d⁺s, s⁺s a d⁺d (celkem 6² operátorů) tvoří dynamickou algebru problému, algebru U(6), jejíž možné rozklady do vnořených subalgeber umožňují pro učité hodnoty interakčních konstant, odpovídající dynamickým symetriím, analytické řešení. Důležitou vlastností algebry U(6) je zachování celkového počtu bosonů n – toto číslo je pro dané jádro určeno jako polovina počtu valenčních nukleonů. Geometrická analýza modelu definuje proměnné, které lze interpretovat jako charakteristiky kvadrupólové deformace „jaderné kapky,“ takže na IBM můžeme pohlížet jako na kvantovanou verzi geometrického kolektivního modelu, jež ovšem současně zahrnuje i efekty vyplývající z konečného počtu částic.

Jaderná supersymetrie

Vzniká otázka, zda se metody bosonového mapování dají použít i na systémy s lichým počtem fermionů. Např. na jádra s lichými protonovými či neutronovými čísly, v nichž nukleony nemohou být zcela spárovány. Odpověď je kladná za předpokladu, že v souboru mapovaných operátorů existuje určitá algebraická struktura. Klíčovou vlastností algebry je uzavřenost vůči operaci komutace – viz např. definiční vztahy (9) pro algebru SU(2). Protože jednotlivé multifermionové operátory splňují jak komutační, tak antikomutační relace, viz např. (4) a (6), algebraická struktura odpovídající lichým fermionovým systémům nemůže být obyčejnou algebrou, nýbrž superalgebrou. Ta je v nejjednodušším případě definována jako množina operátorů, která se dělí na dva sektory, sudý a lichý, jejichž elementy splňují relace:

[sudý, sudý] = sudý ,

(15) [sudý, lichý] = lichý ,

{lichý, lichý} = sudý

Do sudého sektoru budou např. patřit všechny bifermionové kreační a anihilační operátory (tvořící spolu se svými komutátory obyčejnou algebru), zatímco lichý sektor může obsahovat kreační a anihilační operátory jednotlivých fermionů (případně složitější výrazy odpovídající efektivní kreaci či anihilaci lichého počtu fermionů).

Zobecněná technika Dysonova mapování [7] umožňuje převedení konkrétní superalgebry multifermionových operátorů do bosonového jazyka. Zatímco prvkům sudého sektoru budou, podobně jako v případě obyčejné algebry, přiřazeny efektivně bosonové operátory (modifikované však existencí lichých elementů), prvky lichého sektoru se zobrazí na výrazy obsahující operátory odpovídající jakýmsi „ideálním“ fermionům. Tyto částice nejsou totožné s původními („reálnými“) fermiony, spíše by se dalo říci, že připomínají kvazičástice známé z teorie supravodivosti. Jejich přítomnost v bosonových obrazech je nevyhnutelným důsledkem skutečnosti, že mapovaný systém fermionových operátorů obsahuje lichý sektor.

Např. pro kvazispinovou algebrou (9) rozšířenou o lichý sektor, tvořený jednotlivými kreačními a anihilačními operátory fermionů na slupce j, dostáváme:

J₊ ® b⁺ (Ω - À) ,

(16) J_- ® b ,

J₀ ® ½ ( b⁺b + À- Ω) ,

kde À představuje operátor celkového počtu bosonů a ideálních fermionů. Mapování operátorů lichého sektoru je složitější, např. obraz fermionového kreačního operátoru má (až na celkovou fázi) tvar

(17) a_m⁺ ® c_m⁺ F₁ + b⁺c_-m + C⁺c_-m F₂ ,

kde c_m⁺ kreuje ideální fermion s projekcí m a C⁺ ideální bifermion analogický jako ve vztahu (10), zatímco F₁ a F₂ představují Pauliho korekční faktory. Ze vztahů (16) a (17) vidíme, že na straně obrazů zobecněného Dysonova mapování vzniká explicitní provázánost bosonových a fermionových stupňů volnosti. Např. druhý člen obrazu (17) anihiluje ideální fermion s projekcí –m a kreuje boson (ten zhruba odpovídá reálnému fermionovému páru, takže tento proces skutečně odpovídá efektivní kreaci jednoho reálného fermionu).

Výrazy, které kombinují bosonové a fermionové operátory, jsou v poněkud jiném kontextu známé z teorie supersymetrie (SUSY). Její idea vznikla na počátku 70. let v kvantové teorii pole, kde sjednocení prostoročasových a vnitřních symetrií elementárních částic vyžaduje vnoření příslušné algebry transformací symetrie do obecnější superalgebraické struktury. To vedlo k předpovědi (dosud nepotvrzené) výskytu elementárních částic ve formě fermion-bosonových dubletů (např. kvark-skvark, fotino-foton atd.). I v nerelativistické kvantové fyzice se však supersymetrie ukázala být účinným nástrojem [8]. Příkladem je hledání tříd hamiltoniánů se stejnými energetickými spektry pomocí jistých SUSY transformací nebo použití supersymetrických metod v teorii náhodných matic při popisu kvantových chaotických systémů.

Historicky nejstarší aplikace supersymetrie v nerelativistické kvantové fyzice spadá do oblasti jaderné fyziky. Je jí sjednocení popisu sudých a lichých jader, navržené Iachellem v roce 1980 [9], tedy zhruba jeden rok před vlivným Wittenovým článkem o SUSY kvantové mechanice [10]. Iachello využil vnoření dynamické algebry U(6) modelu interagujících bosonů do superalgebry U(6/2Ω), která kromě s a d bosonů IBM popisuje také fermiony na slupce o kapacitě 2Ω (kromě operátorů typu b⁺b zahrnuje též a⁺a, a⁺b a b⁺a). Celkový počet bosonů a fermionů À= n+N je invariantem zmíněné superalgebry, tedy se dynamicky zachovává, a kvantová spektra energetických hladin všech jader s daným À by měla být popsatelná společně, v rámci jednoho supersymetrického hamiltoniánu. Protože počet IBM bosonů n je jednoznačně určen jako polovina počtu valenčních fermionů a N může být buď 0, nebo 1 (větší počet nespárovaných, tedy nebosonizovaných fermionů by odpovídal relativně vysoce excitovaným stavům, které jsou mimo rámec modelu), výše popsaný předpoklad implikuje simultánní popis sudo-lichých dvojic sousedních jader.

Později byl tento model rozšířen explicitním odlišením protonových (π) a neutronových (ν) stupňů volnosti, tedy zavedením složené dynamické superalgebry U_π(6/2Ω_π) Ä U_ν(6/2Ω_ν), která separátně zachovává À_π a À_ν. Současný popis spekter se tedy v tomto případě týká ne dvojic, ale čtveřic sousedních sudo-sudých, sudo-lichých, licho-sudých a licho-lichých jader. K dosud nejvýraznějším experimentálním úspěchům tohoto přístupu patří kvartet ¹⁹⁴Pt, ¹⁹⁵Au, ¹⁹⁵Pt a ¹⁹⁶Au [11]. Dohromady asi sto excitovaných hladin v nízkoenergetické oblasti spekter všech čtyř jader bylo popsáno pomocí společného SUSY hamiltoniánu s šesti volnými parametry, přičemž je třeba zdůraznit, že licho-lichá jádra (zde ¹⁹⁶Au) tradičně představují pro svou velkou hustotu a nepřehlednost spekter značný interpretační (a experimentální) problém.

Skutečnost, že fenomenologické SUSY modely pracují se superalgebrami zachovávajícími celkový počet bosonů a fermionů À se zprvu zdála překvapivá. Mikroskopicky totiž dynamické zachování À nemůže vyplývat ze zachování počtu skutečných fermionů - tato hodnota se totiž při mapování zobrazuje na À + n , což je počet ideálních fermionů plus dvakrát počet bosonů. Nedávno však bylo ukázáno [12], že zachování À je nutný důsledek vyplývající z možnosti vyjádřit hamiltonián ve tvaru (14) a z obecných vlastností bosonových obrazů bifermionových operátorů. Jaderná supersymetrie se tedy zdá být rámcově zdůvodněnou i na mikroskopické úrovni. Dosud nevyřešenou však zůstává otázka struktury bosonových obrazů operátorů, které popisující reakce přenosu nukleonu, tj. určení analogu výrazu (17) pro obecné (realistické) fermionové superalgebry.

Literatura:

[1] ST Belyaev, VG Zelevinkij, Nuclear Physics 39, 582 (1962).

[2] A Klein, ER Marshalek, Reviews of Modern Physics 63, 375 (1991).

[3] T Holstein, H Primakoff, Physical Review 58, 1098 (1940).

[4] FJ Dyson, Physical Review 102, 1217 (1956).

[5] J Bardeen, LN Cooper, JR Schrieffer, Physical Review 108, 1175 (1957).

[6] F Iachello, A Arima, The Interacting Boson Model (Cambridge University Press, 1987).

[7] J Dobaczewski, FG Scholtz, HB Geyer, Physical Review C 48, 2313 (1993);

P Navrátil, HB Geyer, J Dobaczewski, Nuclear Physics A 607, 23 (1996).

[8] F Cooper, A Khare, U Sukhatme, Supersymmetry in Quantum Mechanics (World

Scientific, 2001).

[9] F Iachello, Physical Review Letters 44, 772 (1980).

[10] E Witten, Nuclear Physics B 188, 513 (1981).

[11] A Metz et al., Physical Review Letters 83, 1542 (1999).

[12] P Cejnar, HB Geyer, Physical Review C 65, 044313 (2002); 68, 054324 (2003).